2019届高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 1.6.3 导数的简单应用课件 文.ppt

第三讲导数的简单应用 热点题型1导数的几何意义 感悟经典 典例 1 2018 全国卷 设函数f x x3 a 1 x2 ax 若f x 为奇函数 则曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为 A y 2xB y xC y 2xD y x 2 2017 天津高考 已知a R 设函数f x ax lnx的图象在点 1 f 1 处的切线为l 则l在y轴上的截距为 3 直线l y kx与曲线C y x3 3x2 2x切于点P x0 y0 x0 0 则k 联想解题 1 该题考查的是有关曲线y f x 在某个点 x0 f x0 处的切线方程的问题 在求解的过程中 首先需要确定函数解析式 利用奇函数不存在偶次项 偶函数不存在奇次项 从而求得相应的参数值 之后利用求导公式求得f 0 结合直线方程的点斜式求得结果 2 看到曲线的切线 想到利用导数的几何意义 3 看到直线与曲线切于点P x0 y0 求k 想到k 规范解答 1 选D 因为f x 为奇函数 所以f x f x 即a 1 所以f x x3 x 所以f 0 1 所以切线方程为y x 2 f 1 a 切点为 1 a f x a 则切线的斜率为f 1 a 1 切线方程为y a a 1 x 1 令x 0得出y 1 l在y轴的截距为1 答案 1 3 由l过原点知 k x0 0 又点P x0 y0 在曲线C上 所以y0 x03 3x02 2x0 得 x02 3x0 2 因为y 3x2 6x 2 故k 3x02 6x0 2 又k 所以3x02 6x0 2 x02 3x0 2 其中x0 0 解得x0 所以y0 所以k 答案 规律方法 求曲线y f x 的切线方程的三种类型及方法 1 已知切点P x0 y0 求切线方程求出切线的斜率f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率k 求切线方程设切点P x0 y0 通过方程k f x0 解得x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 求切线方程设切点P x0 y0 利用导数求得切线斜率f x0 再由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得x0 再由点斜式或两点式写出方程 对点训练 1 若曲线y lnx ax2 2x a为常数 不存在斜率为负数的切线 则实数a的取值范围是 解析 f x 2ax 2 x 0 由题意得f x 0在x 0时恒成立 所以2ax2 2x 1 0在x 0时恒成立 即2a 所以a 所以a的取值范围为 答案 2 在平面直角坐标系xOy中 若曲线y ax2 a b为常数 过点P 2 5 且该曲线在点P处的切线与直线7x 2y 3 0平行 则a b的值是 解析 曲线y ax2 过点 2 5 则4a 5 又y 2ax 所以由题意4a 由 得故a b 3 答案 3 提分备选 1 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线方程为 解析 因为y 5ex 3 所以y 5ex 故所求的切线的斜率为k 5e0 5 故所求的切线的方程为y 2 5x 即y 5x 2或5x y 2 0 答案 y 5x 2或5x y 2 0 2 函数y xex在其极值点处的切线方程为 解析 y f x xex f x 1 x ex 令f x 0 x 1 此时f 1 函数y xex在其极值点处的切线方程为y 答案 y 热点题型2利用导数研究函数的单调性问题 感悟经典 典例 1 2018 德州一模 已知函数f x x R 满足f 1 1 且f x 的导数f x 则不等式f x2 的解集为 2 2018 合肥一模 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 讨论函数f x 的单调性 联想解题 1 构造合理的导函数 利用单调性解不等式 2 求导分类讨论 解不等式 规范解答 1 设F x f x x 所以F x f x 因为f x 1 即x 1 1 答案 1 1 2 f x 的定义域为 0 f x 2ax 1 当a 1时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 2 当a 0时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 3 当00 故f x 在上单调递减 在上单调递增 规律方法 求可导函数单调区间的方法 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 3 解方程f x 0在定义域的所有实数根 4 将函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来 分成若干个小区间 5 确定f x 