2019届高考数学二轮复习 专题七 选修 选修4-4 坐标系与参数方程课件 文.ppt

选修4 4坐标系与参数方程 热点题型1极坐标 感悟经典 典例 1 2017 天津高考 在极坐标系中 直线与圆 2sin 的公共点的个数为 2 2017 北京高考 在极坐标系中 点A在圆 2 2 cos 4 sin 4 0上 点P的坐标为 1 0 则 AP 的最小值为 联想解题 1 看到极坐标方程 想到利用公式x cos y sin 2 x2 y2把极坐标方程化为直角坐标方程 2 看到曲线的极坐标方程 点的极坐标 想到利用公式x cos y sin 2 x2 y2把极坐标方程化为直角坐标方程 把极坐标化为直角坐标 规范解答 1 直线为2x 2y 1 0 圆为x2 y 1 2 1 因为圆心到直线的距离d 1 所以有两个交点 答案 2 2 将圆的极坐标方程化为普通方程为x2 y2 2x 4y 4 0 整理为 x 1 2 y 2 2 1 圆心C 1 2 点P的直角坐标为 1 0 点P是圆外一点 所以的最小值就是 r 2 1 1 答案 1 规律方法 1 确定极坐标方程的五要素极点 极轴 长度单位 角度单位及其正方向 五者缺一不可 2 极坐标与直角坐标的互化 1 极坐标与直角坐标互化的前提条件 极点与原点重合 极轴与x轴正向重合 取相同的单位长度 2 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易 只要运用公式x cos 及y sin 直接代入并化简即可 而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些 解此类问题常通过变形 构造形如 cos sin 2的形式 进行整体代换 对点训练 1 2017 全国卷 在直角坐标系xOy中 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线C1的极坐标方程为 cos 4 1 M为曲线C1上的动点 点P在线段OM上 且满足 OM OP 16 求点P的轨迹C2的直角坐标方程 2 设点A的极坐标为 点B在曲线C2上 求 OAB面积的最大值 解析 1 设P的极坐标为 0 为M的极坐标为 0 0 0 由题设知 0 由 16得C2的极坐标方程为 4cos 0 因此C2的直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 x 0 2 设点B的极坐标为 B B 0 由题设知 OA 2 B 4cos 于是 OAB的面积S OA B sin AOB 4cos 2 2 当 时 S取得最大值2 所以 OAB面积的最大值为2 2 2018 安庆一模 在直角坐标系xOy中 直线l t为参数 其中 为直线的倾斜角 与曲线C 为参数 相交于不同的两点A B 1 当 时 求直线l与曲线C的普通方程 2 若 MA MB OM 2 其中M 0 求直线l的斜率 解析 1 当 时 直线l的普通方程为y x 曲线C的普通方程为 y2 1 2 把代入 y2 1 得 4sin2 cos2 t2 2cos t 1 0 MA MB t1t2 OM 2 得sin2 所以tan2 所以斜率k 3 2018 枣庄一模 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 为参数 直线的参数方程为 t为参数 1 若a 1 求直线l被曲线C截得的线段的长度 2 若a 11 在曲线C上求一点M 使得点M到直线的距离最小 并求出最小距离 l l 解析 1 曲线C的普通方程为 1 当a 1时 直线l的普通方程为y 2x 由 解得或 直线l被曲线C截得的线段的长度为 2 方法一 当a 11时 直线l的普通方程为2x y 10 0 由点到直线的距离公式 椭圆上的点M 3cos 2sin 到直线l 2x y 10 0的距离为d 其中 0满足cos 0 sin 0 由三角函数性质知 当 0 0时 d取最小值2 2 此时 3cos 3cos 0 2sin 2sin 0 因此 当点M位于时 点M到l的距离取最小值2 2 方法二 当a 11时 直线l的普通方程为2x y 10 0 设与l平行 且与椭圆 1相切的直线m的方程为2x y n 0 由消去y并整理得40 x2 36nx 9n2 36 0 由判别式 