2019版高考数学一轮复习 第九章 概率与统计 第4讲 古典概型配套课件 理.ppt

第4讲 古典概型 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古 典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 3 古典概型的概率公式 P A A包含的基本事件的个数基本事件的总数 5 3 4 3 5 4 5 共10种 p 1 2013年新课标 从1 2 3 4 5中任意取出2个不 同的数 其和为5的概率是 0 2 解析 两数之和等于5有两种情况 1 4 和 2 3 总的基本事件有 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 210 0 2 2 2013年新课标 从1 2 3 4中任取2个不同的数 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 B A 12 B 13 C 14 D 16 解析 从1 2 3 4中任取2个不同的数 有 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 共12种情形 而满足条件 2个数之差的绝对值为2 的只有 1 3 2 4 3 1 4 2 共4 种情形 所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为 412 13 3 已知5件产品中有2件次品 其余为合格品 现从这5件 产品中任取2件 恰有1件次品的概率为 B A 0 4 B 0 6 C 0 8 D 1 解析 5件产品中有2件次品 记为a b 有3件合格品 记为c d e 从这5件产品中任取2件 有10种 分别是 a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 其中 恰有1件次品 的情况有6种 分别是 a c a d a e b c b d b e 设事件A 恰有一件次品 则P A 610 0 6 故选B 4 2014年新课标 将2本不同的数学书和1本语文书在 书架上随机排成一行 则2本数学书相邻的概率为 解析 根据题意显然这是一个古典概型 其基本事件有 数1 数2 语 数1 语 数2 数2 数1 语 数2 语 数1 语 数2 数1 语 数1 数2 共6种 其中2本数学 考点1 简单的古典概型 例1 1 2017年新课标 从分别写有1 2 3 4 5的5张卡片中随机抽取1张 放回后再随机抽取1张 则抽得的第 一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A 110 B 15 C 310 D 25 解析 从分别写有1 2 3 4 5的5张卡片中随机抽取1张 放回后再随机抽取1张 共有 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 共25种情形 其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 共有10种情形 所以其概率为 1025 25 答案 D 2 2016年新课标 为美化环境 从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中 余下的2种花种在另 一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A 13 B 12 C 23 D 56 解析 从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中 余下2种种在另一个花坛 有 红黄 白紫 白紫 红黄 红白 黄紫 黄紫 红白 红紫 黄白 黄白 红紫 共6种种法 其中红色和紫色不在一个花坛的种法有 红黄 白紫 白紫 红黄 红白 黄紫 黄紫 红答案 C 3 2015年新课标 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这3个数为一组勾股数 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数 则这3个数构成一组勾股数的概率为 A 310 B 15 C 110 D 120 解析 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数共有10种不同的取法 其中的勾股数只有3 4 5 故3个数构成一组勾 股数的取法只有1种 故所求概率为 110 故选C 答案 C 4 2017年山东 从分别标有1 2 9的9张卡片中不放回地随机抽取2次 每次抽取1张 则抽到的2张卡片上的数 奇偶性不同的概率是 A 518 B 49 C 59 D 79 解析 标有1 2 9的9张卡片中 标奇数的有5张 标偶数的有4张 所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概 答案 C 规律方法 本题是考查古典概型 利用公式P A 古 m n 典概型必须明确判断两点 对于每个随机实验来说 所有可能出现的实验结果数n必须是有限个 出现的所有不同的实验结果的可能性大小必须是相同的 解决这类问题的关键是列举做到不重不漏 考点2 掷骰子模型的应用 例2 若以连续掷两次质地均匀的骰子分别得到的点数m n作为点P的坐标 1 则点P落在直线x y 7 0上的概率为 2 则点P落在圆x2 y2 25外的概率为 3 则点P落在圆x2 y2 25内的概率为 4 若点P落在圆x2 y2 r2 r 0 内是必然事件 则r的范围是 5 若点P落在圆x2 y2 r2 r 0 内是不可能事件 则r的范围是 6 事件 m n 2 的概率为 解析 掷两次质地均匀的骰子 点数的可能情况有 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 此问题中含有36个等可能基本事件 1 由点P落在直线x y 7 0上 得m n 7 有 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 共6 种 概率为p 636 16 2 点P落在圆x2 y2 25外 m2 n2 25 有 1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 概率为p 2136 712 3 点P落在圆x2 y2 25内 m2 n2 25 有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 4 1 4 2 概率为p 1336 互动探究 1 2014年湖北 随机投掷两枚质地均匀的骰子 它们向上的点数之和不超过5的概率为P1 点数之和大于5的概率为P2 点数之和为偶数的概率为P3 则 C A P1 P2 P3B P2 P1 P3C P1 P3 P2D P3 P1 P2 2 连续2次抛掷一枚质地均匀的骰子 六个面上分别标有数字1 2 3 4 5 6 记 两次向上的数字之和等于m 为事 件A 则P A 最大时 m 7 解析 m可能取到的值有2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的基本事件个数依次为1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大 