在各小区间内的符号 由此确定每个区间的单调性 对点训练 1 若函数f x lnx ax2 2x存在单调递减区间 则实数a的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 0 解析 选A f x ax 2 由题意知f x 0 所以ax2 2x 1 0有实数解 当a 0时 显然满足 当a0 所以 1 1 2 已知函数f x 2xlnx x2 2ax a2 其中a 0 1 设g x 为f x 的导函数 讨论g x 的单调性 2 证明 存在a 0 1 使得f x 0恒成立 且f x 0在区间 1 内有唯一解 解析 1 由已知 函数f x 的定义域为 0 g x f x 2 x 1 lnx a 所以g x 2 当x 0 1 时 g x 0 g x 单调递增 2 由f x 2 x 1 lnx a 0 解得a x 1 lnx 令 x 2xlnx x2 2x x 1 lnx x 1 lnx 2 1 lnx 2 2xlnx 则 1 1 0 e 2 2 e 0 于是存在x0 1 e 使得 x0 0 令a0 x0 1 lnx0 u x0 其中u x x 1 lnx x 1 由u x 1 0知 函数u x 在区间 1 上单调递增 故0 u 1 a0 u x0 u e e 2 1 即a0 0 1 当a a0时 有f x0 0 f x0 x0 0再由 1 知 f x 在区间 1 上单调递增 当x 1 x0 时 f x f x0 0 当x x0 时 f x 0 从而f x f x0 0 又当x 0 1 时 f x x a0 2 2xlnx 0 故x 0 时 f x 0 综上所述 存在a 0 1 使得f x 0恒成立 且f x 0在区间 1 内有唯一解 提分备选 1 设函数f x ln 1 x ln 1 x 则f x 是 A 奇函数 且在 0 1 上是增函数B 奇函数 且在 0 1 上是减函数C 偶函数 且在 0 1 上是增函数D 偶函数 且在 0 1 上是减函数 解析 选A f x ln 1 x ln 1 x 的定义域为 1 1 函数f x ln 1 x ln 1 x f x 所以函数为奇函数 f x 在 0 1 上单调递增 2 已知函数f x xcosx sinx 1 x 0 求f x 的单调区间 解析 函数f x 求导可得f x cosx xsinx cosx xsinx x 0 令f x 0可得x k k N 当x 2k 2k 1 k N 时 sinx 0 此时f x 0 故函数f x 的单调递减区间为 2k 2k 1 k N 单调递增区间为 2k 1 2k 2 k N 热点题型3利用导数解决函数极 最 值问题 感悟经典 典例 2018 湖北一模 设a 0 函数f x x2 a 1 x alnx 1 当a 2时 求曲线y f x 在点 3 f 3 处切线的斜率 2 求函数f x 的极值 联想解题 1 看到求切线斜率 想到先求f x 再求f x0 2 看到求极值 想到先求f x 再判增减性 先增后减有极大值 先减后增 有极小值 规范解答 1 由已知x 0 当a 2时 f x x 3 所以曲线y f x 在点 3 f 3 处切线的斜率为f 3 2 f x x a 1 由f x 0得x 1或x a 若00 函数f x 单调递增 当x a 1 时 f x 0 函数f x 单调递增 所以当x a时 f x 取极大值f a a2 a alna 当x 1时 f x 取极小值f 1 a 若a 1 当x 0 1 时 f x 0 函数f x 单调递增 当x 1 a 时 f x 0 函数f x 单调递增 所以当x 1时 f x 取极大值f 1 a 当x a时 f x 取极小值f a a2 a alna 当a 1时 x 0时 f x 0 函数f x 单调递增 f x 没有极值 综上 当01时 f x 的极大值为 a 极小值为 a2 a alna 当a 1时 f x 没有极值 规律方法 1 求函数y f x 在某个区间上的极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根x0 3 检查f x 在方程f x 0的根x0左右的符号 左正右负 f x 在x0取极大值 左负右正 f x 在x0取极小值 2 求函数y f x 在区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在区间 a b 内的极值 极大值或极小值 2 将y f x 的各极值与f a f b 进行比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 提醒 利用导数研究函数的极值和最值时 一般应首先考虑函数的定义域 对点训练 2018 广东五校联考 已知函数f x x lnx ax 有极值 则实数a的取值范围是 A B C D 解析 选A f x xlnx ax2 x 0 f x lnx 1 2ax 令g x lnx 1 2ax 则g x 2a 因为函数f x x lnx ax 有极值 所以g x 0在 0 上有实根 当a 0时 g x 0 函数g x 在 0 上单调递增 当x趋向于0时 