2019届高考数学二轮复习 专题六 函数与导数、不等式 第5讲 导数的综合应用与热点问题课件 理.ppt

第5讲导数的综合应用与热点问题 高考定位在高考压轴题中 函数与方程 不等式的交汇是考查的热点 常以含指数函数 对数函数为载体考查函数的零点 方程的根 比较大小 不等式证明 不等式恒成立与能成立问题 1 2018 全国 卷 已知函数f x ex ax2 1 若a 1 证明 当x 0时 f x 1 2 若f x 在 0 只有一个零点 求a 1 证明当a 1时 f x ex x2 则f x ex 2x 令g x f x 则g x ex 2 令g x 0 解得x ln2 当x 0 ln2 时 g x 0 当x 0时 g x g ln2 2 2ln2 0 f x 在 0 上单调递增 f x f 0 1 真题感悟 2 解若f x 在 0 上只有一个零点 即方程ex ax2 0在 0 上只有一个解 当x 0 2 时 x 0 2 2017 全国 卷 已知函数f x ax2 ax xlnx 且f x 0 1 求a 2 证明 f x 存在唯一的极大值点x0 且e 2 f x0 2 2 1 解f x 的定义域为 0 设g x ax a lnx 则f x xg x f x 0等价于g x 0 因为g 1 0 g x 0 故g 1 0 当01时 g x 0 g x 单调递增 所以x 1是g x 的极小值点 故g x g 1 0 综上 a 1 2 证明由 1 知f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx 当x x0 1 时 h x 0 因为f x h x 所以x x0是f x 的唯一极大值点 由f x0 0得lnx0 2 x0 1 故f x0 x0 1 x0 因为x x0是f x 在 0 1 的最大值点 由e 1 0 1 f e 1 0得f x0 f e 1 e 2 所以e 2 f x0 2 2 1 利用导数研究函数的零点函数的零点 方程的实根 函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念 解决这类问题可以通过函数的单调性 极值与最值 画出函数图象的变化趋势 数形结合求解 2 三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下 由于当x 时 函数值也趋向 只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可 存在两个极值点x1 x2且x1 x2的函数f x ax3 bx2 cx d a 0 的零点分布情况如下 考点整合 3 利用导数解决不等式问题 1 利用导数证明不等式 若证明f x g x 对一切x I恒成立 I是f x g x 的解集的子集 f x g x min 0 x I x I 使f x g x 成立 I与f x g x 的解集的交集不是空集 f x g x max 0 x I 对 x1 x2 I使得f x1 g x2 f x max g x min 对 x1 I x2 I使得f x1 g x2 f x min g x min 温馨提醒解决方程 不等式相关问题 要认真分析题目的结构特点和已知条件 恰当构造函数并借助导数研究性质 这是解题的关键 热点一利用导数研究函数的零点 方程的根 例1 2018 西安调研 函数f x ax xlnx在x 1处取得极值 1 求f x 的单调区间 2 若y f x m 1在定义域内有两个不同的零点 求实数m的取值范围 解 1 f x a lnx 1 x 0 由f 1 a 1 0 解得a 1 则f x x xlnx f x lnx 令f x 0 解得x 1 令f x 0 解得0 x 1 f x 在x 1处取得极小值 f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 2 y f x m 1在 0 内有两个不同的零点 可转化为f x m 1在 0 内有两个不同的根 则函数y f x 与y m 1的图象有两个不同的交点 由 1 知 f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 f x min f 1 1 由题意得 m 1 1 即m 2 当00且x 0时 f x 0 当x 时 显然f x 如图 由图象可知 m 1 0 即m 1 由 可得 2 m 1 因此实数m的取值范围是 2 1 探究提高1 三步求解函数零点 方程根 的个数问题 第一步 将问题转化为函数的零点问题 进而转化为函数的图象与x轴 或直线y k 在该区间上的交点问题 第二步 利用导数研究该函数在该区间上单调性 极值 最值 端点值等性质 进而画出其图象 第三步 结合图象求解 2 根据函数零点情况求参数范围 1 要注意端点的取舍 2 选择恰当的分类标准进行讨论 训练1 设函数f x x3 ax2 bx c 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 设a b 4 若函数f x 有三个不同零点 求c的取值范围 解 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b f 0 c f 0 b 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y bx c 2 当a b 4时 f x x3 4x2 4x c f x 3x2 8x 4 当x变化时 f x 与f x 在区间 上的情况如下 热点二利用导数证明不等式 例2 2018 郑州质检 已知函数f x x 1 aex 1 解由f x x 1 aex 得f x 1 aex 当a 0时 f x 0 则f x 在R上单调递增 2 证明法一设g x f x 2x ex 3x 1 则g x ex 3 由g x ln3 由g x 0 得x 4 ex1 法二 f x1 f x2 5 x1 ex1 ex2 x2 3 x1 2x2 ex1 ex2 3x2 3 设g x ex 3x 则g x ex 3 由g x 0 得x ln3 故g x