2019高考数学二轮复习 专题二 第三讲 导数的简单应用课件 文.ppt

第三讲导数的简单应用 总纲目录 考点一导数的几何意义及运算 1 导数的几何意义函数f x 在x0处的导数是曲线f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 曲线f x 在点P处的切线的斜率k f x0 相应的切线方程为y f x0 f x0 x x0 2 四个易错导数公式 1 sinx cosx 2 cosx sinx 3 ax axlna a 0且a 1 4 logax a 0且a 1 1 2018课标全国 6 5分 设函数f x x3 a 1 x2 ax 若f x 为奇函数 则曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为 A y 2xB y xC y 2xD y x 2 2018课标全国 14 5分 曲线y ax 1 ex在点 0 1 处的切线的斜率为 2 则a 3 已知曲线C1 y2 tx y 0 t 0 在点M处的切线与曲线C2 y ex 1 1也相切 则t的值为 答案 1 D 2 3 3 4e2 解析 1 f x x3 a 1 x2 ax为奇函数 a 1 0 得a 1 f x x3 x f x 3x2 1 f 0 1 则曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 故选D 2 设f x ax 1 ex 则f x ax a 1 ex 所以曲线y f x 在点 0 1 处的切线的斜率k f 0 a 1 2 解得a 3 3 由y 得y 则切线斜率为k 所以切线方程为y 2 即y x 1 设切线与曲线y ex 1 1的切点为 x0 y0 由y ex 1 1 得y ex 1 则由 得切点坐标为 故切线方程又可表示为y 1 即y x ln 1 所以由题意 得 ln 1 1 即ln 2 解得t 4e2 方法归纳求曲线y f x 的切线方程的三种类型及方法 1 已知切点P x0 y0 求切线方程求出切线的斜率f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率k 求切线方程设切点为P x0 y0 通过方程k f x0 解得x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 求切线方程设切点为P x0 y0 利用导数求得切线斜率f x0 再由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得x0 再由点斜式或两点式写出方程 提醒 求曲线的切线要注意 过点P的切线 与 在点P处的切线 的差异 过点P的切线中 点P不一定是切点 点P也不一定在已知曲线上 而在点P处的切线 必以点P为切点 1 2018河北唐山五校联考 曲线y 在点 0 1 处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 A B C D 1 答案B因为y 所以y x 0 2 所以曲线在点 0 1 处的切线方程为y 1 2x 即y 2x 1 与两坐标轴的交点坐标分别为 0 1 所以与两坐标轴围成的三角形的面积S 1 故选B 2 曲线f x x3 x 3在点P处的切线平行于直线y 2x 1 则P点的坐标为 A 1 3 B 1 3 C 1 3 或 1 3 D 1 3 答案Cf x 3x2 1 令f x 2 则3x2 1 2 解得x 1或x 1 P 1 3 或 1 3 经检验 点 1 3 1 3 均不在直线y 2x 1上 故选C 3 已知直线y kx 1与曲线y x3 mx n相切于点A 1 3 则n A 1B 1C 3D 4 答案C对y x3 mx n求导得y 3x2 m A 1 3 在直线y kx 1上 k 2 由解得n 3 考点二利用导数研究函数的单调性导数与函数单调性的关系 1 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 2 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 当函数在某个区间内恒有f x 0时 f x 为常数函数 不具有单调性 已知函数f x ax3 x2 a R 在x 处取得极值 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 命题角度一 确定函数的单调性 区间 解析 1 对f x 求导得f x 3ax2 2x 因为f x 在x 处取得极值 所以f 0 即3a 2 0 解得a 2 由 1 得g x ex 故g x ex ex ex x x 1 x 4 ex 令g x 0 解得x 0或x 1或x 4 当x 4时 g x 0 故g x 为减函数 当 40 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上可知 g x 在 4 和 1 0 上为减函数 在 4 1 和 0 上为增函数 方法归纳求解或讨论函数单调性有关问题的策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况 大多数情况下 这类问题可以归结为对一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论 1 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时 依据根的大小进行分类讨论 2 在不能通过因式分解求出根的情况时 根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论 提醒 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的 千万不要忽视了定义域的限制 命题角度二 利用函数的单调性比较大小 已知函数y f x 对于任意的x 满足f x cosx f x sinx 1 lnx 其中f x 是函数f x 的导函数 则下列不等式成立的是 A ffC f fD f f 答案B 方法归纳此类问题 首先利用导数研究函数的单调性 然后将要比较大小的两个量转化为求变量的两个函数值 直接利用单调性比较即可 对于复杂的比较大小问题 要先根据比较大小的结构特征 构造恰当的函数 再利用单调性比较大小 提醒 本题的易错点有两处 一是构造函数出错 