g x 趋向于 当x趋向于 时 g x 趋向于 故存在x0 0 使得f x 在 0 x0 上单调递减 在 x0 上单调递增 故f x 存在极小值f x0 符合题意 当a 0时 令g x 0 得x 当00 函数g x 单调递增 当x 时 g x 0 解得0 a 综上可知 实数a的取值范围是 提分备选 2017 江苏高考 已知函数f x x3 ax2 bx 1 a 0 b R 有极值 且导函数f x 的极值点是f x 的零点 极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 1 求b关于a的函数关系式 并写出定义域 2 证明 b2 3a 3 若f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于 求a的取值范围 解析 1 由f x x3 ax2 bx 1 得f x 3x2 2ax b 3 b 当x 时 f x 有极小值b 因为f x 的极值点是f x 的零点 所以 又a 0 故b 因为f x 有极值 故f x 0有实根 从而 27 a3 0 即a 3 a 3时 f x 0 x 1 故f x 在R上是增函数 f x 没有极值 a 3时 f x 0有两个相异的实根 列表如下 故f x 的极值点是x1 x2 从而a 3 因此 定义域为 3 2 由 1 知 设g t 则g t 当t 时 g t 0 从而g t 在上单调递增 因为a 3 所以a 3 故g a g 3 即因此b2 3a 3 由 1 知 f x 的极值点是x1 x2 且x1 x2 a 从而f x1 f x2 2 0 记f x f x 所有极值之和为h a 因为f x 的极值为所以h a a 3 因为h a 0 于是h a 在 3 上单调递减 因为h 6 于是h a h 6 故a 6 因此a的取值范围为 3 6 逻辑推理 含有参数的导数的应用中的数学素养 相关链接 1 含参问题主要包括 1 含有参数的不等式的求解 2 含有参数的方程的求解 3 函数解析式中含有参数的单调性和最值问题 4 二元二次方程表示曲线类型 的判定等 在求解时要结合参数的意义 对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论 在分类时要本着最简原则 做到分类合理 不重不漏 2 对参数的分类讨论 最后仍然分类写出答案 如果是对所求的字母进行分类求解 最后一般要整理得出并集 典例 2018 临沂一模 已知函数f x x2 mx lnx 1 若m 3 讨论函数f x 的单调性 并写出单调区间 2 若f x 有两个极值点x1 x2 x1 x2 且m 求f x1 f x2 的最小值 解题指南 1 求导 对m进行分类讨论 2 化简函数构造新函数研究导数 从而求最值 规范解答 1 当m 3时 f x x2 3x lnx 依题意 x 0 且f x x 3 令f x 0 得0 令f x 0 得 x 因此函数f x 在上单调递减 在和上单调递增 2 由题意知 f x x m 则易知x1 x2为x2 mx 1 0的两个根 且x1 x2 m x1x2 1 所以f x1 f x2 mx1 lnx1 mx2 lnx2 m x1 x2 lnx1 lnx2 x1 x2 x1 x2 lnx1 lnx2 ln ln ln记 t 由x1 x2且m 知0 t 1 且f x1 f x2 lnt 记 t lnt 则 t 0 故 t 在 0 1 上单调递减 由m 知 x1 x2 2 从而 即 故t 结合0 t 1 解得0 t 从而 t 的最小值为 ln2 即f x1 f x2 的最小值为 ln2 通关题组 1 已知函数f x 则满足f a 2的实数a的取值范围是 A 2 0 B 1 0 C 2 0 D 1 0 解析 选D 当a 1时 f a 2 2a 2 解得a 此时a 1 当a 1时 f a 2a 2 2 解得a 0 此时a 0 故实数a的取值范围是 1 0 2 2018 宜昌一模 已知函数f x x2 2ax lnx a R 1 讨论函数f x 的单调区间 2 若函数f x 有两个极值点x1 x2 x1 x2 且f x2 1恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 f x 2x 2a x 0 当a 0时 f x 0恒成立 f x 在 0 上单调递增 当 即00 f x 在 0 上单调递增 当 即a 时 由f x 0解得0 综上可知 当a 时 f x 在 0 上单调递增 当a 时 f x 在上单调递增 在上单调递减 2 由 1 知 2x2 2ax 1 0的两根为x1 x2 x1 则x1 x2 a x1x2 由x1 x2知 0 x1 x2 f x2 2ax2 lnx2 2 x1 x2 x2 lnx2 2x1x2 lnx2 1 lnx2 不等式f x2 1可化为 1 lnx2 2mx2 1 即 x2 2m 令g x x g x 1 由h x x2 1 lnx在上单调递减 且h 1 0 则g x 0的解为 x 1 故g x 在上单调递增 在 1 上单调递减 则g x max g 1 1 依题知 1 2m 所以m