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等腰三角形一课一练基础闯关题组等腰三角形中相关线段的性质1.(xx和县模拟)等腰三角形顶角是84,则一腰上的高与底边所成的角的度数是()A.42B.60C.36D.46【解析】选A.如图:ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高.A=84,且AB=AC,ABC=C=(180-84)2=48;在RtBDC中,BDC=90,C=48;DBC=90-48=42.2.(xx崇州市期末)如图,在ABC中,AB=AC,BD平分ABC交AC于点D,AEBD交CB的延长线于点E,若E=35,则BAC的度数为()世纪金榜导学号10164004A.40B.45C.50D.55【解析】选A.AEBD,CBD=E=35,BD平分ABC,CBA=70,AB=AC,C=CBA=70,BAC=180-702=40.3.如图,在ABC中,AB=AC,A=30,E为BC延长线上一点,ABC与ACE的平分线相交于点D,则D的度数为()A.15B.17.5C.20D.22.5【解析】选A.ABC的平分线与ACE的平分线交于点D,1=2,3=4,ACE=A+ABC,即1+2=3+4+A,21=23+A,1=3+D,D=12A=1230=15.4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和9cm,则它的周长为_.【解析】若腰长和腰长的一半的和是9,则腰长为6,底边长为15-126=12,6+6=12,此时不能组成三角形;若腰长和腰长的一半的和是15,则腰长为10,底边长为9-1210=4,能组成三角形,它的周长为10+10+4=24(cm).综上所述,该等腰三角形的周长是24cm.答案:24cm【易错提醒】此类问题要分情况进行讨论,且要注意检验得到的三边能否构成三角形.【备选习题】已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分,则这个等腰三角形的底边长是()A.6B.22C.6或22D.10或18【解析】选A.设AD=x,则当2x+x=15时,x=5,即AB=AC=10,底边长为27-5=22(不符合三角形三边关系,舍去);当2x+x=27时,x=9,即AB=AC=18,底边长为15-9=6(符合三角形的三边关系),综上可知,底边BC的长为6.5.如图,已知ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.世纪金榜导学号10164005(1)求证:OB=OC.(2)若ABC=50,求BOC的度数.【解析】(1)AB=AC,ABC=ACB,BD,CE是ABC的两条高线,BEC=BDC=90,BECCDB.DBC=ECB,BE=CD.在BOE和COD中,BOE=COD,BE=CD,BEC=BDC=90,BOECOD,OB=OC.(2)ABC=50,AB=AC,A=180-250=80,DOE+A=180,BOC=DOE=180-80=100.题组等边三角形的性质及应用1.(xx南充中考)如图,等边OAB的边长为2,则点B的坐标为()A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)【解析】选D.如图所示,过点B作BCAO于点C,AOB是等边三角形,OC=12AO=1,在RtBOC中,BC=OB2-OC2=3,B(1,3).2.如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C恰好落在直线AB上,则点C的坐标为_.世纪金榜导学号10164006【解析】直线y=2x+4与y轴交于B点,x=0时,得y=4,B(0,4).以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,C在线段OB的垂直平分线上,C点纵坐标为2.将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=-1.所以点C的坐标为(-1,2).答案:(-1,2)3.如图,ABD,ACE都是等边三角形,BE和CD交于O点,则BOC=_度.【解析】ABD,ACE都是等边三角形,AD=AB,DAB=EAC=60,AC=AE,DAC=EAB,DACBAE(SAS),DC=BE,ADC=ABE,AEB=ACD,BOC=CDB+DBE=CDB+DBA+ABE=ADC+CDB+DBA=120.答案:120【变式训练】如图,O为等边三角形ABC内一点,OCB=ABO,则BOC的度数是_.【解析】ABC是等边三角形,ABC=60,OCB=ABO,OBC+OCB=OBC+ABO=ABC=60,在OBC中,BOC=180-(OBC+OCB)=180-60=120.答案:1204.(xx宁夏中考)在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PMAB,PNAC,M,N分别为垂足.求证:不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.【证明】连接AP,过C作CDAB于D,ABC是等边三角形,AB=AC,SABC=SABP+SACP,12ABCD=12ABPM+12ACPN,PM+PN=CD,即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.5.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作PBQ=60,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.世纪金榜导学号10164007【解析】猜想:AP=CQ.证明:在ABP与CBQ中,AB=CB,BP=BQ,ABC=PBQ=60,ABP=ABC-PBC=PBQ-PBC=CBQ,ABPCBQ,AP=CQ.(xx淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中,点D为BC边上的任意一点,过点D分别作DEAB,DFAC,垂足分别为E,F,则DE+DF=_.【解析】如图,作AGBC于点G,ABC是等边三角形,B=60,AG=32AB=23,连接AD,则SABD+SACD=SABC,12ABDE+12ACDF=12BCAG,AB=AC=BC=4,DE+DF=AG=23.答案:23【母题变式】变式一(xx唐河县期末)如图,在ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为()A.4.8B.8C.8.8D.9.8【解析】选D.从B向AC作垂线段BP,交AC于P,点P即为所求.设AP=x,则CP=5-x,在RtABP中,BP2=AB2-AP2,在RtBCP中,BP2=BC2-CP2,AB2-AP2=BC2-CP2,52-x2=62-(5-x)2,解得x=1.4,在RtABP中,BP=52-1.42=4.8,AP+BP+CP的最小值为5+4.8=9.8.变式二已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D.不能确定【解析】选B.等边三角形的边长是3,所以等边三角形的高是332.设点P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则123(h1+h2+h3)=123332,所以h1+h2+h3=332.变式三已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的距离是_.【解析】如图,连接PA,PB,PC,作PDAB于点D,PEBC于点E,PFAC于点F,AHBC于点H,则PD=1,PF=2,AH=4,ABC为等边三角形,AB=BC=AC,SABC=SAPB+SBPC+SCPA,12AHBC=12PDAB+12PEBC+12PFAC,4=1+PE+2,PE=1,即点P到BC的距离为1.答案:1变式四等边三角形的边长为a,P是等边三角形内一点,则P到三边的距离之和是_.【解析】如图,等边三角形的边长为a,等边三角形的高为32a,连接PA,PB,PC,设点P到AB,BC,AC边的距离分别为h1,h2,h3,则SABC=12a32a=12ABh1+12BCh2+12ACh3,即12a32a=12ah1+12ah2+12ah3,整理得,h1+h2+h3=32a,即P到三边的距离之和是32a.答案:32a
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