2019届高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题4 立体几何 2.4.2 空间中的平行与垂直课件.ppt

第2课时空间中的平行与垂直 热点考向一与点 线 面有关的命题真假的判断 考向剖析 本考向考查形式为选择题 填空题或解答题 主要考查线线 线面 面面的位置关系以及四个公理 八个与平行或垂直有关的定理 线面平行的判断与性质 面面平行的判断与性质 线面垂直的判断与 性质 面面垂直的判断与性质 的应用 考查学生的空间想象能力 逻辑推理能力 多为基础题 中档题 分数为5分左右 2019年的高考仍将以选择题 填空题的形式考查 考查知识点 线线 线面 面面位置关系的判断 典例1 1 已知直线l m 平面 且l m 下列命题 l m l m l m l m 其中正确的序号是 A B C D 2 已知 是两个不同的平面 l m n是不同的直线 下列命题不正确的是 A 若l m l n m n 则l B 若l m l m 则l C 若 l m m l 则m D 若 m n 则m n 解析 1 选B 因为l l 而m 所以l m 对 因为l m 时l m位置关系不定 故错 因为l l m m 而m 所以 对 因为l m l m时 位置关系不定 故错 2 选A 若l m l n m n 不能推出l 缺少条件m与n相交 故不正确 名师点睛 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 1 借助空间线面平行 面面平行 线面垂直 面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 2 借助空间几何模型 如从长方体模型 四面体模型等模型中观察线面位置关系 结合有关定理 进行判断 3 借助于反证法 当从正面入手较难时 可利用反证法 推出与题设或公认的结论相矛盾的命题 进而作出判断 考向精炼 1 是一个平面 m n是两条直线 A是一个点 若m n 且A m A 则m n的位置关系不可能是 A 垂直B 相交C 异面D 平行 解析 选D 因为 是一个平面 m n是两条直线 A是一个点 m n 所以n在平面 内 m与平面 相交 因为A m A 所以A是m和平面 相交的点 所以m和n异面或相交 垂直 一定不平行 2 2018 榆林一模 设l m是不同的直线 是不同的平面 则下列命题正确的是 若l m m 则l 或l 若l 则l 或l 若l m 则l m或l与m相交 若l 则l 或l 解析 对于命题 若l m m 则l 或l 故 错 对于命题 若l 则l 或l 故 对 对于命题 若l m 则l m或l与m相交 或l与m异面 故 错 对于命题 如图 内的任何一条线都可以作l 显然不正确 答案 加练备选 2018 西安一模 已知直线a b和平面 下列命题中是假命题的有 只填序号 若a b 则a平行于经过b的任何平面 若a b 则a b 若a b 且 则a b 若 a 且b 则b a 解析 若a b a b可以确定平面 则a平行于经过b的任何平面 不正确 若a b 则a b或a b相交 异面 不正确 若a b 且 则a b关系不确定 不正确 若 a 且b 则b与a关系不确定 不正确 答案 热点考向二平行与垂直关系的证明高频考向 类型一平行关系的证明 典例2 如图 已知四棱锥S ABCD中 底面ABCD是边长为2的菱形 BAD 60 SA SD SB 点E是棱AD的中点 点F在棱SC上 且 SA 平面BEF 1 求实数 的值 2 求三棱锥F EBC的体积 大题小做 解析 1 连接AC 设AC BE G 连接FG 则平面SAC 平面EFB FG 因为SA 平面EFB 所以SA FG 因为 GEA GBC 所以所以 2 连接SE 因为SA SD AD 2 所以SE AD SE 2 又因为AB AD 2 BAD 60 所以BE 所以SE2 BE2 SB2 所以SE BE 所以SE 平面ABCD 所以VF BCE 类型二空间垂直关系的证明 典例3 2017 全国卷 如图 在四棱锥P ABCD中 AB CD 且 BAP CDP 90 世纪金榜导学号 1 证明 平面PAB 平面PAD 2 若PA PD AB DC