3 2016年江苏 将一枚质地均匀的骰子 一种各个面上分别标有1 2 3 4 5 6个点的正方体玩具 先后抛掷2次 则 出现向上的点数之和小于10的概率是 解析 点数小于10的基本事件共有30种 所以所求概率 为 3036 56 考点3 古典概型与统计的结合 例3 2015年安徽 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况 随机访问50名职工 根据这50名职工对该部门的评分 绘制频率分布直方图 如图9 4 1 其中样本数据分组区间为 40 50 50 60 80 90 90 100 图9 4 1 1 求频率分布直方图中a的值 2 估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率 3 从评分在 40 60 的受访职工中 随机抽取2人 求此2 人评分都在 40 50 的概率 解 1 因为 0 004 a 0 018 0 022 2 0 028 10 1 所以a 0 006 2 由所给频率分布直方图知 50名受访职工评分不低于 80的频率为 0 022 0 018 10 0 4 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值 为0 4 3 受访职工评分在 50 60 的有50 0 006 10 3 人 设为A1 A2 A3 受访职工评分在 40 50 的有50 0 004 10 2 人 设为B1 B2 从这5名受访职工中随机抽取2人 所有可能的结果共有10种 它们是 A1 A2 A1 A3 A1 B1 A1 B2 A2 A3 A2 B1 A2 B2 A3 B1 A3 B2 B1 B2 又因为所抽取2人的评分都在 40 50 的结果有1种 即 B1 B2 故所求的概率p 110 规律方法 古典概型在和统计等其他知识结合考查时 通常有两种方式 一种是将统计等其他知识和古典概型捆绑起来 利用其他知识来处理古典概型问题 另一种就是与其他知识点独立地考查而相互影响不大 前一种对知识的掌握方面要求更高 如果在前面的问题处理错 可能对后面的古典概型处理带来一定的失误 通常会设置若干问题 会运用到统计中的相关知识处理相 关数据 互动探究 4 2014年福建 根据世行2013年新标准 人均GDP低于1035美元为低收入国家 人均GDP为1035 4085美元为中等偏下收入国家 人均GDP为4085 12616美元为中等偏上收入国家 人均GDP不低于12616美元为高收入国家 某城市有5个行政区 各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表 1 判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准 2 现从该城市5个行政区中随机抽取2个 求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率 解 1 设该城市人口总数为a 则该城市人均GDP为 8000 0 25a 4000 0 30a 6000 0 15a 3000 0 10a 10000 0 20a a 6400 因为6400 4085 12616 所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准 2 从5个行政区中随机抽取2个 的所有基本事件是 A B A C A D A E B C B D B E C D C E D E 共10个 设事件 抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准 为M 则事件M包含的基本事件是 A C A E C E 共3个 所以所求概率为P M 310 考点4互斥事件与对立事件在古典概型中的应用 例4 现有7名亚运会志愿者 其中志愿者A1 A2 A3通晓日语 B1 B2通晓韩语 C1 C2通晓印度语 从中选出通晓日语 韩语和印度语的志愿者各1名 组成一个小组 1 求A1恰被选中的概率 2 求B1和C1不全被选中的概率 解 1 从7人中选出日语 韩语和印度语志愿者各1名 所有可能的结果组成的基本事件有 A1 B1 C1 A1 B1 C2 A1 B2 C1 A1 B2 C2 A2 B1 C1 A2 B1 C2 A2 B2 C1 A2 B2 C2 A3 B1 C1 A3 B1 C2 A3 B2 C1 A3 B2 C2 共12个 由于每一个基本事件被抽取的机会均等 因此这些基本事件的发生是等可能的 用M表示 A1恰被选中 这一事件 事件M包含以下4个基本事件 A1 B1 C1 A1 B1 C2 A1 B2 C1 A1 B2 C2 规律方法 在处理古典概型的问题时 我们通常都将所求事件A分解为若干个互斥事件 尤其是基本事件 的和 利用概率加法公式求解 或者利用对立事件求解 互动探究 D 5 若某公司从5名大学毕业生甲 乙 丙 丁 戊中录用3 人 这5人被录用的机会均等 则甲或乙被录用的概率为 A 23 B 25 C 35 D 910 解析 共有 甲 乙 丙 甲 乙 丁 甲 乙 戊 甲 丙 丁 甲 丙 戊 甲 丁 戊 乙 丙 丁 乙 丙 戊 乙 丁 戊 丙 丁 戊 10种情况 甲或乙都不 被录用的情况只有 丙 丁 戊 概率为 110 所以甲或乙被录 用的概率为1 110 910 易错 易混 易漏 放回与不放回抽样的区别与联系 例题 一个盒子中装有4张卡片 每张卡片上写有1个数 字 分别是1 2 3 4 现从盒子中随机抽取卡片 1 若一次从中随机抽取3张卡片 求3张卡片上数字之和 大于或等于7的概率 2 若第一次随机抽1张卡片 放回后再随机抽取1张卡片 求两次中至少一次抽到数字2的概率 3 4 共3种 所以P A 正解 1 设A表示事件 抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7 任取3张卡片 3张卡片上的数字全部可能的结果是 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 共4种 其中数字之和大于或等于7的是 1 2 4 1 3 4 2 34 2 设B表示事件 至少一次抽到数字2 每次抽1张 连续抽取2张全部可能的结果有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16种 事件B包含的结果有 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 3 2 4 2 共7种 所以所求事件的概率为P B 716 失误与防范 在本题中的不放回与放回抽样方式中 两类情况的基本事件有区别 前者不可能取到两张一样的 后者是可以取到两张一样的 后者肯定是讲究顺序的 但是前者是否讲顺序在于考虑 的角度 可以理解为无放回的一次性抽两张 那就是不讲顺序 即抽到 1 2 和 2 1 只算作一个基本事件 第 1 小题的解法就是这样的思路 如果理解为无放回的抽两次 每次一张 那么就是讲顺序的问题 那么抽到 1 2 和 2 1 就是两个基本事件 如第 2 小题的解法 这两种想法都是正确的 但是值得注意的是在考虑问题时考虑的角度要保持前后一致