36n 2 4 40 9n2 36 0 解得n 2 所以 直线m的方程为2x y 2 0或2x y 2 0 要使两平行直线l与m间的距离最小 则直线m的方程为2x y 2 0 这时 l与m间的距离d 2 2 此时点M的坐标为方程组的解因此 当点M位于时 点M到直线l的距离取最小值2 2 提分备选 1 2018 九江三模 在极坐标系中 点P的极坐标是 曲线C的极坐标方程为 4cos 以极点为坐标原点 极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 斜率为 1的直线经过点P 1 写出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程 2 若直线和曲线C相交于两点A B 求的值 解析 1 由曲线C的极坐标方程 4cos可得 2cos 2sin 即 2 2 cos 2 sin 因此曲线C的直角坐标方程为x2 y2 2x 2y 0 即 x 1 2 y 2 4 点P的直角坐标为 0 直线的倾斜角为135 所以直线的参数方程为 t为参数 2 将 t为参数 代入 x 1 2 y 2 4 得t2 t 3 0 设A B对应的参数分别为t1 t2 则t1 t2 t1t2 3 根据直线参数方程t的几何意义有 2 2018 泸州四模 在直角坐标系xOy中 圆C的参数方程 为参数 以O为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 1 求圆C的极坐标方程 2 设直线的极坐标方程是2 sin 3 射线x y 0 x 0 与圆C的交点为O P 与直线的交点为Q 求线段PQ的长 解析 1 因为消参得 x 1 2 y2 1 把x cos y sin 代入得 cos 1 2 sin 2 1 所以圆C的极坐标方程为 2cos 2 射线x y 0 x 0 的极坐标方程是 设点P 1 1 则有 解得设点Q 2 2 则有 解得由于 1 2 所以 PQ 1 2 2 所以线段PQ的长为2 3 已知曲线C1的参数方程为 t为参数 在以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴的极坐标系中 曲线C2 2 1 求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程 2 若C1与C2相交于A B两点 设点F 1 0 求的值 解析 1 由 t为参数 得即x y 0 所以曲线C1的普通方程为y x 1 由 2 得3 2 2sin2 12 3 x2 y2 y2 12即3x2 4y2 12 所以C2的直角坐标方程为 2 由题意可设 与A B两点对应的参数分别为t1 t2 将C1的参数方程代入C2的直角坐标方程 化简整理得 5t2 4t 12 0 所以 所以因为t1 t2 0 所以 所以 4 在平面直角坐标系xOy中 以O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 若直线l的极坐标方程为 cos 2 0 曲线C的极坐标方程为 sin2 cos 将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半 纵坐标不变 然后再向右平移一个单位得到曲线C1 1 求曲线C1的直角坐标方程 2 已知直线l与曲线C1交于A B两点 点P 2 0 求 PA PB 的值 解析 1 曲线C的直角坐标方程为y2 x 所以曲线C1的直角坐标方程为y2 2 x 1 2 由直线l的极坐标方程为 cos 2 0 得 cos sin 2 0 所以直线l的直角坐标方程为x y 2 0 又因为点P 2 0 在直线l上 所以直线l的参数方程为 t为参数 代入C1的直角坐标方程得t2 2t 4 0 设A B对应的参数分别为t1 t2 则 8 16 0 t1 t2 2 t1t2 4 所以 PA PB t1 t2 t1 t2 热点题型2参数方程 感悟经典 典例 2017 江苏高考 在平面坐标系xOy中 已知直线l的参数方程为 t为参数 曲线C的参数方程 为 s为参数 设P为曲线C上的动点 求点P到直线l的距离的最小值 联想解题 看到参数方程 想到消去参数化为普通方程 看到求点到直线的距离 想到应用点到直线的距离公式 规范解答 