APD 90 且四棱锥P ABCD的体积为 求该四棱锥的侧面积 大题小做 解析 1 因为 BAP 90 所以AB PA 因为 CDP 90 所以CD PD 因为AB CD 所以AB PD 又PA PD P 所以AB 平面PAD 因为AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 2 取AD的中点E 连接PE 则可得PE 平面ABCD 设AB x 则由已知可得AD x PE x 故四棱锥P ABCD的体积VP ABCD AB AD PE x3 由题设得x3 故x 2 从而PA PD 2 AD BC 2 PB PC 2 可得四棱锥P ABCD的侧面积为PA PD PA AB PD DC BC2sin60 6 2 探究追问 1 问题 2 中的条件不变 求四棱锥P ABCD的全面积 解析 由上面的解法可知 ABCD为矩形 其面积为AB AD 2 2 4 所以四棱锥P ABCD的全面积为 四棱锥P ABCD的侧面积 四棱锥P ABCD的底面面积 6 2 4 2 问题 2 中的体积不变 求四棱锥P ABCD的外接球的表面积与体积 解析 依题意得 球心在过矩形ABCD的中心K且与底面垂直的直线上 同时也在过 APD的重心H与平面垂直的直线上 又因为AE 所以HE EK 1 设球的半径为R 则R2 AE2 EK2 EH2 2 12 所以R 所以四棱锥P ABCD的外接球的表面积为4 R2 体积 名师点睛 1 证明空间三种平行关系的常用方法 1 证明线线平行 利用三角形中位线定理证明 利用平行四边形对边平行证明 利用平行公理证明 利用线面平行的性质证明 利用面面平行的性质证明 2 证明线面平行 利用线面平行的判定定理 把证明线面平行转化为证明线线平行 利用面面平行的性质定理 把证明线面平行转化为证明面面平行 3 证明面面平行证明面面平行 依据判定定理 将证明面面平行转化为证明线面平行 再转化为证明线线平行 2 证明空间三种垂直关系的常用方法 1 证明线线垂直 利用特殊平面图形的性质 如利用直角三角形 矩形 菱形 等腰三角形等得到线线垂直 利用勾股定理的逆定理 利用线面垂直的性质 即要证明线线垂直 只需证明一线垂直于另一线所在平面即可 2 证明线面垂直 利用线面垂直的判定定理 把线面垂直的判定转化为证明线线垂直 利用面面垂直的性质定理 把证明线面垂直转化为证明面面垂直 利用常见结论 如两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面等 3 证明面面垂直 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线解决 当二面角是直二面角时 两平面垂直 考向精炼 1 2018 全国卷 如图 矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直 M是上异于C D的点 1 证明 平面AMD 平面BMC 2 在线段AM上是否存在点P 使得MC 平面PBD 说明理由 解析 1 由题设知 平面CMD 平面ABCD 交线为CD 因为BC CD BC 平面ABCD 所以BC 平面CMD 故BC DM 因为M为上异于C D的点 且DC为直径 所以DM CM 又BC CM C 所以DM 平面BMC 而DM 平面AMD 故平面AMD 平面BMC 2 存在 AM的中点即为符合题意的点P 证明如下 取AM的中点P 连接AC BD交于点N 连接PN 因为ABCD是矩形 所以N是AC的中点 在 ACM中 点P N分别是AM AC的中点 所以PN MC 又因为PN 平面PBD MC 平面PBD 所以MC 平面PBD 所以 在线段AM上存在点P 即AM的中点 使得MC 平面PBD 2 2018 南阳一模 如图 正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面相互垂直 AB CD AB BC DC BC AB 1 点M在线段EC上 世纪金榜导学号 1 证明 平面BDM 平面ADEF 2 若AE 平面MDB 求三棱锥E MDB的体积 解析 1 因为DC BC 1 DC BC 所以BD 在梯形ABCD中 AD AB 