2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题二 函数与导数 第2讲 导数的简单应用课件 文.ppt

第2讲导数的简单应用 高考导航 热点突破 备选例题 阅卷评析 真题体验 1 2018 全国 卷 文6 设函数f x x3 a 1 x2 ax 若f x 为奇函数 则曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为 A y 2x B y x C y 2x D y x D 高考导航演真题 明备考 解析 法一因为f x 为奇函数 所以f x f x 由此可得a 1 故f x x3 x f x 3x2 1 f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 故选D 法二因为f x x3 a 1 x2 ax为奇函数 所以f x 3x2 2 a 1 x a为偶函数 所以a 1 即f x 3x2 1 所以f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 故选D 2 2016 全国 卷 文9 函数y 2x2 e x 在 2 2 的图象大致为 D 解析 因为f x 2x2 e x x 2 2 是偶函数 又f 2 8 e2 0 1 故排除A B 设g x 2x2 ex 则g x 4x ex 又g 0 0 所以g x 在 0 2 内至少存在一个极值点 所以g x 2x2 e x 在 0 2 内至少存在一个极值点 排除C 故选D 3 2018 全国 卷 文13 曲线y 2lnx在点 1 0 处的切线方程为 答案 y 2x 2 答案 x y 1 0 5 2015 全国 卷 文16 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 答案 8 6 2017 全国 卷 文21 已知函数f x lnx ax2 2a 1 x 1 讨论f x 的单调性 7 2015 全国 卷 文21 已知函数f x lnx a 1 x 1 讨论f x 的单调性 2 当f x 有最大值 且最大值大于2a 2时 求a的取值范围 考情分析 1 考查角度 1 考查导数的几何意义的应用 包括求曲线的切线方程 根据切线方程求参数值等 2 考查导数在研究函数性质中的应用 包括利用导数研究函数性质判断函数图象 利用导数求函数的极值和最值 利用导数研究不等式与方程等 2 题型及难易度选择题 填空题 解答题均有 其中导数几何意义的应用为中等难度偏下 其他问题均属于较难的试题 热点突破剖典例 促迁移 热点一 导数的几何意义 答案 1 C 2 2018 河南南阳一中三模 经过原点 0 0 作函数f x x3 3x2图象的切线 则切线方程为 答案 2 y 0或9x 4y 0 3 2018 黑龙江省哈尔滨九中二模 设函数f x x a 2 lnx2 2a 2 其中x 0 a R 存在x0使得f x0 成立 则实数a的值为 方法技巧 热点训练1 1 2018 辽宁省辽南协作校一模 已知函数f x 在R上满足f x 2f 2 x x2 8x 8 则曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 A y 2x 3 B y x C y 3x 2 D y 2x 1 解析 1 由f x 2f 2 x x2 8x 8 可得f 2 x 2f x 2 x 2 8 8x 即f 2 x 2f x x2 4x 4 将其代入f x 2f 2 x x2 8x 8 可得f x 4f x 8 8x 2x2 x2 8x 8 即f x x2 故f x 2x 因为f 1 1 所以切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 故选D 答案 1 D 答案 2 D 解析 3 根据题意 设曲线y aex 2与2x y 6 0的切点的坐标为 m aem 2 其导数y aex 2 则切线的斜率k aem 2 又由切线方程为2x y 6 0 即y 2x 6 则k aem 2 2 则切线的方程为y aem 2 aem 2 x m 又由aem 2 2 则切线方程为y 2 2 x m 即y 2x 2m 2 则有 2m 2 6 可解得m 2 则切点的坐标为 2 2 则有2 a e 2 2 所以a 2 答案 3 2 3 2018 天津部分区质量调查二 曲线y aex 2的切线方程为2x y 6 0 则实数a的值为 热点二 导数研究函数的单调性 考向1确定函数的单调性 2 讨论函数f x 的单调性 解 2 由于f x xex tx x ex t 当t 0时 ex t 0 当x 0时 f x 0 f x 单调递增 当x0时 由f x 0得x 0或x lnt 当00时 f x 0 f x 单调递增 当lnt0 f x 单调递增 当t 1时 f x 0 f x 单调递增 当t 1时 lnt 0 当x lnt时 f x 0 f x 单调递增 当00 f x 单调递增 综上 当t 0时 f x 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 当01时 f x 在 0 lnt 上是增函数 在 0 lnt 上是减函数 方法技巧 确定函数单调性就是确定函数导数为正值 为负值的区间 基本类型有如下几种 1 导数的零点是确定的数值 只要根据导数的零点划分定义域区间 确定在各个区间上的符号即可得出其单调区间 