2019高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积及其应用课件 理.ppt

第五章平面向量 5 3平面向量的数量积及其应用 高考理数 考点一数量积的定义1 平面向量的数量积 1 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 我们把数量 a b cos 叫做a和b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b cos 并规定零向量与任一向量的数量积为 0 2 一向量在另一向量方向上的投影定义 设 是两个非零向量a和b的夹角 则 a cos 叫做a在b方向上的投影 b cos 叫做b在a方向上的投影 a在b 或b在a 方向上的投影是一个 实数 而不是向量 当0 90 时 它是正数 当90 180 时 它是负数 当 90 时 它是 0 知识清单 a b的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a2 a 2或 a 4 a b a b 5 cos 是a与b的夹角 3 向量数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b R 数乘结合律 3 a b c a c b c 分配律 考点二平面向量的长度问题1 已知a x1 y1 b x2 y2 1 a b x1x2 y1y2 2 a b 2 若A x1 y1 B x2 y2 则 考点三平面向量的夹角 两向量垂直及数量积的应用已知a x1 y1 b x2 y2 1 若a与b的夹角为 则cos 2 a b x1x2 y1y2 0 向量的长度即向量的模 通常有以下求解方法 1 a 2 a b 3 若a x y 则 a 4 解向量所在三角形 转化为求三角形的边长 5 通过解方程 组 求解 例1 2017浙江 15 5分 已知向量a b满足 a 1 b 2 则 a b a b 的最小值是 最大值是 求向量长度的方法 方法技巧 解析解法一 a b a b a b a b 2 a 2 且 a b a b a b a b 2 b 4 a b a b 4 当且仅当a b与a b反向时取等号 此时 a b a b 取最小值4 a b a b 2 当且仅当 a b a b 时取等号 此时a b 0 故当a b时 a b a b 有最大值2 解法二 设x a b 由 a b a b a b 得1 x 3 设y a b 同理 1 y 3 而x2 y2 2a2 2b2 10 故可设x cos cos y sin sin 设 1 2为锐角 且sin 1 sin 2 则有 1 2 又0 1 2 则x y cos sin 2sin 1 2 而 1 2 故当 即 时 x y 此时 a b a b 所以当a b时 x y a b a b 有最大值2 又sin sin 故当 1或 2时 x 3 y 1或x 1 y 3 此时a b x y a b a b 有最小值4 解法三 设b 2 0 a x y 则x2 y2 1 则 a b a b 0 x2 1 故当x 0 即a b时 a b a b 有最大值2 当x2 1 即a b时 a b a b 有最小值4 答案4 2 1 当a b是非坐标形式时 求a与b的夹角 需求得a b及 a b 或得出它们之间的关系 2 若已知a与b的坐标 则可直接利用公式cos 平面向量a与b的夹角 0 3 转化成解三角形 利用正弦定理或余弦定理求解 例2 2017湖南五市十校联考 8 ABC是边长为2的等边三角形 向量a b满足 2a 2a b 则向量a b的夹角为 C A 30 B 60 C 120 D 150 求向量夹角问题的方法 解析解法一 设向量a b的夹角为 由已知得 2a b 2a b b 2 2 a 2 a 1 则 2a b 2 4a2 4a b b2 8 8cos 4 cos 又 0 180 120 故选C 解法二 2a b 2a b 则向量a与b夹角为向量与的夹角 故a与b的夹角为120 选C 向量既有大小又有方向 具有数和形的特征 在解题时要注意利用数形结合的方法 若题设中有动点问题 将涉及变量的值或范围问题 应重视函数的思想方法 在求值问题中应重视方程的思想方法 例3 2017课标全国 12 5分 已知 ABC是边长为2的等边三角形 P为平面ABC内一点 则 的最小值是 B A 2B C D 1 数形结合的方法和方程与函数的思想方法 解题导引 解析设BC的中点为D AD的中点为E 则有 2 则 2 2 2 而 当P与E重合时 有最小值0 故此时 取最小值 最小值为 2 2 方法总结在求向量数量积的最值时 常用取中点的方法 如本题中利用 可快速求出最值 一题多解以AB所在直线为x轴 AB的中点为原点建立平面直角坐标系 如图 则A 1 0 B 1 0 C 0 设P x y 取BC的中点D 则D 2 2 1 x y 2 x 1 y 2 因此 当x y 时 取得最小值 为2 故选B 例4 2017天津 13 5分 在 ABC中 A 60 AB 3 AC 2 若 2 R 且 4 则 的值为 解题导引 解析如图 由 2得 所以 又 3 2 cos60 3 9 4 所以 3 2 5 4 解得 答案 一题多解以A为原点 AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 如图 因为AB 3 AC 2 BAC 60 所以B 3 0 C 1 又 2 所以D 所以 而 1 3 0 3 因此 3 5 4 解得