2019届高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题课件理.ppt

第3讲圆锥曲线中的热点问题 高考定位1 圆锥曲线中的定点与定值 最值与范围问题是高考必考的问题之一 主要以解答题形式考查 往往作为试卷的压轴题之一 2 以椭圆或抛物线为背景 尤其是与条件或结论相关存在性开放问题 对考生的代数恒等变形能力 计算能力有较高的要求 并突出数学思想方法考查 真题感悟 答案5 2 2018 北京卷 已知抛物线C y2 2px经过点P 1 2 过点Q 0 1 的直线l与抛物线C有两个不同的交点A B 且直线PA交y轴于M 直线PB交y轴于N 1 解因为抛物线y2 2px过点 1 2 所以2p 4 即p 2 故抛物线C的方程为y2 4x 由题意知 直线l的斜率存在且不为0 设直线l的方程为y kx 1 k 0 依题意 2k 4 2 4 k2 1 0 解得k 1 又因为k 0 故k 0或0 k 1 又PA PB与y轴相交 故直线l不过点 1 2 从而k 3 所以直线l斜率的取值范围是 3 3 0 0 1 2 证明设A x1 y1 B x2 y2 1 求C的方程 2 设直线l不经过P2点且与C相交于A B两点 若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 1 证明 l过定点 1 解由于点P3 P4关于y轴对称 由题设知C必过P3 P4 所以点P2在椭圆C上 2 证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1 k2 如果直线l的斜率不存在 l垂直于x轴 设l x m A m yA B m yA 此时l过椭圆右顶点 不存在两个交点 故不满足 从而可设l y kx m m 1 由题设可知 16 4k2 m2 1 0 由题设k1 k2 1 故 2k 1 x1x2 m 1 x1 x2 0 解之得m 2k 1 此时 32 m 1 0 方程有解 当且仅当m 1时 0 直线l的方程为y kx 2k 1 即y 1 k x 2 所以l过定点 2 1 1 圆锥曲线中的范围 最值问题 可以转化为函数的最值问题 以所求式子或参数为函数值 或者利用式子的几何意义求解 温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的 在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响 考点整合 2 定点 定值问题 1 定点问题 在解析几何中 有些含有参数的直线或曲线的方程 不论参数如何变化 其都过某定点 这类问题称为定点问题 若得到了直线方程的点斜式 y y0 k x x0 则直线必过定点 x0 y0 若得到了直线方程的斜截式 y kx m 则直线必过定点 0 m 2 定值问题 在解析几何中 有些几何量 如斜率 距离 面积 比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关 这类问题统称为定值问题 3 存在性问题的解题步骤 1 先假设存在 引入参变量 根据题目条件列出关于参变量的方程 组 或不等式 组 2 解此方程 组 或不等式 组 若有解则存在 若无解则不存在 3 得出结论 2 当直线l的斜率为0时 MA MB 12 当直线l的斜率不为0时 设直线l x my 4 点A x1 y1 B x2 y2 由 64m2 48 m2 4 0 得m2 12 探究提高求圆锥曲线中范围 最值的主要方法 1 几何法 若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义 则考虑利用图形性质数形结合求解 2 代数法 若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系 或者不等关系 或者已知参数与新参数之间的等量关系等 则利用代数法求参数的范围 训练1 2018 浙江卷 如图 已知点P是y轴左侧 不含y轴 一点 抛物线C y2 4x上存在不同的两点A B满足PA PB的中点均在C上 所以y1 y2 2y0 因此 PM垂直于y轴 又a2 b2 c2 c2 3 所以a2 4 b2 1 探究提高1 求定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题 然后证明与参数无关 这类问题选择消元的方向是非常关键的 1 求椭圆C的方程及离心率 2 设P为第三象限内一点且在椭圆C上 直线PA与y轴交于点M 直线PB与x轴交于点N 求证 四边形ABNM的面积为定值 即四边形ABNM的面积为定值2 1 解设点P坐标为 x y 点Q坐标为 0 y 2 证明当两直线的斜率都存在且不为0时 探究提高1 动直线l过定点问题 设动直线方程 斜率存在 为y kx t 由题设条件将t用k表示为t mk 得y k x m 故动直线过定点 m 0 2 动曲线C过定点问题 引入参变量建立曲线C的方程 再根据其对参变量恒成立 令其系数等于零 得出定点 训练3 已知曲线C y2 4x 曲线M x 1 2 y2 4 x 1 直线l与曲线C交于A B两点 O为坐标原点 解设l x my n A x1 y1 B x2 y2 y1 y2 4m y1y2 4n x1 x2 4m2 2n x1x2 n2 直线l方程为x my 2 直线l恒过定点 2 0 2 直线l与曲线M x 1 2 y2 4 x 1 相切 整理得4m2 n2 2n 3 n 3 又点P坐标为 1 0 x1 1 x2 1 y1y2 x1x2 x1 x2 1 y1y2 n2 4m2 2n 1 4n n2 4m2 6n 1 4 4n 又y 4 4n n 3 是减函数 当n 3时 y 4 4n取得最大值 8 解 1 在 ABC中 由余弦定理AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC CA CB 2 3CA CB 4 消去y得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 8k2 8 0 探究提高1 此类问题一般分为探究条件 探究结论两种 若探究条件 则可先假设条件成立 再验证结论是否成立 成立则存在 不成立则不存在 若探究结论 则应先求出结论的表达式 再针对其表达式进行讨论 往往涉及对参数的讨论 2 求解步骤 假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 用待定系数法设出 列出关于待定系数的方程组 若方程组有实数解 则元素 点 直线 曲线或参数 存在 否则 元素 点 直线 曲线或参数 不存在 2 易知直线l的斜率存在 设l的方程为y k x 4 因为 AMF与 MFN的面积相等 所以 AM MN 所以2x1 x2 4 将 代入到 式 整理化简得36k2 5 1 解答圆锥曲线的定值 定点问题 从三个方面把握 1 从特殊开始 求出定值 再证明该值与变量无关 2 直接推理 计算 在整个过程中消去变量 得定值 3 在含有参数的曲线方程里面 把参数从含有参数的项里面分离出来 并令其系数为零 可以解出定点坐标 2 圆锥曲线的范围问题的常见求法 1 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义 则考虑利用图形性质来解决 2 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 则可首先建立起目标函数 再求这个函数的最值 3 存在性问题求解的思路及策略 1 思路 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确 则存在 若结论不正确 则不存在 2 策略 当条件和结论不唯一时要分类讨论 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件