2019高考数学二轮复习 第5讲 三角函数的图象与性质课件 理.ppt

第5讲三角函数的图象与性质 总纲目录 考点一三角函数的定义 诱导公式及基本关系 1 三角函数 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y 则sin y cos x tan 各象限角的三角函数值的符号 一全正 二正弦 三正切 四余弦 2 同角关系 sin2 cos2 1 tan 3 诱导公式 在 k Z的诱导公式中 奇变偶不变 符号看象限 1 若sin 且 则tan A B C D 答案A 解析由sin cos 且 得sin 所以tan tan 2 已知sin cos 则cos sin A B C D 答案B 解析由cos 即cos sin 0 又 cos sin 2 1 2sin cos 1 2 所以cos sin 故选B 3 2017北京 12 5分 在平面直角坐标系xOy中 角 与角 均以Ox为始边 它们的终边关于y轴对称 若sin 则cos 答案 解析解法一 由已知得 2k 1 k Z sin sin sin 2k 1 sin k Z 当cos 时 cos cos cos cos sin sin 当cos 时 cos cos cos cos sin sin 综上 cos 解法二 由已知得 2k 1 k Z sin sin 2k 1 sin cos cos 2k 1 cos k Z 当sin 时 cos cos cos sin sin cos2 sin2 1 sin2 sin2 2sin2 1 2 1 方法归纳 应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点 1 当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决 机械地使用三角函数的定义就会出现错误 2 应用诱导公式与同角三角函数关系开方运算时 一定要注意三角函数的符号 利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则 如切化弦 化异为同 化高为低 化繁为简等 考点二三角函数的性质 1 三角函数的单调区间y sinx的单调递增区间是 k Z 单调递减区间是 k Z y cosx的单调递增区间是 2k 2k k Z 单调递减区间是 2k 2k k Z y tanx的单调递增区间是 k Z 2 三角函数的奇偶性与对称轴方程y Asin x 当 k k Z 时为奇函数 当 k k Z 时为偶函数 对称轴方程可由 x k k Z 求得 y Acos x 当 k k Z 时为奇函数 当 k k Z 时为偶函数 对称轴方程可由 x k k Z 求得 y Atan x 当 k k Z 时为奇函数 例 1 2017课标全国 6 5分 设函数f x cos 则下列结论错误的是 A f x 的一个周期为 2 B y f x 的图象关于直线x 对称C f x 的一个零点为x D f x 在上单调递减 A B C D 2 2018课标全国 10 5分 若f x cosx sinx在 a a 是减函数 则a的最大值是 答案 1 D 2 A 解析 1 f x 的最小正周期为2 易知A正确 f cos cos3 1 为f x 的最小值 故B正确 f x cos cos f cos cos 0 故C正确 由于f cos cos 1 为f x 的最小值 故f x 在上不单调 故D错误 2 本题主要考查三角函数的图象和性质 f x cosx sinx cos 由题意得a 0 故 a 因为f x cos在 a a 是减函数 所以解得0 a 所以a的最大值是 故选A 方法归纳 三角函数的单调性及周期性的求法 1 三角函数单调性的求法 求形如y Asin x 或y Acos x A 为常数 A 0 0 的单调性的一般思路是令 x z 则y Asinz 或y Acosz 然后由复合函数的单调性求解 2 三角函数周期性的求法 函数y Asin x 或y Acos x 的最小正周期T 应特别注意y Asin x 的周期T 1 2016课标全国 11 5分 函数f x cos2x 6cos的最大值为 A 4B 5C 6D 7 答案Bf x cos2x 6cos cos2x 6sinx 1 2sin2x 6sinx 2 又sinx 1 1 当sinx 1时 f x 取得最大值5 2 已知f x 2sin2x 2sinxcosx 则f x 的最小正周期和一个单调递增区间为 A 2 B C 2 D 答案Df x 2sin2x 2sinxcosx 1 cos2x sin2x 1 sin 则f x 的最小正周期T 由 2k 2x 2k k Z得 k x k k Z 结合选项知 f x 的一个单调递增区间为 3 已知函数f x sin x cos x 0 的最小正周期为 1 求函数y f x 图象的对称轴方程 2 讨论函数f x 在上的单调性 解析 1 f x sin x cos x sin 且T 2 于是f x sin 令2x k k Z 得x k Z 即函数f x 图象的对称轴方程为x k Z 2 令2k 2x 2k k Z 得函数f x 的单调递增区间为 k Z 注意到x 所以令k 0 得函数f x 在上的单调递增区 间为 同理 其单调递减区间为 考点三三角函数的图象 函数y Asin x 的图象 1 五点法 作图 设z x 分别令z 0 2 求出相应x的值与相应y的值 描点 连线可得其图象 2 图象变换 y sinxy sin x y sin x y Asin x 命题角度一 三角函数的图象变换 例1 1 2018山东潍坊统一考试 函数f x sin2x cos2x的图象向右平移 个单位长度后 得到函数g x 的图象 若函数g x 为偶函数 则 的值为 A B C D 2 2017课标全国 9 5分 已知曲线C1 y cosx C2 y sin 则下面结论正确的是 A 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再把得到 的曲线向右平移个单位长度 得到曲线C2B 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移个单位长度 得到曲线C2C 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移个单位长度 得到曲线C2D 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移个单位长度 得到曲线C2 答案 1 B 2 D 解析 1 由题意知f x sin2x cos2x 2sin 其图象向右平移 个单位长度后 得到函数g x 2sin的图象 因为g x 为偶函数 所以2 k k Z 所以 k Z 又 所以 2 y sin cos cos cos 由y cosx的图象得到y cos2x的图象 需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 由y cos2x的图象得到y cos 的图象 需将y cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度 故选D 方法归纳 处理三角函数图象平移问题的 三看 策略 例2 1 已知函数f x Asin x 0 00 0 0 的图象与x轴的一 命题角度二 由图象确定三角函数的解析式 个交点到其相邻的一条对称轴的距离为 若f 则函数f x 在上的最小值为 A B C D 答案 1 B 2 C 解析 1 根据题中所给图象可知 函数f x 的最小正周期T 2 2 A 2 f 2sin 2 又0 所以 所以f x 2sin 所以f 1 2sin 1 故选B 2 由题意得 函数f x 的最小正周期T 4 解得 2 因为点在函数f x 的图象上 所以Asin 0 解得 k k Z 由0 可得 因为f 所以Asin 解得A 所以f x sin x 2x sin f x 的最小值为 方法归纳 函数表达式y Asin x 的确定方法已知函数y Asin x A 0 0 的图象求解析式时 常采用待定系数法 由图中的最高点 最低点或特殊点求A 由函数的周期确定 确定 常根据 五点法 中的五个点求解 其中一般把第一个零点作为突破口 可以从图象的升降找准第一个零点的位置 1 若直线y a a为常数 与正切曲线y tanx相交 则相交的相邻两点间的距离是 A B 2 C D 与a值有关 答案C利用图象 直线y a a为常数 与正切曲线y tanx相交 知相交两点间的距离就是此正切曲线的最小正周期 因此可得相交的相邻两点间的距离是 2 已知函数f x 2sin x 的部分图象如图所示 其中f 0 1 MN 将f x 的图象向右平移1个单位 得到函数g x 的图象 则g x 的解析式为 A y 2sin B y 2cosxC y 2sinD y 2cosx 答案B f 0 1 2sin 1 又 如图 过M作MF x轴 垂足为F 则MF 2 FN 4 f x 2sin g x 2sin 2sin 2cosx 故选B