2 所以AD2 BD2 AB2 所以 ADB 90 所以AD BD 又平面ADEF 平面ABCD ED AD 平面ADEF 平面ABCD AD ED 平面ADEF 所以ED 平面ABCD 因为BD 平面ABCD 所以BD ED 又AD DE D 所以BD 平面ADEF 又BD 平面BDM 所以平面BDM 平面ADEF 2 如图 连接AC AC BD O 连接MO 平面EAC 平面MBD MO 又AE 平面MDB 所以AE MO 所以S EDM 因为ED 平面ABCD BC 平面ABCD 所以DE BC ED DC D 所以BC 平面EDC 所以VE MBD VB EMD 加练备选 1 新题预测 已知如图 斜三棱柱ABC A1B1C1中 点D D1分别为AC A1C1上的点 1 当等于何值时 BC1 平面AB1D1 2 若平面BC1D 平面AB1D1 求的值 解析 1 如图 取D1为线段A1C1的中点 此时 1 连接A1B交AB1于点O 连接OD1 由棱柱的性质 知四边形A1ABB1为平行四边形 所以点O为A1B的中点 在 A1BC1中 点O D1分别为A1B A1C1的中点 所以OD1 BC1 又因为OD1 平面AB1D1 BC1 平面AB1D1 所以BC1 平面AB1D1 所以当 1时 BC1 平面AB1D1 2 由已知 平面BC1D 平面AB1D1 且平面A1BC1 平面BDC1 BC1 平面A1BC1 平面AB1D1 D1O 因此BC1 D1O 同理AD1 DC1 因为又因为 2 2017 北京一模 如图 在四棱锥P ABCD中 平面PAB 平面ABCD AD BC PA AB CD AD BC CD AD E为AD的中点 1 求证 PA CD 2 求证 平面PBD 平面PAB 解析 1 因为平面PAB 平面ABCD 平面PAB 平面ABCD AB 又因为PA AB 所以PA 平面ABCD 则PA CD 2 由已知 BC ED 且BC ED 所以四边形BCDE是平行四边形 又CD AD BC CD 所以四边形BCDE是正方形 连接CE 所以BD CE 又因为BC AE BC AE 所以四边形ABCE是平行四边形 所以CE AB 则BD AB 由 1 知PA 平面ABCD 所以PA BD 又因为PA AB A 则BD 平面PAB 且BD 平面PBD 所以平面PBD 平面PAB 热点考向三折叠问题和探索性问题考向剖析 本考向考查形式三种题型都可能会出现 主要考查与折叠有关的平行 垂直关系的判断 此时要关注折叠前后某些元素的变还是不变 再者是与平行 垂直有关的探究性问题 此时要关注平行 垂直的性质定理 其性质往往是解题的突破口 考查学生的空间想象能力 逻辑推理能力 2019年的高考仍将以选择题 填空题或解答题的形式考查 典例4 1 如图 在矩形ABCD中 AB 8 BC 4 E为DC的中点 沿AE将 ADE折起 在折起过程中 下列结论中能成立的序号为 ED 平面ACD CD 平面BED BD 平面ACD AD 平面BED 2 2018 郑州二模 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是菱形 DAB 30 PD 平面ABCD AD 2 点E为AB上一点 且 m 点F为PD中点 若m 证明 直线AF 平面PEC 是否存在一个常数m 使得平面PED 平面PAB 若存在 求出m的值 若不存在 说明理由 审题导引 1 看到图形是折叠问题 可联想到折叠前后各个元素间的 2 看到证明直线与平面平行 可联想证明 看到平面PED 平面PAB 可联想到平面与平面 变与不变 直线与直 线平行 垂直的 性质 解析 1 因为在矩形ABCD中 AB 8 BC 4 E为DC的中点 所以在折起过程中 D点在平面BCE上的投影如图 因为DE与AC所成角不能为直角 所以DE不会垂直于平面ACD 故 错误 只有D点投影位于O2位置时 即平面AED与平面AEB重合时 才有BE CD 此时CD不垂直于平面AECB 故CD与平面BED不垂直 故 错误 BD与AC所成角不能成直角 所以BD不能垂直于平面ACD 故 错误 因为AD ED 并且在折起过程中 存在一个位置使AD BE 且DE BE E 所以在折起过程中存在AD 