2019年高考数学总复习 5.3.1 空间中的平行与垂直课件 理.ppt

5 3立体几何大题 1 证明线线平行和线线垂直的常用方法 1 证明线线平行常用的方法 利用平行公理 即证两条直线同时和第三条直线平行 利用平行四边形进行平行转换 利用三角形的中位线定理证线线平行 利用线面平行 面面平行的性质定理进行平行转换 2 证明线线垂直常用的方法 利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质 勾股定理 线面垂直的性质 即要证两直线垂直 只需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可 即l a l a 2 证明线面平行和线面垂直的常用方法 1 证明线面平行的常用方法 利用线面平行的判定定理把证明线面平行转化为证明线线平行 利用面面平行的性质定理把证明线面平行转化为证明面面平行 2 证明线面垂直的常用方法 利用线面垂直的判定定理把线面垂直转化为证明线线垂直 利用面面垂直的性质定理把证明线面垂直转化为证明面面垂直 利用常见结论 如两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面等 3 证明面面平行和面面垂直的常用方法 1 证明面面平行的方法证明面面平行 依据判定定理 只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可 从而将证明面面平行转化为证明线面平行 再转化为证明线线平行 2 证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 即证明一个面过另一个面的一条垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线解决 4 利用空间向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 则 1 线面平行 l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 线面垂直 l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 5 利用空间向量求空间角 1 线线夹角的计算 设l m的方向向量分别为a b 且它们的夹角为 2 线面夹角的计算 设平面 的法向量为n 直线AB与平面 所成的角为 如下图 3 面面夹角的计算 设平面 的法向量分别为n1 n2 与 的夹角为 如下图 6 求点到平面的距离 5 3 1空间中的平行与垂直 考向一 考向二 平行与垂直关系的证明解题策略一几何法例1如图 在三棱锥A BCD中 AB AD BC BD 平面ABD 平面BCD 点E F E与A D不重合 分别在棱AD BD上 且EF AD 求证 1 EF 平面ABC 2 AD AC 考向一 考向二 证明 1 在平面ABD内 因为AB AD EF AD 所以EF AB 又因为EF 平面ABC AB 平面ABC 所以EF 平面ABC 2 因为平面ABD 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD BC 平面BCD BC BD 所以BC 平面ABD 因为AD 平面ABD 所以BC AD 又AB AD BC AB B AB 平面ABC BC 平面ABC 所以AD 平面ABC 又因为AC 平面ABC 所以AD AC 考向一 考向二 解题心得从解题方法上说 由于线线平行 垂直 线面平行 垂直 面面平行 垂直 之间可以相互转化 因此整个解题过程始终沿着线线平行 垂直 线面平行 垂直 面面平行 垂直 的转化途径进行 考向一 考向二 对点训练1 2018江苏 15 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB AB1 B1C1 求证 1 AB 平面A1B1C 2 平面ABB1A1 平面A1BC 考向一 考向二 证明 1 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 AB A1B1 因为AB 平面A1B1C A1B1 平面A1B1C 所以AB 平面A1B1C 2 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 四边形ABB1A1为平行四边形 又因为AA1 AB 所以四边形ABB1A1为菱形 因此AB1 A1B 又因为AB1 B1C1 BC B1C1 所以AB1 BC 又因为A1B BC B A1B 平面A1BC BC 平面A1BC 所以AB1 平面A1BC 因为AB1 平面ABB1A1 所以平面ABB1A1 平面A1BC 考向一 考向二 解题策略二解析法例2如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 PA AB 2 BAD 60 E是PA的中点 求证 1 直线PC 平面BDE 2 BD PC 考向一 考向二 考向一 考向二 1 设平面BDE的法向量为n1 x1 y1 z1 又PC 平面BDE 所以PC 平面BDE 考向一 考向二 解题心得向量坐标法 利用空间向量证明空间的平行或垂直关系 首先建立空间直角坐标系 然后用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量 最后利用向量的数量积或数乘运算证明 用向量方法证明直线a b 只需证明向量a b R 其中a b分别是直线a b的方向向量 证直线和平面垂直 只需证直线的方向向量与平面的法向量共线 证直线和平面平行 除证直线的方向向量与平面的法向量垂直外 还需强调直线在平面外 考向一 考向二 对点训练2如图 由直三棱柱ABC A1B1C1和四棱锥D BB1C1C构成的几何体中 BAC 90 AB 1 BC BB1 2 C1D CD 平面CC1D 平面ACC1A1 1 求证 AC DC1 2 若M为DC1的中点 求证 AM 平面DBB1 考向一 考向二 1 证明 在直三棱柱ABC A1B1C1中 CC1 平面ABC 故AC CC1 因为平面CC1D 平面ACC1A1 且平面CC1D 平面ACC1A1 CC1 所以AC 平面CC1D 又C1D 平面CC1D 所以AC DC1 2 证明 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面ABC 所以AA1 AB AA1 AC 又 BAC 90 所以建立如图空间直角坐标系Axyz 考向一 考向二 依据已知条件可得 考向一 考向二 所以AM与平面DBB1所成角为0 又AM 平面DBB1 即AM 平面DBB1 考向一 考向二 与平行 垂直有关的存在性问题例3如图 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD PA PD PA PD AB AD AB 1 AD 2 AC CD 1 求证 PD 平面PAB 2 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 3 在棱PA上是否存在点M 使得BM 平面PCD 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 考向一 考向二 1 证明 因为平面PAD 平面ABCD AB AD 所以AB 平面PAD 所以AB PD 又因为PA PD 所以PD 平面PAB 2 解 取AD的中点O 连接PO CO 因为PA PD 所以PO AD 又因为PO 平面PAD 平面PAD 平面ABCD 所以PO 平面ABCD 因为CO 平面ABCD 所以PO CO 因为AC CD 所以CO AD 如图建立空间直角坐标系Oxyz 由题意 得A 0 1 0 B 1 1 0 C 2 0 0 D 0 1 0 P 0 0 1 设平面PCD的法向量为n x y z 考向一 考向二 考向一 考向二 解题心得1 先假设题中的数学对象存在 或结论成立 再在这个前提下进行逻辑推理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定结论 2 空间向量最适合解决这类探索性问题 解题时无需进行复杂的作图 论证 推理 只需把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 即通过坐标运算进行判断 这就是计算推理法 考向一 考向二 对点训练3如图 在三棱锥P ABC中 侧棱PA 2 底面 ABC为正三角形 边长为2 顶点P在平面ABC上的射影为D AD DB 且DB 1 1 求证 AC 平面PDB 2 求二面角P AB C的余弦值 3 在线段PC上是否存在点E使得PC 平面ABE 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 考向一 考向二 1 证明 因为AD DB 且DB 1 AB 2 因为 ABC为正三角形 所以 CAB 60 所以DB AC 因为AC 平面PDB DB 平面PDB 所以AC 平面PDB 2 解 由点P在平面ABC上的射影为D 可得PD 平面ACBD 所以PD DA PD DB 如图 以D为原点 DB为x轴 DA为y轴 DP为z轴 建立空间直角坐标系 考向一 考向二 考向一 考向二 所以在线段PC上不存在点E使得PC 平面ABE