2019高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示课件 北师大版必修4.ppt

6平面向量数量积的坐标表示 一 二 三 四 五 一 平面向量数量积的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 这就是说 两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和 做一做1 若a 5 y b 6 4 且a b 2 则y等于 A 5B 7C 5D 7解析 a b 2 30 4y 2 即4y 28 y 7 故选B 答案 B 一 二 三 四 五 二 向量的模 答案 10 一 二 三 四 五 三 向量的夹角设非零向量a x1 y1 b x2 y2 a与b的夹角为 做一做3 已知非零向量a b的夹角为 若a b 3 6 a b 3 2 则cos 解析 a b 3 6 a b 3 2 a 3 4 b 0 2 一 二 三 四 五 四 两个向量垂直设非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a b a b 0 x1x2 y1y2 0 则 4 2m 4 0 即m 4 答案 4 一 二 三 四 五 五 直线的方向向量由解析几何知 给定斜率为k的直线l 则向量m 1 k 与直线l共线 我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量 做一做5 直线y 3x 1与直线x 3y 7 0的方向向量分别是和 这两条直线的位置关系是 解析 直线y 3x 1的方向向量是 1 3 一 二 三 四 五 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 2 对任意向量a 总有a2 a 2 3 直线Ax By C 0 A B不同时为0 的一个方向向量为 A B 4 要使 a b a b 中等号成立 则需使a与b共线且同向 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 数量积的坐标运算 例1 1 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x A 6B 5C 4D 3 2 在矩形ABCD中 AB 2 BC 6 点M在AD上 且AM 2MD 点N是CD的中点 求思路分析 1 可直接套用数量积的坐标运算公式求解 2 有两种思路 一是建立坐标系用坐标运算求解 二是用基底表示后再展开计算 1 解析 8a b 8 1 1 2 5 6 3 由 8a b c 30 得6 3 3x 30 x 4 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 2 解 方法一 以点B为原点 以BC AB所在直线分别为x轴 y轴 建立如图所示的坐标系 则B 0 0 M 4 2 N 6 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 变式训练1 1 若a 2 3 b x 2x 且a b 4 则x的值为 2 已知向量a b b 1 2 a b 10 求向量a的坐标 若a b同向 c 2 1 求 b c a a b c 1 答案 1 2 解 因为a b 所以设a b R 所以a 2 所以 a b 4 10 所以 2 所以a 2 4 或a 2 4 因为a b同向 所以a 2 4 所以 b c a 1 2 2 1 a 0 a 0 a b c 2 2 4 c 10 2 1 20 10 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 用坐标运算求向量的模 例2 已知向量a 1 2 b 3 1 1 求 a 2b 2 求与a垂直的单位向量 3 求与b平行的单位向量 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 解 1 方法1 因为a 1 2 b 3 1 所以a 2b 5 4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 反思感悟1 求向量的模的两种基本策略 1 字母表示下的运算 利用 a 2 a2 将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 变式训练2若向量a 2x 1 3 x b 1 x 2x 1 则 a b 的最小值为 解析 因为a 2x 1 3 x b 1 x 2x 1 所以a b 2x 1 3 x 1 x 2x 1 x x 2 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 用坐标运算求向量的夹角 例3 若向量a 1 2 b 1 1 则2a b与a b的夹角等于 思路分析 先求出2a b与a b的坐标 再用夹角公式求解 解析 2a b 3 3 a b 0 3 设2a b与a b的夹角为 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 反思感悟1 设向量a x1 y1 b x2 y2 a与b的夹角为 则cos 这样利用向量的坐标来求其夹角 可使向量的几何属性代数化 从而有利于解决问题 2 求向量a与b的夹角 的步骤是 1 求出a b a b 2 代入夹角公式求cos 3 结合 的范围确定 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 A 30 B 60 C 120 D 150 又0 180 故夹角 120 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 用坐标运算解决向量的垂直问题 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 反思感悟利用向量数量积的坐标表示 可以使两个向量垂直的条件更加代数化 因而其判定方法也更加简洁 在以后解题中要注意应用 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 变式训练4若a 5 7 b 1 2 且 a b b 则实数 的值为 解析 由 a b b 得 a b b 0 即a b b 2 0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 直线的方向向量及其应用 例5 已知直线l1 3x y 2 0与直线l2 mx y 1 0的夹角为45 求实数m的值 解 直线l1 l2的方程分别为3x y 2 0与mx y 1 0 向量a 1 3 b 1 m 分别为l1 l2的方向向量 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 反思感悟1 利用直线的方向向量主要解决两类问题 1 利用直线的方向向量求直线的斜率 从而求直线的方程 2 利用直线的方向向量确定两条直线的夹角 2 当两条直线的夹角为45 时 两条直线方向向量的夹角应该是45 或135 两种可能 因此 在列方程时应注意到这一点 否则将会丢解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 变式训练5直线y 2与直线x y 2 0的夹角是 解析 任取直线y 2的一个方向向量 1 0 直线x y 2 0的一个方向向量为 1 1 答案 A 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 因忽略向量夹角的范围而致误 典例 已知向量a 2cos 2sin b 0 1 则a与b的夹角为 答案 A 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析 纠错心得1 首先要明确向量a与b夹角的范围为 0 所有的向量夹角不能超越这个范围 的范围 因此必须再次使用诱导公式进行转化 1 2 3 4 5 1 已知a 1 2 b 1 3 则 a b 解析 a b 0 5 a b 5 答案 C 1 2 3 4 5 2 若向量a b满足a b 2 1 且a 1 2 则向量a与b的夹角等于 A 45 B 60 C 120 D 135 解析 由题意 得b 1 3 设a与b的夹角为 又0 180 故a与b的夹角为135 答案 D 1 2 3 4 5 3 已知a 1 m 与b n 4 共线 且c 2 3 与b垂直 则m n的值为 解析 a b共线 mn 4 c b 2n 12 0 答案 A 1 2 3 4 5 4 已知向量a是直线x 2y 3 0的方向向量 且 a 2 则a 所以a 4 2 或 4 2 答案 4 2 或 4 2 1 2 3 4 5 5 已知a m 1 3 b 1 m 1 且a与b的夹角为钝角 若 2a b 与 a 3b 垂直 求a与b夹角的余弦值 解 2a b a 3b 2a2 5a b 3b2 0 即2 m 1 2 9 5 m 1 3 m 1 3 1 m 1 2 0 整理得m2 10m 24 0 解得m 2或m 12 a与b的夹角为钝角 a b m 1 3 m 1 4m 2 0 m m 12 设a与b夹角为