2019年高考数学总复习 6.3.2 随机变量及其分布课件 理.ppt

6 3 2随机变量及其分布 考向一 考向二 离散型随机变量的分布列 多维探究 题型1相互独立事件 互斥事件的概率及分布列例1从甲地到乙地要经过3个十字路口 设各路口信号灯工作相互独立 且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 求随机变量X的分布列和数学期望 2 若有2辆车独立地从甲地到乙地 求这2辆车共遇到1个红灯的概率 考向一 考向二 解 1 随机变量X的所有可能取值为0 1 2 3 所以 随机变量X的分布列为 考向一 考向二 2 设Y表示第一辆车遇到红灯的个数 Z表示第二辆车遇到红灯的个数 则所求事件的概率为P Y Z 1 P Y 0 Z 1 P Y 1 Z 0 解题心得字母表示事件法 使用简洁 准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证 引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确 使得问题描述有条理 不会有遗漏 也不会重复 考向一 考向二 对点训练1 2018北京 理17 电影公司随机收集了电影的有关数据 经分类整理得到下表 好评率是指 一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 1 从电影公司收集的电影中随机选取1部 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率 2 从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部 估计恰有1部获得好评的概率 考向一 考向二 3 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等 用 k 1 表示第k类电影得到人们喜欢 k 0 表示第k类电影没有得到人们喜欢 k 1 2 3 4 5 6 写出方差D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 的大小关系 解 1 设 从电影公司收集的电影中随机选取1部 这部电影是获得好评的第四类电影 为事件A 第四类电影中获得好评的电影为200 0 25 50 部 2 设 从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部 恰有1部获得好评 为事件B P B 0 25 0 8 0 75 0 2 0 35 考向一 考向二 3 由题意可知 定义随机变量如下 则 k显然服从两点分布 则六类电影的分布列及方差计算如下 第一类电影 D 1 0 4 0 6 0 24 第二类电影 D 2 0 2 0 8 0 16 考向一 考向二 第三类电影 D 3 0 15 0 85 0 1275 第四类电影 D 4 0 25 0 75 0 1875 第五类电影 D 5 0 2 0 8 0 16 考向一 考向二 第六类电影 D 6 0 1 0 9 0 09 综上所述 D 1 D 4 D 2 D 5 D 3 D 6 考向一 考向二 题型2古典概型的概率及其分布列例2在心理学研究中 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 具体方法如下 将参加试验的志愿者随机分成两组 一组接受甲种心理暗示 另一组接受乙种心理暗示 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 现有6名男志愿者A1 A2 A3 A4 A5 A6和4名女志愿者B1 B2 B3 B4 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示 另5人接受乙种心理暗示 1 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率 2 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 求X的分布列与数学期望E X 考向一 考向二 解 1 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M 2 由题意知X可取的值为0 1 2 3 4 则 考向一 考向二 因此X的分布列为X的数学期望是 E X 0 P X 0 1 P X 1 2 P X 2 3 P X 3 4 P X 4 考向一 考向二 对点训练2为了研究一种新药的疗效 选100名患者随机分成两组 每组各50名 一组服药 另一组不服药 一段时间后 记录了两组患者的生理指标x和y的数据 并制成下图 其中 表示服药者 表示未服药者 1 从服药的50名患者中随机选出一人 求此人指标y的值小于60的概率 2 从图中A B C D四人中随机选出两人 记 为选出的两人中指标x的值大于1 7的人数 求 的分布列和数学期望E 3 试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小 只需写出结论 考向一 考向二 解 1 由图知 在服药的50名患者中 指标y的值小于60的有15人 所以从服药的50名患者中随机选出一人 此人指标y的值小于60的概率为 0 3 2 由图知 A B C D四人中 指标x的值大于1 7的有2人 A和C 所以 的所有可能取值为0 1 2 所以 的分布列为 考向一 考向二 3 在这100名患者中 服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差 考向一 考向二 题型3条件概率与其分布列的综合例3某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下 1 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 2 若一续保人本年度的保费高于基本保费 求其保费比基本保费高出60 的概率 3 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 考向一 考向二 解 1 设A表示事件 一续保人本年度的保费高于基本保费 则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1 故P A 0 2 0 2 0 1 0 05 0 55 2 设B表示事件 一续保人本年度的保费比基本保费高出60 则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3 故P B 0 1 0 05 0 15 又P AB P B 考向一 考向二 3 记续保人本年度的保费为X 则X的分布列为 E X 0 85a 0 30 a 0 15 1 25a 0 20 1 5a 0 20 1 75a 0 10 2a 0 05 1 23a 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1 23 解题心得在P A B 中 事件A B的发生有时间上的差异 B先A后 在P AB 中 事件A B同时发生 考向一 考向二 对点训练3某市环保知识竞赛由甲 乙两支代表队进行总决赛 每队各有3名队员 首轮比赛每人一道必答题 答对则为本队得1分 答错或者不答都得0分 已知甲队3人答对的概率分别为 乙队每人答对的概率都是 设每人回答正确与否相互之间没有影响 用 表示甲队总得分 1 求随机变量 的分布列及其数学期望E 2 求在甲队和乙队得分之和为4的条件下 甲队比乙队得分高的概率 考向一 考向二 解 1 由题设知 的可能取值为0 1 2 3 所以 的分布列为 考向一 考向二 2 设 甲队和乙队得分之和为4 为事件A 甲队比乙队得分高 为事件B 则 考向一 考向二 题型4二项分布例4 2018全国 理20 某工厂的某种产品成箱包装 每箱200件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如检验出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取20件作检验 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为p 0 p 1 且各件产品是否为不合格品相互独立 