2019高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 点、直线、圆的位置关系课件 文.ppt

第九章平面解析几何 高考文数 9 2点 直线 圆的位置关系 考点一点与直线 直线与直线的位置关系1 两直线的位置关系 d 2 设两条平行直线l1 Ax By C 0 l2 Ax By D 0 且D C 则l1与l2间的距离d 2 点 直线间的距离 1 已知点P的坐标为 x0 y0 直线l的方程是Ax By C 0 则点P到l的距离 考点二点 直线 圆的位置关系1 点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d 圆的半径为r 点P在圆外 d r 点P在圆上 d r 点P在圆内 d0 d为圆心 a b 到直线l的距离 联立直线和圆的方程 消元后得到的一元二次方程根的判别式为 3 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 1 几何方法运用弦心距 即圆心到直线的距离 弦长的一半及半径构成的直角三角形计算 2 代数方法运用根与系数的关系及弦长公式计算 AB xA xB 说明 圆的弦长 弦心距的计算常用几何方法 4 两圆的位置关系的判定设圆O1的方程为 x a1 2 y b1 2 R2 R 0 圆O2的方程为 x a2 2 y b2 2 r2 r 0 其中R r 拓展延伸1 常见直线系方程 1 过定点 x1 y1 的直线系方程为A x x1 B y y1 0 A2 B2 0 还可以表示为y y1 k x x1 和x x1 2 平行于直线Ax By C 0的直线系方程为Ax By 0 C 3 垂直于直线Ax By C 0的直线系方程为Bx Ay 0 4 过两条已知直线A1x B1y C1 0 A2x B2y C2 0交点的直线系方程为A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 其中不包括直线A2x B2y C2 0 2 常见的圆系方程 1 同心圆系方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中a b是定值 r是参数 2 半径相等的圆系方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中r是定值 a b是参数 3 过直线Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0的交点的圆系方程 x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 R 4 过圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0和圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0的交点的圆系方程 x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 1 其中不含圆C2 因此注意检验圆C2是否满足题意 以防丢解 3 与圆的切线有关的结论 1 过圆x2 y2 r2上一点P x0 y0 的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点P x0 y0 的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点P x0 y0 作圆的两条切线 切点为A B 则过A B两点的直线方程为x0 x y0y r2 4 过圆x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 外一点P x0 y0 引圆的切线 切点为T 则切线长为 PT 4 求两圆公共弦所在直线的方程的方法 1 联立两圆方程 通过解方程组求出两交点坐标 再利用两点式求出直线方程 2 将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程 注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交 求解与两直线位置关系有关问题的方法1 判断两直线位置关系的技巧 一是讨论直线的斜率是否存在 二是在斜率相等时 注意对两直线重合的讨论 解答这类问题时要根据直线方程中的系数进行分类讨论 求出结果后再代入直线方程中进行检验 这样能有效地避免错误 2 求与已知直线的交点有关问题的方法 先求出两直线交点 将问题转化为过定点的直线 然后再利用其他条件求解 运用两直线交点的直线系方程 设出方程后再利用其他条件求解 方法技巧 例1 2017豫北名校10月联考 5 已知直线l的倾斜角为 直线l1经过点A 3 2 B m 1 且l1与l垂直 直线l2 2x ny 1 0与直线l1平行 则mn的值为 C A 4B 8C 12D 12 解析由题意知l的斜率为1 则l1的斜率为 1 即kAB 1 m 6 由l1 l2 得 1 n 0 n 2 经检验 满足题意 mn 6 2 12 故选C 例2 2017安徽池州月考 14 已知b 0 直线 b2 1 x ay 2 0与直线x b2y 1 0互相垂直 则ab的最小值等于 解题导引根据题意利用斜率之间的关系列出等式整理出关于ab的表达式求最小值 解析由题意知a 0 直线 b2 1 x ay 2 0与直线x b2y 1 0互相垂直 1 则ab 由b 0得a 0 故ab 2 当且仅当b 1时取等号 ab的最小值等于2 答案2 与圆有关的最值问题的求解方法1 研究与圆有关的最值问题时 可借助圆的性质 利用数形结合方法求解 2 与圆有关的最值问题 常见的有以下几种类型 形如 形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 形如m ax by形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 