2019版高考数学二轮复习 第1篇 专题8 函数与导数 第4讲 大题考法——导数的综合应用课件.ppt

二轮专题突破 第一篇 专题八函数与导数 第4讲大题考法 导数的综合应用 考向一导数的简单应用问题 技法总结 求函数y f x 在某个区间上极值的步骤 变式提升 1 2018 玉溪模拟 已知函数f x xlnx 1 设函数g x f x a x 1 其中a R 讨论函数g x 的单调性 2 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 求直线l的方程 解 1 f x xlnx g x f x a x 1 xlnx a x 1 则g x lnx 1 a 由g x 0 得lnx 1 a 0 解得0 x ea 1 由g x 0 得lnx 1 a 0 解得x ea 1 g x 在 0 ea 1 上单调递减 在 ea 1 上单调递增 2 设切点坐标为 x0 y0 则y0 x0lnx0 切线的斜率为lnx0 1 切线l的方程为y x0lnx0 lnx0 1 x x0 又切线l过点 0 1 1 x0lnx0 lnx0 1 0 x0 即 1 x0lnx0 x0lnx0 x0 解得x0 1 y0 0 直线l的方程为y x 1 典例 已知函数f x x a ex 其中e是自然对数的底数 a R 1 求函数f x 的单调区间 2 当a 1时 试确定函数g x f x a x2的零点个数 并说明理由 规范解答 1 因为f x x a ex x R 所以f x x a 1 ex 1分令f x 0 得x a 1 2分 考向二函数与导数的零点或方程的根的问题 2 结论 当a 1时 函数g x 有且仅有一个零点 5分理由如下 由g x f x a x2 0 得方程xex a x2 显然x 0为此方程的一个实数解 所以x 0是函数g x 的一个零点 6分当x 0时 方程可化简为ex a x 设函数F x ex a x 7分则F x ex a 1 令F x 0 得x a 当x变化时 F x 和F x 的变化情况如下 8分 即F x 的单调递增区间为 a 单调递减区间为 a 9分所以F x min F a 1 a 10分因为a 1 所以F x min F a 1 a 0 所以对于任意x R F x 0 11分因此方程ex a x无实数解 所以当x 0时 函数g x 不存在零点 综上 函数g x 有且仅有一个零点 12分 对函数f x 求导计算错而导致解题错误 对于函数零点个数的判断 不会转化构造函数而无从下手 在判断方程ex a x x 0 无零点时不会构造转化 利用单调性及最值做出判断 技法总结 判断函数零点个数的常用方法 1 直接研究函数 求出极值以及最值 画出草图 函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题 2 分离出参数 转化为a g x 根据导数的知识求出函数g x 在某区间的单调性 求出极值以及最值 画出草图 函数零点的个数问题即是直线y a与函数y g x 图象交点的个数问题 只需要用a与函数g x 的极值和最值进行比较即可 变式提升 2 2018 锦州联考 已知函数f x ex ax a a R且a 0 1 若函数f x 在x 0处取得极值 求实数a的值 并求此时f x 在 2 1 上的最大值 2 若函数f x 不存在零点 求实数a的取值范围 典例 2018 河南联考 已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 若当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 考向三导数与不等式恒成立 存在性问题 技法总结 1 利用导数解决不等式恒成立问题的常用方法 1 分离参数法第一步 将原不等式分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题 第二步 利用导数求该函数的最值 第三步 根据要求得所求范围 2 函数思想法第一步 将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题 第二步 利用导数求该函数的极值 最值 第三步 构建不等式求解 2 利用导数解决不等式存在性问题的策略 1 根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大 小 值满足的不等式成立问题 2 用导数求该函数在该区间上的最值 3 构建不等式求解 考向四导数与不等式的证明问题 技法总结 1 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 利用导数研究h x 的单调性或最值 4 根据单调性及最值 得到所证不等式 2 构造辅助函数的4种方法 谢 谢 观 看