平面BED的位置 故 正确 答案 2 作FM CD 交PC于点M 因为点F为PD的中点 所以FM CD 因为m 所以AE AB FM 又FM CD AE 所以四边形AEMF为平行四边形 所以AF EM 因为AF 平面PEC EM 平面PEC 所以直线AF 平面PEC 存在一个常数m 使得平面PED 平面PAB 理由如下 要使平面PED 平面PAB 只需AB DE 因为AB AD 2 DAB 30 所以AE ADcos30 又因为PD 平面ABCD PD AB PD DE D 所以AB 平面PDE 因为AB 平面PAB 所以平面PDE 平面PAB 所以m 名师点睛 1 求解平面图形折叠问题的关键和方法 1 关键 分清翻折前后位置关系和数量关系哪些改变 哪些不变 抓住翻折前后不变的量 尤其是垂直关系 充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口 2 方法 把平面图形翻折后 经过恰当连线就能得到三棱锥 四棱锥等几何体 从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决 2 探索性问题求解的途径和方法 1 对命题条件探索的三种途径 先猜后证 即先观察 尝试给出条件再证明 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件 再证明充分性 将几何问题转化为代数问题 探索出命题成立的条件 2 对命题结论的探索方法 从条件出发 探索出要求的结论是什么 对于探索结论是否存在 求解时常假设结论存在 再寻找与条件相容或者矛盾的结论 考向精炼 1 2018 烟台一模 如图 一张矩形白纸ABCD AB 10 AD 10 E F分别为AD BC的中点 现分别将 ABE CDF沿BE DF折起 且A C在平面BFDE同侧 下列命题正确的是 写出所有正确命题的序号 当平面ABE 平面CDF时 AC 平面BFDE 当平面ABE 平面CDF时 AE CD 当A C重合于点P时 PG PD 当A C重合于点P时 三棱锥P DEF的外接球的表面积为150 解析 在 ABE中 tan ABE 在 ACD中 tan CAD 所以 ABE DAC 由题意 将 ABE CDF沿BE DF折起 且A C在平面BEDF同侧 此时A C G H四点在同一平面内 平面ABE 平面AGHC AG 平面CDF 平面AGHC CH 当平面ABE 平面CDF时 得到AG CH 显然AG CH 所以四边形AGHC是平行四边形 所以AC GH 进而得到AC 平面BFDE 所以 正确 假设AE CD 则四边形AEDC为平面图形 而GH AC 可得GH ED 所以四边形GHDE为平行四边形 可得GH ED 与GH DE矛盾 所以 错误 易知AC BE AC DF 折叠后 可得PG 取GH的中点为O 则PD2 PO2 OD2 100 PD 10 其中GD 10 PG2 PD2 GD2 所以 PG和PD不垂直 所以 错误 当A C重合于点P时 在三棱锥P DEF中 PE PF 5 EF 10 所以 PED为直角三角形 而 EPD为直角三角形 由补形法可知 三棱锥P DEF外接球的直径为则三棱锥P DEF的外接球的表面积为4 R2 4 150 所以 正确 综上 正确命题的序号为 答案 2 如图1 在直角梯形ABCD中 AD BC BAD AB BC AD a E是AD的中点 O是AC与BE的交点 将 ABE沿BE折起到图2中 A1BE的位置 得到四棱锥A1 BCDE 1 证明 CD 平面A1OC 2 当平面A1BE 平面BCDE时 四棱锥A1 BCDE的体积为36 求a的值 解析 1 在图1中 因为AB BC AD a E是AD的中点 BAD 所以BE AC 即在图2中 BE A1O BE OC 从而BE 平面A1OC 又CD BE 所以CD 平面A1OC 2 由已知 平面A1BE 平面BCDE 且平面A1BE 平面BCDE BE 又由 1 知 A1O BE 所以A1O 平面BCDE 即A1O是四棱锥A1 BCDE的高 由图1可知 A1O AB a 平行四边形BCDE的面积S BC AB a2 从而四棱锥A1 BCDE的体积为由得a 6