2 导数零点能够求出 但含有字母参数时 则需要根据参数的不同取值划分定义域区间 再确定导数在各个区间上的符号 3 导数存在零点 但该零点无法具体求出 此时一般是根据导数的性质 函数零点的存在定理确定导数零点的大致位置 再据此零点划分定义域区间 确定导数在各个区间上的符号 考向2根据单调性求参数范围 例3 1 2018 吉林大学附中四模 已知a 0 函数f x x2 2ax ex 若f x 在 1 1 上是单调减函数 则a的取值范围是 亦即a ex x3 2x 在区间 0 上恒成立 令h x ex x3 2x 所以h x ex x3 2x ex 3x2 2 ex x3 2x 3x2 2 ex x 1 x2 4x 2 因为x 0 所以x2 4x 2 0 因为ex 0 所以令h x 0 可得x 1 所以函数h x 在区间 1 上单调递增 在区间 0 1 上单调递减 所以h x min h 1 e1 1 2 e 所以a e 则a的最大值为 e 故选A 方法技巧 函数f x 在区间D上单调递增 减 等价于在区间D上f x 0 0 恒成立 函数f x 在区间D上不单调 等价于在区间D上f x 存在变号零点 考向3函数单调性的简单应用 例4 1 2018 东北三省三校二模 已知定义域为R的函数f x 的导函数为f x 且满足f x f x 1 则下列正确的是 A f 2018 ef 2017 e 1 B f 2018 ef 2017 e 1 D f 2018 ef 2017 e 1 法二构造特殊函数f x ex 2 该函数满足f x f x 1 而f 2018 ef 2017 e2018 2 e e2017 2 2e 2 结合2e 2 e 1可知f 2018 ef 2017 e 1 排除B选项 结合2e 2f x 1 而f 2018 ef 2017 e2018 100 e e2017 100 100e 100 结合100e 100 e 1可知f 2018 ef 2017 e 1 排除D选项 故选A 3 2018 湖南永州市一模 已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f x 若对于任意实数x有f x f x 0 且f 0 1 则不等式exf x 1的解集为 A 0 B 0 C e D e 解析 3 令g x exf x 故g x ex f x f x 由f x f x 0可得 g x 0 所以函数g x 在R上单调递增 又f 0 1 所以g 0 1 所以不等式exf x 1的解集为 0 故选B 方法技巧 2 2018 河北石家庄二模 定义在 0 上的函数f x 满足xf x lnx f x 0 其中f x 为f x 的导函数 若a 1 b 0 则下列各式成立的是 A af a bf b 1 B af a 1 bf b 3 2018 黑龙江哈师大附中三模 若函数f x 2x sinx cosx acosx在 上单调递增 则a的取值范围是 A 1 1 B 1 3 C 3 3 D 3 1 热点三 导数研究函数的极值 最值 考向1导数研究函数极值 例5 1 2018 河南中原名校质检二 已知函数f x 2f 1 lnx x 则f x 的极大值为 A 2 B 2ln2 2 C e D 2 e 方法技巧 1 可导函数的极值点是其导数的变号零点 在零点处 左负右正 的为极小值点 左正右负 的为极大值点 2 根据极值点的个数确定参数范围的问题可以转化为其导数零点个数的问题讨论 考向2导数研究函数最值 方法技巧 1 闭区间 a b 上图象连续的函数其最值在极值和端点值的比较中找到 2 在区间D上如果f x 有唯一的极大 小 值点 该点也是函数的最大 小 值点 备选例题挖内涵 寻思路 例2 1 2018 江西重点中学协作体二联 已知定义在 e 上的函数f x 满足f x xlnxf x 0的解集为 A e 2018 B 2018 C e D e e 1 解析 3 令g x exf x ex 则g x ex f x f x ex ex f x f x 1 0 即g x 在R上为增函数 所以g 3 g 2 即e3f 3 e3 e2f 2 e2 整理得e f 3 1 f 2 1 即a b 故选A 3 2018 陕西咸阳二模 已知定义在R上的函数f x 的导函数为f x 且f x f x 1 设a f 2 1 b e f 3 1 则a b的大小关系为 A ab C a b D 无法确定 em x 1 ex ex2 令h x x 1 ex ex2 h x ex x 1 ex 2ex xex 2ex x ex 2e 0 ex 2e x ln2e 当x 0 ln2e 时 h x 0 h x 为增函数 h x 的最小值为h ln2e ln2e 1 eln2e eln22e 2eln2 e ln2 1 2 eln22 e 所以em eln22 e m 1 ln22 所以m的取值范围是 1 ln22 阅卷评析抓关键 练规范 2 证明 当a 1时 f x e 0 2 证明 当a 1时 f x e x2 x 1 ex 1 e x 6分令g x x2 x 1 ex 1 7分则g x 2x 1 ex 1 9分当x 1时 g x 0 g x 单调递增 11分所以g x g 1 0 因此f x e 0 12分 答题启示 1 导数解答题的基础是正确求出函数的导数 这是解题的起始 一定要细心处理 不要 输在起跑线上 2 导数证明不等式基本技巧是构造函数 利用函数的单调性 最值得出所证不等式