形如n x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 例3已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 解题导引 1 令 k 得y kx 直线与圆相切时k取最值 得出的最值 2 令b y x 得y x b 求直线y x b的纵截距的最值 得出y x的最值 3 x2 y2表示圆上点与原点距离的平方 利用平面几何知识求得x2 y2的最值 解析 1 原方程化为 x 2 2 y2 3 表示以点 2 0 为圆心 为半径的圆 设 k 则y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最值 此时有 解得k 故的最大值为 最小值为 2 设y x b 则y x b 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最值 此时 解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 3 x2 y2表示圆上一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在过原点与圆心的直线和圆的两个交点处取得最值 又圆心到原点的距离为2 所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 直线与圆 圆与圆位置关系的判断方法1 判断直线与圆的位置关系的方法 代数法 将直线方程与圆的方程联立得方程组 再将方程组转化为一元二次方程 由该方程解的情况判断直线与圆的位置关系 这种方法具有一般性 适合判断直线与圆锥曲线的位置关系 但是计算量较大 几何法 圆心到直线的距离与圆的半径比较大小 即可判断直线与圆的位置关系 这种方法计算量较小 但只能用于圆的问题中 2 圆与圆的位置关系 由交点个数 也就是利用方程组解的个数来判断 有时得不到确切的结论 通常还是从两圆的圆心距d与两圆的半径和 差的关系入手进行判断 例4 2017河北衡水中学调研考试 5 已知向量a 2cos 2sin b 3cos 3sin 若a与b的夹角为120 则直线6xcos 6ysin 1 0与圆 x cos 2 y sin 2 1的位置关系是 A A 相交且不过圆心B 相交且过圆心C 相切D 相离 解题导引求得圆心到直线的距离 并与半径作比较 结论 解析由题意可得a b 6cos cos 6sin sin a b cos120 2 3 3 所以圆心 cos sin 到直线6xcos 6ysin 1 0的距离d 1 故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心 故选A 例5 2016山东 7 5分 已知圆M x2 y2 2ay 0 a 0 截直线x y 0所得线段的长度是2 则圆M与圆N x 1 2 y 1 2 1的位置关系是 B A 内切B 相交C 外切D 相离 解题导引由弦长得出a的值计算两圆圆心距比较大小得出结论 解析由题意知圆M的圆心为 0 a 半径R a 因为圆M截直线x y 0所得线段的长度为2 所以圆心M到直线x y 0的距离d a 0 解得a 2 又知圆N的圆心为 1 1 半径r 1 所以 MN 则R r R r 所以两圆的位置关系为相交 故选B 求解与圆有关的切线和弦长问题的方法1 求过圆上一点 x0 y0 的切线方程的方法 先求切点和圆心连线的斜率k 假设斜率存在 且不为零 由垂直关系知切线斜率为 由点斜式方程可求切线方程 若切线斜率不存在 此时k 0 则切线的方程为x x0 若切点和圆心连线的斜率不存在 则切线方程为y y0 2 求过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时 设斜率为k 切线方程为y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圆心到直线的距离等于半径 即可得到k的值 从而可得切线方程 当切线斜率不存在时 切线的方程为x x0 代数法 当斜率存在时 设斜率为k 切线方程为y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圆的方程 得到一个关于x的一元二次方程 由 0 求得k值 从而得到切线方程 当切线斜率不存在时 切线的方程为x x0 3 圆的弦长的求法 几何法 设圆的半径为r 弦心距为d 弦长为L 则 r2 d2 代数法 设直线与圆相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 方程组消去y后得到一个关于x的一元二次方程 从而求得x1 x2 x1x2 则弦长 AB k为直线的斜率 例6 2015重庆 12 5分 若点P 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 则该圆在点P处的切线方程为 解题导引求圆的方程利用切线的性质列出等量关系式写出切线方程 解析设圆的方程为x2 y2 r2 将P的坐标代入圆的方程 得r2 5 故圆的方程为x2 y2 5 设该圆在点P处的切线上的任意一点为M x y 则 x 1 y 2 由 O为坐标原点 得 0 即1 x 1 2 y 2 0 即x 2y 5 0 答案x 2y 5 0 例7 2016课标全国 15 5分 设直线y x 2a与圆C x2 y2 2ay 2 0相交于A B两点 若 AB 2 则圆C的面积为 解题导引用a表示出圆心C到直线AB的距离d利用r2 d2 构造关于a的方程求a2 确定r2的值 从而得面积 解析把圆C的方程化为x2 y a 2 2 a2 则圆心为 0 a 半径r 圆心到直线x y 2a 0的距离d 由r2 d2 得a2 2 3 解得a2 2 则r2 4 所以圆的面积S r2 4 答案4 评析本题考查了直线与圆的位置关系 考查了圆的方程和点到直线的距离公式 利用弦长的一半 圆心到直线的距离及半径构成的直角三角形求解是关键