直线l的普通方程为x 2y 8 0 因为点P在曲线C上 设P 2s2 2s 从而点P到直线l的距离当s 时 dmin 所以当点P的坐标为 4 4 时 曲线C上点P到直线l的距离取到最小值 规律方法 在求出曲线的参数方程后 通常利用消参法得出普通方程 一般地 消参数经常采用的是代入法和三角公式法 但将曲线的参数方程化为普通方程 不只是把其中的参数消去 还要注意x y的取值范围在消参前后应该是一致的 也就是说 要使得参数方程与普通方程等价 即它们二者要表示同一曲线 对点训练 1 2017 全国卷 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 为参数 直线l的参数方程为 t为参数 1 若a 1 求C与l的交点坐标 2 若C上的点到l的距离的最大值为 求a 解析 1 a 1时 直线l的方程为x 4y 3 0 曲线C的标准方程是 y2 1 联立方程解得 或则C与l的交点坐标是 3 0 和 2 直线l的一般式方程是x 4y 4 a 0 设曲线C上点P 3cos sin 则P到l的距离其中tan 依题意得 dmax 解得a 16或a 8 2 在直角坐标系xOy中 曲线C1的参数方程为 为参数 将曲线C1上各点的横坐标都缩短为原来的倍 纵坐标伸长为原来的倍 得到曲线C2 在极坐标系 与直角坐标系xOy取相同的长度单位 且以原点O为极点 以x轴非负半轴为极轴 中 直线l的极坐标方程为 cos 2 1 求直线l和曲线C2的直角坐标方程 2 设点Q是曲线C2上的一个动点 求它到直线l的距离的最大值 解析 1 因为直线l的极坐标方程为 cos 2 所以有 cos sin 4 0 即直线l的直角坐标方程为 x y 4 0 因为曲线C1的参数方程为 为参数 经过变换后得到曲线C2的参数方程为 为参数 所以曲线C2化为直角坐标方程为 x2 y2 1 2 因为点Q在曲线C2上 故可设点Q的坐标为 cos sin 从而点Q到直线l的距离为 可得 当cos 1时 d取得最大值 且最大值为2 1 3 在直角坐标系xOy中 以原点O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的参数方程为 t为参数 曲线C的极坐标方程为 sin2 4cos 1 写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程 2 若点M的坐标为 2 1 直线l与曲线C交于A B两点 求 MA MB 的值 解析 1 由 t为参数 消去参数t 得直线l的普通方程为x y 1 0 由 sin2 4cos 两边同乘 得 2sin2 4 cos 即y2 4x 故曲线C的直角坐标方程为y2 4x 2 在 t为参数 中 令t t 得直线l的参数方程的标准形式为 t 为参数 代入曲线C y2 4x 整理得 t 2 2t 14 0 设A B所对应参数分别为t 1 t 2 则t 1 t 2 2 t 1t 2 14 0 所以 MA MB t 1 t 2 t 1 t 2 提分备选 1 2018 西北师范大学附中三模 若以直角坐标系xOy的O为极点 Ox为极轴 选择相同的长度单位建立极坐标系 得曲线C的极坐标方程是 1 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程 并指出曲线是什么曲线 2 若直线l的参数方程为 t为参数 当直线l与曲线C相交于A B两点时 求 AB 解析 1 因为 所以 2sin2 6 cos 所以曲线C的直角坐标方程为y2 6x 曲线为以为焦点 开口向右的抛物线 2 直线l的参数方程可化为 t为参数 代入y2 6x 得t2 4t 12 0 解得t1 2 t2 6 所以 AB t1 t2 8 2 在平面直角坐标系xOy中 将圆O x2 y2 4上每一个点的横坐标不变 纵坐标变为原来的 得到曲线C 1 求曲线C的参数方程 2 以原点O为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 在两坐标系中取相同的单位长度 射线 0 与圆O和曲线C分别交于点A B 求 AB 的最大值 解析 1 圆的参数方程为 为参数 根据题意 曲线C的参数方程为 为参数 2 令 则在极坐标系中A 2 则 AB 2 当 时 AB 取最大值1