2019版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 第2课时 平面与平面垂直课件 新人教B版必修2.ppt

第二课时平面与平面垂直 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 知识探究 1 平面与平面垂直如果两个相交平面的交线与 又这两个平面与第三个平面相交所得的 就称这两个平面互相垂直 第三个平面垂直 两条交线互相垂直 2 判定定理如果一个平面过另一个平面的 则两个平面互相垂直 3 性质定理如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于另一个平面 一条垂线 垂直于它们交线的直线 拓展延伸 平面与平面垂直的判定1 证明面面垂直的一般思路 在一个平面内寻找一条直线或作一条直线使之与另一个平面垂直 把问题转化为直线与平面垂直 2 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现的 因此 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 其转化关系如图所示 自我检测 1 空间四边形ABCD中 若AD BC BD AD 那么有 A 平面ABC 平面ADC B 平面ABC 平面ADB C 平面ABC 平面DBC D 平面ADC 平面DBC D 2 平面 以及直线l满足 且l 则一定有 A l B l C l与 相交 D l 或l 或l与 相交 D 解析 因为 且l 故l与平面 可以平行 可以相交 也可以在平面 内 3 下列命题错误的是 A 若一直线垂直于一平面 则此直线必垂直于这平面上所有直线 B 若一个平面通过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 C 若一直线垂直于一个平面的一条垂线 则此直线必平行于这个平面 D 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直 则它也和这条斜线垂直 C 解析 由线面垂直的定义知 A正确 由面面垂直的判定定理知 B正确 若一直线垂直于一个平面的一条垂线 则此直线可能平行于这个平面 也可能在这个平面内 C错误 由线面垂直的判定定理知 D正确 故选C 4 已知 是两个不同的平面 m n是平面 及 之外的两条不同直线 给出四个论断 m n n m 以其中三个论断作为条件 余下一个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 解析 由m n m n 知n 又n 所以 由 n n 知n 又m 所以m n 答案 或 类型一 平面与平面垂直的判定 课堂探究 素养提升 例1 2017 北京卷 如图 在三棱锥P ABC中 PA AB PA BC AB BC PA AB BC 2 D为线段AC的中点 E为线段PC上一点 1 求证 PA BD 1 证明 因为PA AB PA BC 所以PA 平面ABC 又因为BD 平面ABC 所以PA BD 2 求证 平面BDE 平面PAC 3 当PA 平面BDE时 求三棱锥E BCD的体积 2 证明 因为AB BC D为AC的中点 所以BD AC 由 1 知 PA BD 所以BD 平面PAC 所以平面BDE 平面PAC 方法技巧证明面面垂直的关键是将证明的问题转化为线面垂直的问题 在处理时 应从已知入手 分析已有的垂直关系 再从结论入手 分析要证明的垂直关系 从而架起已知与未知之间的 桥梁 变式训练1 1 如图所示 已知 BSC 90 BSA CSA 60 又SA SB SC 求证 平面ABC 平面SBC 法二 利用判定定理 因为SA SB SC 且 BSA CSA 60 所以SA AB AC 所以点A在平面SBC上的射影为 SBC的外心 因为 SBC为直角三角形 所以点A在 SBC上的射影D为斜边BC的中点 所以AD 平面SBC 又因为AD 平面ABC 所以平面ABC 平面SBC 类型二 平面与平面垂直的性质 例2 如图所示 P是 ABC所在平面外的一点 且PA 平面ABC 平面PAC 平面PBC 求证 BC AC 证明 如图所示 在平面PAC内作AD PC交PC于D 因为平面PAC 平面PBC AD 平面PAC 且平面PAC 平面PBC PC 所以AD 平面PBC 又BC 平面PBC 所以AD BC 因为PA 平面ABC BC 平面ABC 所以PA BC 因为AD PA A 所以BC 平面PAC 又AC 平面PAC 所以BC AC 方法技巧已知条件是线面垂直和面面垂直 要证明两条直线垂直应将两条直线中的一条纳入一平面中 使另一条直线与该平面垂直 即从线面垂直得到线线垂直 在空间几何图形中 高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系 通过本题可以看到 面面垂直 线面垂直 线线垂直 变式训练2 1 已知 是三个不同的平面 l 求证 l 证明 法一设 a b 在 内作m a 在 内作n b 如图所示 因为 所以m n 所以m n 又n m 所以m 又 l m 所以m l 则l a l b 所以l 法二设 a b 在 内任取一点P 过P在 内作直线m a n b 如图所示 因为 所以m n 又因为 l 所以m l n l 所以l 类型三 线线 线面 面面垂直的综合应用 例3 2017 全国 卷 如图 在四棱锥P ABCD中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 证明 平面PAB 平面PAD 1 证明 由已知 BAP CDP 90 得AB AP CD PD 由于AB CD 故AB PD 从而AB 平面PAD 又AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 变式训练3 1 如图所示 ABC为正三角形 EC 平面ABC BD CE 且CE CA 2BD M是EA的中点 求证 1 DE DA 2 平面BDM 平面ECA 3 平面DEA 平面ECA 3 由 2 知DM BN BN 平面ECA 所以DM 平面ECA 因为DM 平面DEA 所以平面DEA 平面ECA 谢谢观赏