2019高考数学二轮复习 专题四 第七讲 等差数列与等比数列课件 文.ppt

第七讲等差数列与等比数列 总纲目录 考点一等差 等比数列的基本运算 1 等差数列的通项公式及前n项和公式an a1 n 1 d Sn na1 d 2 等比数列的通项公式及前n项和公式an a1qn 1 q 0 Sn 1 2018课标全国 4 5分 记Sn为等差数列 an 的前n项和 若3S3 S2 S4 a1 2 则a5 A 12B 10C 10D 12 答案B本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式 设等差数列 an 的公差为d 则3 3a1 3d 2a1 d 4a1 6d 即d a1 又a1 2 d 3 a5 a1 4d 10 故选B 2 2018课标全国 17 12分 等比数列 an 中 a1 1 a5 4a3 1 求 an 的通项公式 2 记Sn为 an 的前n项和 若Sm 63 求m 解析 1 设 an 的公比为q 由题设得an qn 1 由已知得q4 4q2 解得q 0 舍去 或q 2或q 2 故an 2 n 1或an 2n 1 2 若an 2 n 1 则Sn 由Sm 63得 2 m 188 此方程没有正整数解 若an 2n 1 则Sn 2n 1 由Sm 63得2m 64 解得m 6 综上 m 6 方法归纳等差 比 数列的通项公式 求和公式中一共包含a1 d 或q n an与Sn这五个量 如果已知其中的三个 就可以求其余的两个 其中a1和d 或q 是两个基本量 所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量 然后根据通项公式 求和公式构建这两者的方程组 通过解方程组求其值 这也是方程思想在数列问题中的体现 提醒 注意等差数列中公差d 0的情况和等比数列中公比q 1的情况 1 2018湖南湘东五校联考 已知在等比数列 an 中 a3 7 前三项之和S3 21 则公比q的值是 A 1B C 1或 D 1或 答案C当q 1时 an 7 S3 21 符合题意 当q 1时 得q 综上 q的值是1或 选C 2 2018湖北武汉调研 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 等比数列 bn 的前n项和为Tn a1 1 b1 1 a2 b2 3 1 若a3 b3 7 求 bn 的通项公式 2 若T3 13 求Sn 解析 1 设 an 的公差为d bn 的公比为q q 0 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 3 得d q 4 由a3 b3 7 得2d q2 8 联立 和 解得q 0 舍去 或q 2 因此 bn 的通项公式为bn 2n 1 2 T3 b1 1 q q2 1 q q2 13 解得q 3或q 4 或 Sn na1 n n 1 d n2 n或4n2 5n 考点二等差 等比数列的性质 1 等差数列的性质 1 若m n p q N 且m n p q 则am an ap aq 2 Sm S2m Sm S3m S2m 仍成等差数列 3 am an m n d d m n N 且m n 4 A2n 1 B2n 1分别为 an bn 的前2n 1项的和 2 等比数列的性质 1 若m n r s N 且m n r s 则am an ar as 2 an amqn m 3 当 an 的公比q 1 或q 1且m为奇数 时 数列Sm S2m Sm S3m S2m 是等比数列 命题角度一 等差 比 数列项的性质 1 2018广东惠州模拟 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且a2 a3 a4 15 a7 13 则S5 A 28B 25C 20D 18 答案B通解 设等差数列 an 的公差为d 由已知得解得所以S5 5a1 d 5 1 2 25 故选B 优解 由 an 是等差数列 可得a2 a4 2a3 所以a3 5 所以S5 25 故选B 2 2018河南洛阳第一次统考 已知数列 an 为等比数列 a4 a7 2 a5 a6 8 则a1 a10的值为 A 7B 5C 5D 7 答案D在等比数列 an 中 a5a6 8 a4a7 8 又a4 a7 2 解得a4 4 a7 2或a4 2 a7 4 若a4 4 a7 2 则q3 a1 8 a10 a7 q3 1 a1 a10 7 若a4 2 a7 4 则q3 2 a1 1 a10 a7 q3 8 a1 a10 7 综上可得 a1 a10 7 命题角度二 等差 比 数列和的性质 1 一个等差数列 an 的前12项的和为354 前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为 则公差d等于 A 5B 6C 10D 12 答案A由题意可知解得又由等差数列的性质 