看到 f x cosx f x sinx 因忽视 cosx sinx 就会想到利用导数乘法法则构造新函数g x f x cosx 因此掉进了命题者所设置的陷阱 导致结果求错 二是特殊角的三角函数值求错 应记清特殊角的三角函数值 避免此类错误 命题角度三 根据函数的单调性求参数 1 若函数f x x2 x 1在区间上单调递减 则实数a的取值范围是 A B C D 2 若函数f x x3 k 1 x2 k 5 x 1在区间 0 2 上不是单调函数 则实数k的取值范围是 答案 1 B 2 5 2 解析 1 f x x2 ax 1 函数f x 在区间上单调递减 f x 0在区间上恒成立 即解得a 实数a的取值范围为 2 因为函数f x x3 k 1 x2 k 5 x 1在区间 0 2 上不是单调函数 等价于f x 3x2 2 k 1 x k 5在区间 0 2 上不会恒大于零或恒小于零 所以f 0 f 2 0或即 k 5 3 22 4 k 1 k 5 0或解得 5 k 或 k 2 即k 5 2 所以实数k的取值范围是 5 2 1 若函数f x x3 x2 2ax在上存在单调递增区间 则实数a的取值范围是 答案 解析对f x 求导 得f x x2 x 2a 2a 当x 时 f x 的最大值为f 2a 令 2a 0 解得a 所以实数a的取值范围是 2 已知函数f x x2 2alnx a 2 x 1 当a 1时 求函数f x 的单调区间 2 是否存在实数a 使函数g x f x ax在 0 上单调递增 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 解析 1 当a 1时 f x x2 2lnx 3x 则f x x 3 当02时 f x 0 f x 单调递增 当10时恒成立 a x2 2x x 1 2 恒成立 令 x x 1 2 则 x 在 0 上的最小值为 当a 时 g x 0恒成立 又当a g x 当且仅当x 1时 g x 0 故当a 时 g x f x ax在 0 上单调递增 考点三利用导数研究函数的极值 最值 问题导数与函数的极值 最值的关系 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 2018福建福州模拟 已知函数f x alnx x2 ax a R 1 若x 3是f x 的极值点 求f x 的单调区间 2 求g x f x 2x在区间 1 e 上的最小值h a 命题角度一 求函数的极值或最值 解析 1 由已知得f x 的定义域为 0 f x 2x a 因为x 3是f x 的极值点 所以f 3 0 解得a 9 所以f x 所以当03时 f x 0 当 x 3时 f x 0 所以x 3是f x 的极小值点 所以f x 的单调递增区间为 3 单调递减区间为 2 g x 2 令g x 0 得x1 x2 1 当 1 即a 2时 g x 在 1 e 上为增函数 h a g 1 a 1 当1 e 即2 a 2e时 g x 在上为减函数 在上为增函数 h a g aln a2 a 当 e 即a 2e时 g x 在 1 e 上为减函数 h a g e 1 e a e2 2e 综上 h a 命题角度二 与函数极值点个数有关问题 2018广西南宁模拟 已知函数f x lnx x 1 g x xf x x2 2x 1 求f x 的单调区间 2 若函数g x 在区间 m m 1 m Z 内存在唯一的极值点 求m的值 解析 1 由已知得x 0 f x 1 由f x 0 得01 所以函数f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 2 因为g x xf x x2 2x x lnx x 1 x2 2x xlnx x2 x 则g x lnx 1 x 1 lnx x 2 f x 3 由 1 可知 函数g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 又g 2 2 0 所以g x 在 0 1 上有且只有一个零点 记为x1 又在 0 x1 上g x 0 g x 在 x1 1 上单调递增 所以x1为极小值点 此时m 0 又g 3 ln3 1 0 g 4 2ln2 20 g x 在 3 x2 上单调递增 在 x2 4 上g x 0 g x 在 x2 4 上单调递减 所以x2为极大值点 此时m 3 综上所述 m 0或m 3 方法归纳若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0的根的大小或存在情况来求解 提醒 导数为0的点不一定是极值点 例如函数f x x3 有f x 3x2 则f 0 0 但x 0不是极值点 2018山西太原模拟 已知函数f x lnx ax2 bx 其中a b为常数且a 0 在x 1处取得极值 1 当a 1时 求f x 的单调区间 2 若f x 在 0 e 上的最大值为1 求a的值 解析 1 因为f x lnx ax2 bx 所以f x 的定义域为 0 f x 2ax b 因为函数f x lnx ax2 bx在x 1处取得极值 所以f 1 1 2a b 0 又a 1 所以b 3 则f x 令f x 0 得x1 x2 1 f x f x 随x的变化情况如下表 所以f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 2 由 1 知f x 令f x 0 得x1 1 x2 因为f x 在x 1处取得极值 所以x2 x1 1 当 0时 f x 在 0 1 上单调递增 在 1 e 上单调递减 所以f x 在区间 0 e 上的最大值为f 1 令f 1 1 解得a 2 当a 0时 x2 0 当 1时 f x 在上单调递增 在上单调递减 在 1 e 上单调递增 所以最大值在x 或x e处取得 而f ln a 2a 1 ln 1 0 所以f e lne ae2 2a 1 e 1 解得a 当1 e时 f x 在区间 0 1 上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 所以最大值可能在x 1或x e处取得 而f 1 ln1 a 2a 1 0 所以f e lne ae2 2a 1 e 1 解得a 与1 x2 e矛盾 当x2 e时 f x 在区间 0 1 上单调递增 在 1 e 上单调递减 所以最大值在x 1处取得 而f 1 ln1 a 2a 1 0 矛盾 综上所述 a 或a 2