2019高考数学二轮复习 第18讲 不等式选讲课件 理.ppt

第18讲不等式选讲 总纲目录 考点一绝对值不等式 含有绝对值的不等式的解法 1 f x a a 0 f x a或f x 0 a f x a 3 对形如 x a x b c x a x b c的不等式 可利用绝对值不等式的几何意义求解 例 2018合肥第一次教学质量检测 已知函数f x 2x 1 1 解关于x的不等式f x f x 1 1 2 若关于x的不等式f x m f x 1 的解集不是空集 求m的取值范围 解析 1 f x f x 1 1 2x 1 2x 1 1 由或或解得x 或 x 2x 1 2x 1 min即可 由于 2x 1 2x 1 1 2x 2x 1 1 2x 2x 1 2 当且仅当 1 2x 2x 1 0 即x 时等号成立 故m 2 所以m的取值范围是 2 方法归纳 1 用零点分段法解绝对值不等式的步骤 1 求零点 2 划区间 去绝对值符号 3 分别解去掉绝对值符号的不等式 4 取每个结果的并集 注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值 2 图象法求解不等式用图象法 数形结合可以求解含有绝对值的不等式 使得代数问题几何化 既通俗易懂 又简洁直观 是一种较好的方法 2016课标全国 24 10分 已知函数f x x 1 2x 3 1 画出y f x 的图象 2 求不等式 f x 1的解集 解析 1 由题意得 f x y f x 的图象如图所示 2 由f x 的表达式及图象知 当f x 1时 可得x 1或x 3 当f x 1时 可得x 或x 5 故f x 1的解集为 x 11的解集为 考点二不等式的证明 1 含有绝对值的不等式的性质 a b a b a b 2 算术 几何平均不等式定理1 设a b R 则a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 定理2 如果a b为正数 则 当且仅当a b时 等号成立 定理3 如果a b c为正数 则 当且仅当a b c时 等号成立 定理4 一般形式的算术 几何平均不等式 如果a1 a2 an为n个正数 则 当且仅当a1 a2 an时 等号成立 例 2017课标全国 23 10分 已知a 0 b 0 a3 b3 2 证明 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 证明 1 a b a5 b5 a6 ab5 a5b b6 a3 b3 2 2a3b3 ab a4 b4 4 ab a2 b2 2 4 2 因为 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab a b 2 a b 2 所以 a b 3 8 因此a b 2 方法归纳 不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法有比较法 分析法 综合法 反证法等 如果已知条件与待证结论直接联系不明显 可考虑用分析法 如果待证命题是否定性命题 唯一性命题或以 至少 至多 等方式给出的 则考虑用反证法 在必要的情况下 可能还需要使用换元法 构造法等技巧简化对问题的表述和证明 设a b c d均为正数 且a c d b 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b c d 的充要条件 证明 1 因为 2 a b 2 2 c d 2 由a b c d ab cd得 2 2 所以 2 若 a b cd 由 1 得 若 则 2 2 即a b 2 c d 2 因为a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab 是 a b c d 的充要条件 考点三含绝对值不等式的恒成立问题1 f x a恒成立 f x min a f x a有解 f x max a f x a无解 f x max a f x a无解 f x min a 2 定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 例 2018课标全国 23 10分 已知f x x 1 ax 1 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若x 0 1 时不等式f x x成立 求a的取值范围 解析 1 当a 1时 f x x 1 x 1 即f x 故不等式f x 1的解集为 2 当x 0 1 时 x 1 ax 1 x成立等价于当x 0 1 时 ax 1 0 则 ax 1 1的解集为 所以 1 故0 a 2 综上 a的取值范围为 0 2 方法归纳含绝对值不等式恒成立问题 用等价转化思想 方法一 利用三角不等式求出最值进行转化 方法二 利用分类讨论思想 转化成求函数值域 方法三 数形结合进行转化 2018福州质量检测 已知函数f x x2 x 1 1 求不等式f x 2x的解集 2 若关于x的不等式f x 在 0 上恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 不等式f x 2x等价于x2 x 2x 1 0 当x 0时 式化为x2 3x 1 0 解得x 或0 x 当x 0时 式化为x2 x 1 0 解得x 0 综上所述 不等式f x 2x的解集为 2 不等式f x 在 0 上恒成立 等价于 f x a f x 在 0 上恒成立 等价于 x2 x 1 a x2 x 1在 0 上恒成立 等价于 x2 x 1 a x2 x 1在 0 上恒成立 因为 x2 x 1 x2 x 1 所以 a 综上所述 实数a的取值范围是