可得S偶 S奇 6d 即192 162 6d 解得d 5 故选A 2 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若 3 则等于 A 2B C D 3 答案B由等比数列的性质知 S3 S6 S3 S9 S6也成等比数列 由 3可得 S6 3S3 S9 S6 2 S6 S3 4S3 即S9 7S3 所以 故选B 方法归纳等差 等比数列性质应用问题求解策略 1 等差数列 an 的前n项和Sn n n为奇数 是常用的转化方法 2 熟练运用等差 等比数列的性质 如m n p q时 若 an 为等差数列 则am an ap aq 若 an 为等比数列 则有am an ap aq 可减少运算过程 提高解题效率 2018课标全国 17 12分 记Sn为等差数列 an 的前n项和 已知a1 7 S3 15 1 求 an 的通项公式 2 求Sn 并求Sn的最小值 命题角度三 等差数列前n项和的最值问题 解析 1 设 an 的公差为d 由题意得3a1 3d 15 由a1 7得d 2 所以 an 的通项公式为an 2n 9 2 由 1 得Sn n2 8n n 4 2 16 所以当n 4时 Sn取得最小值 最小值为 16 方法归纳等差数列 an 的前n项和公式Sn na1 d的变形为Sn n2 n 1 当d 0时 Sn可看成关于n的二次函数 注意其常数项为0 点 n Sn 是抛物线y x2 x上一系列孤立的点 当d 0时 Sn有最小值 当d 0时 Sn有最大值 1 2018湖北黄冈模拟 已知正项等比数列 an 的前n项和为Sn 且a1a6 2a3 a4与2a6的等差中项为 则S5 A 36B 33C 32D 31 答案D设 an 的公比为q q 0 a1a6 2a3 而a1a6 a3a4 a3a4 2a3 a4 2 又a4 2a6 3 a6 q a1 16 S5 31 故选D 2 2018吉林长春监测 在等差数列 an 中 已知a6 a11 0 且公差d 0 则其前n项和取最小值时n的值为 A 6B 7C 8D 9 答案C由题意知a60 且a1 5d a1 10d 0 所以a1 d 又Sn na1 d n 8 2 64 所以当n 8时 数列 an 的前n项和取得最小值 故选C 3 2018重庆调研 在各项均为正数的等比数列 an 中 若a5 5 则log5a1 log5a2 log5a9 答案9 解析因为数列 an 是各项均为正数的等比数列 所以由等比数列的性质可得a1 a9 a2 a8 a3 a7 a4 a6 52 则log5a1 log5a2 log5a9 log5 a1 a2 a9 log5 a1 a9 a2 a8 a3 a7 a4 a6 a5 log5 log559 9 考点三等差 等比数列的判断与证明 命题角度一 等差数列的判定与证明 2017课标全国 17 12分 记Sn为等比数列 an 的前n项和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通项公式 2 求Sn 并判断Sn 1 Sn Sn 2是否成等差数列 解析 1 设 an 的公比为q 由题设可得解得q 2 a1 2 故 an 的通项公式为an 2 n 2 由 1 可得Sn 1 n 由于Sn 2 Sn 1 1 n 2 2Sn 故Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 命题角度二 等比数列的判定与证明 2018课标全国 17 12分 已知数列 an 满足a1 1 nan 1 2 n 1 an 设bn 1 求b1 b2 b3 2 判断数列 bn 是不是等比数列 并说明理由 3 求 an 的通项公式 方法归纳判断或证明一个数列是等差 等比数列时应注意的问题 1 判断一个数列是等差 等比 数列 还有通项公式法及前n项和公式法 但不作为证明方法 2 若要判断一个数列不是等差 等比 数列 只需判断存在连续三项不成等差 等比 数列 3 an 1an 1 n 2 n N 是 an 为等比数列的必要而不充分条件 也就是判断一个数列是等比数列时 要注意各项不为0 提醒 1 判断或者证明数列为等差数列 等比数列最基本的方法是用定义判断或证明 其他方法最后都会回到定义 如证明等 差数列可以证明通项公式是n的一次函数 但最后还得使用定义才能说明其为等差数列 2 证明数列 an 为等比数列时 不能仅仅证明an 1 qan 还要说明q 0 才能递推得出数列中的各项均不为零 最后断定数列 an 为等比数列 解析 1 证明 由an 2 2an 1 an 2得 an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 2 由 1 得bn 1 2 n 1 即an 1 an 2n 1 于是所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2