min g ln3 3 3ln3 10 探究提高1 证明不等式的基本方法 1 利用单调性 若f x 在 a b 上是增函数 则 x a b 有f a f x f b x1 x2 a b 且x1 x2 有f x1 f x2 对于减函数有类似结论 2 利用最值 若f x 在某个范围D内有最大值M 或最小值m 则 x D 有f x M 或f x m 2 证明f x g x 可构造函数F x f x g x 证明F x 0 训练2 2016 全国 卷 设函数f x lnx x 1 令f x 0 解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 因此f x 在 0 1 上是增函数 在 1 上为减函数 2 证明由 1 知 函数f x 在x 1处取得最大值f 1 0 3 证明由题设c 1 设g x 1 c 1 x cx 又g 0 g 1 0 故当00 当x 0 1 时 1 c 1 x cx 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 g x 单调递减 热点三不等式恒成立 存在性问题考法1不等式恒成立问题 例3 1 2016 全国 卷 已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 若当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 解 1 f x 的定义域为 0 当a 4时 f x x 1 lnx 4 x 1 故曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为2x y 2 0 当a 2 x 1 时 x2 2 1 a x 1 x2 2x 1 0 故g x 0 g x 在 1 单调递增 因此g x g 1 0 当a 2时 令g x 0 由x2 1和x1x2 1得x1 1 故当x 1 x2 时 g x 0 g x 在 1 x2 上单调递减 因此g x g 1 0 综上可知 实数a的取值范围是 2 2 f x1 g x2 m 即f x1 m g x2 探究提高1 对于含参数的不等式 如果易分离参数 可先分离参数 构造函数 直接转化为求函数的最值 否则应进行分类讨论 在解题过程中 必要时 可作出函数图象草图 借助几何图形直观分析转化 2 恒成立 与 存在性 问题的求解是 互补 关系 即f x g a 对于x D恒成立 应求f x 的最小值 若存在x D 使得f x g a 成立 应求f x 的最大值 应特别关注等号是否取到 注意端点的取舍 又f 1 1 即切点为 1 1 2 对任意的n 0 2 存在m 0 2 使得f m g n 成立 等价于 在 0 2 上 f x 的最大值大于或等于g x 的最大值 所以g x 在 0 2 上单调递增 所以g x max g 2 2 令f x 0 得x 2或x a 当a 0时 f x 0在 0 2 上恒成立 f x 单调递增 f x max f 2 4 a e 1 2 解得a 4 2e 当0 a 2时 f x 0在 0 a 上恒成立 f x 单调递减 f x 0在 a 2 上恒成立 f x 单调递增 f x 的最大值为f 2 4 a e 1或f 0 ae 所以 4 a e 1 2或ae 2 当a 2时 f x 0在 0 2 上恒成立 f x 单调递减 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4时 函数f x 取得极大值 也是最大值 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 故当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 探究提高利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 建模 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 求最值 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 结论 回归实际问题作答 训练4 2017 全国 卷 如图 圆形纸片的圆心为O 半径为5cm 该纸片上的等边三角形ABC的中心为O D E F为圆O上的点 DBC ECA FAB分别是以BC CA AB为底边的等腰三角形 沿虚线剪开后 分别以BC CA AB为折痕折起 DBC ECA FAB 使得D E F重合 得到三棱锥 当 ABC的边长变化时 所得三棱锥体积 单位 cm3 的最大值为 解析由题意 连接OD 交BC与点G 令f x 0得x 2 当x 0 2 时 f x 0 f x 单调递增 故当x 2时 f x 取得最大值80 1 重视转化思想在研究函数零点中的应用 如方程的解 两函数图象的交点均可转化为函数零点 充分利用函数的图象与性质 借助导数求解 2 对于存在一个极大值和一个极小值的函数 其图象与x轴交点的个数 除了受两个极值大小的制约外 还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约 在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件 3 利用导数方法证明不等式f x g x 在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h x 0 其中找到函数h x f x g x 的零点是解题的突破口 4 不等式恒成立 能成立问题常用解法 1 分离参数后转化为最值 不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下 采用分离参数转化为函数的最值问题 形如a f x max或a f x min 2 直接转化为函数的最值问题 在参数难于分离的情况下 直接转化为含参函数的最值问题 伴有对参数的分类讨论 3 数形结合 构造函数 借助函数图象的几何直观性求解 一定要重视函数性质的灵活应用