1 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f p 求f p 的最大值点p0 考向一 考向二 2 现对一箱产品检验了20件 结果恰有2件不合格品 以 1 中确定的p0作为p的值 已知每件产品的检验费用为2元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X 求E X 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验 考向一 考向二 令f p 0 得p 0 1 当p 0 0 1 时 f p 0 当p 0 1 1 时 f p 0 所以f p 的最大值点为p0 0 1 考向一 考向二 2 由 1 知 p 0 1 令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数 依题意知Y B 180 0 1 X 20 2 25Y 即X 40 25Y 所以E X E 40 25Y 40 25E Y 490 如果对余下的产品作检验 则这一箱产品所需要的检验费为400元 由于E X 400 故应该对余下的产品作检验 解题心得对于实际问题中的随机变量X 如果能够断定它服从二项分布B n p 那么其概率 期望与方差可直接利用公式P X k pk 1 p n k k 0 1 2 n E X np D X np 1 p 求得 因此 熟记二项分布的相关公式 可以避免烦琐的运算过程 提高运算速度和准确度 考向一 考向二 对点训练4某班将要举行篮球投篮比赛 比赛规则是 每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次 在A区每进一球得2分 不进球得0分 在B区每进一球得3分 不进球得0分 得分高的选手胜出 已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是 1 如果该选手以在A B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准 问该选手应该选择哪个区投篮 请说明理由 2 求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率 考向一 考向二 所以该选手应该选择在A区投篮 考向一 考向二 2 设 该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分 为事件C 该选手在A区投篮得4分 且在B区投篮得3分或0分 为事件D 该选手在A区投篮得2分 且在B区投篮得0分 为事件E 则事件C D E 且事件D与事件E互斥 考向一 考向二 题型5超几何分布例5某手机厂商推出一款智能手机 现对500名该手机使用者 200名女性 300名男性 进行调查 对手机进行打分 打分的频数分布表如下 1 完成下列频率分布直方图 并比较女性用户和男性用户评分的方差大小 不计算具体值 给出结论即可 考向一 考向二 2 根据评分的不同 采用分层抽样从男性用户中抽取20名用户 在这20名用户中 从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户 求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望 女性用户男性用户 考向一 考向二 解 1 女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如图所示 女性用户男性用户由图可得女性用户的波动大 男性用户的波动小 故女性用户评分的方差比男性用户评分的方差大 考向一 考向二 2 运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户 评分不低于80分有6人 其中评分小于90分的人数为4 从6人中任取3人 记评分小于90分的人数为X 则X的所有可能取值为1 2 3 所以X的分布列为 考向一 考向二 解题心得超几何分布 一般地 在含有M件次品的N件产品中 m min M n 且n N M N n M N N 考向一 考向二 对点训练5甲 乙两人参加普法知识竞赛 共设有10个不同的题目 其中选择题6个 判断题4个 1 若甲 乙二人依次各抽一题 计算 甲抽到判断题 乙抽到选择题的概率是多少 甲 乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 2 若甲从中随机抽取5个题目 其中判断题的个数为 求 的分布列和期望 考向一 考向二 解 1 甲抽到判断题 乙抽到选择题的概率为 所以 的分布列为 考向一 考向二 考向一 考向二 样本的均值 方差与正态分布的综合例6为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件 并测量其尺寸 单位 cm 根据长期生产经验 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N 2 1 假设生产状态正常 记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 3 3 之外的零件数 求P X 1 及X的数学期望 2 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 3 3 之外的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 考向一 考向二 试说明上述监控生产过程方法的合理性 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸 考向一 考向二 附 若随机变量Z服从正态分布N 2 则P 3 Z 3 0 9973 考向一 考向二 解 1 抽取的一个零件的尺寸在 3 3 之内的概率为0 9973 从而零件的尺寸在 3 3 之外的概率为0 0027 故X B 16 0 0027 因此P X 1 1 P X 0 1 0 997316 0 0423 X的数学期望为E X 16 0 0027 0 0432 2 如果生产状态正常 一个零件尺寸在 3 3 之外的概率只有0 0027 一天内抽取的16个零件中 出现尺寸在 3 3 之外的零件的概率只有0 0423 发生的概率很小 因此一旦发生这种情况 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 可见上述监控生产过程的方法是合理的 考向一 考向二 考向一 考向二 解题心得解决正态分布有关的问题 在理解 2意义的情况下 记清正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线 很多问题都是利用图象的对称性解决的 考向一 考向二 对点训练6从某企业生产的某种产品中抽取500件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下频率分布直方图 考向一 考向二 1 求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 2 由直方图可以认为 这种产品的质量指标值Z服从正态分布N 2 其中 近似为样本平均数 2近似为样本方差s2 利用该正态分布 求P 187 8 Z 212 2 某用户从该企业购买了100件这种产品 记X表示这100件产品中质量指标值位于区间 187 8 212 2 的产品件数 利用 的结果 求E X 考向一 考向二 解 1 抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为 170 0 02 180 0 09 190 0 22 200 0 33 210 0 24 220 0 08 230 0 02 200 s2 30 2 0 02 20 2 0 09 10 2 0 22 0 0 33 102 0 24 202 0 08 302 0 02 150 2 由 1 知 Z N 200 150 从而P 187 8 Z 212 2 P 200 12 2 Z 200 12 2 0 6827 由 知 一件产品的质量指标值位于区间 187 8 212 2 的概率为0 6827 依题意知X B 100 0 6827 所以E X 100 0 6827 68 27