2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲空间中角与距离的计算配套课件理.ppt

第7讲 空间中角与距离的计算 1 异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的锐角或直角 叫做异面直线a与b所 成的角 或夹角 其范围是 0 90 2 直线与平面所成的角 1 如果直线与平面平行或者在平面内 则直线与平面所成 的角等于0 90 2 如果直线和平面垂直 则直线与平面所成的角等于 3 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角 其范围是 0 90 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 3 二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角 从二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是 直角的二面角叫做 直二面角 4 点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离 求点到平面的距离通常运用等体积法 即构造一个三棱锥 将点到平面的距离转化为三棱锥的高 5 直线与平面平行 那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离 1 若a 1 2 3 是平面 的一个法向量 则下列向量中能 作为平面 的法向量的是 A 0 1 2 C 1 2 3 B 3 6 9 D 3 6 8 解析 向量 1 2 3 与向量 3 6 9 共线 B 2 若直线l 且l的方向向量为 2 m 1 平面 的法向 量为 则m A 4C 8 B 6D 8 C 3 已知平面 上的两个向量a 2 3 1 b 5 6 4 则平面 的一个法向量为 A 1 1 1 C 2 1 1 B 2 1 1 D 1 1 1 C 4 如图8 7 1 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 图8 7 1 考点1 线面所成角的计算 例1 2017年广东惠州三模 如图8 7 2 四棱锥P ABCD的底面是梯形 且AB CD AB 平面PAD E是PB中点 1 求证 CE 平面PAB 2 若CE AB 4 求直线CE 与平面PDC所成角的大小 图8 7 2 1 证明 取AP的中点F 连接DF EF 如图 因为PD AD 所以DF AP 因为AB 平面PAD DF 平面PAD 所以AB DF 又因为AP AB A 所以DF 平面PAB 因为点E是PB中点 所以EF AB 且EF AB2 又因为AB CD 且CD AB2 所以EF CD 且EF CD 所以四边形EFDC为平行四边形 所以CE DF 所以CE 平面PAB 图D66 2 解 如图D66 设点O G分别为AD BC的中点 连 接OG 则OG AB 因为AB 平面PAD AD 平面PAD 所以AB AD 所以OG AD 又因为AB 4 所以AD 2 所以 APD为正三角形 所以PO AD 因为AB 平面PAD PO 平面PAD 所以AB PO 又因为AD AB A 所以PO 平面ABCD 规律方法 求直线与平面所成的角 大致有两种基本方 法 传统立体几何的综合推理法 通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角 然后在直角三角形中求角的大小 找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线 连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影 有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影 此时平面与垂面的交线即为射影 空间向量的坐标法 建系并确定点及向量的坐标 然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角 互动探究 1 2017年北京 如图8 7 3 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为正方形 平面PAD 平面ABCD 点M在线段PB上 PD 平面MAC PA PD AB 4 1 求证 M为PB的中点 2 求二面角B PD A的大小 3 求直线MC与平面BDP所成角的正弦值 图8 7 3 1 证明 设AC BD交点为E 连接ME 如图D68 因为PD 平面MAC 平面MAC 平面PBD ME 所以 PD ME 因为ABCD是正方形 所以E为BD的中点 所以M为PB的中点 图D68 2 解 取AD的中点O 连接OP OE 因为PA PD 所以OP AD 又因为平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD OP AD 且OP 平面PAD 所以OP 平面ABCD 因为OE 平面ABCD 所以OP OE 因为ABCD是正方形 所以OE AD 如图D69 建立空间直角坐标系O xyz 图D69 考点2 面面所成角的计算 例2 2017年江苏 如图8 7 4 在平行六面体ABCD BAD 120 1 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值 2 求二面角B A1D A的正弦值 图8 7 4 如图D67 以 AE AD AA1 为正交基底 建立空间直角坐 解 在平面ABCD内 过点A作AE AD 交BC于点E 因为AA1 平面ABCD 所以AA1 AE AA1 AD 标系A xyz 图D67 规律方法 求二面角 大致有两种基本方法 1 传统立体几何的综合推理法 定义法 垂面法 三垂线定理法 射影面积法 2 空间向量的坐标法 建系并确定点及向量的坐标 分别求出两个平面的法向量 通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小 互动探究 2 2017年新课标 如图8 7 5 四棱锥P ABCD中 侧面 ABC 90 E是PD的中点 1 证明 直线CE 平面PAB 2 点M在棱PC上 且直线BM与底面ABCD所成锐角为45 求二面角M AB D 的余弦值 图8 7 5 1 证明 取PA中点F 连接EF BF 由 BAD ABC 90 得BC AD 所以四边形BCEF为平行四边形 所以CE BF 又BF 平面PAB CE平面PAB 所以CE 平面PAB 图D70 难点突破 利用空间向量求空间距离例题 2017年天津 如图8 7 6 在三棱锥P ABC中 PA 底面ABC BAC 90 点D E N分别为棱PA PC BC的中点 M是线段AD的中点 PA AC 4 AB 2 1 求证 MN 平面BDE 2 求二面角C EM N的正弦值 图8 7 6 3 已知点H在棱PA上 且直线NH与直线BE所成角的余 弦值为 求线段AH的长 解 如图8 7 7 以A为原点 分别以AB AC AP方向为x 轴 y轴 z轴正方向建立空间直角坐标系 图8 7 7 依题意可得A 0 0 0 B 2 0 0 C 0 4 0 P 0 0 4 D 0 0 2 E 0 2 2 M 0 0 1 N 1 2 0 互动探究 3 已知多面体S ABCD如图8 7 8 底面ABCD为矩形 其中DC 平面SAD SDA 90 若P Q R分别是BC SA AD的中心 其中AD CD 2 1 证明 AD PQ 2 若二面角S BR D的余弦值为 求SD的长 图8 7 8 1 证明 取SD的中点H 连接QH HC 因为ABCD是正方形 所以AD BC AD BC 因为Q H分别是SA SD的中点 所以QH PC QH PC 所以四边形QHCP是平行四边形 所以PQ HC 因为 SDA 90 SD DC D 所以AD 平面SDC 又HC 平面SDC 所以AD HC 所以AD PQ 2 解 如图D71 以D为原点 射线DA DC DS分别为x y z轴正方向 建立空间直角坐标系 设SD a a 0 则S 0 0 a R 1 0 0 B 2 2 0 图D71 因为SD 底面ABCD 所以平面ABCD的一个法向量为m 0 0 1 设平面SRB的一个法向量为n x y z