2019届高考数学二轮复习 专题一 三角函数及解三角形 1.1.1 三角函数的图象与性质课件 文.ppt

第一讲三角函数的图象与性质 热点题型1函数y Asin x 的性质 感悟经典 典例 1 已知函数f x sin x cos x 0 在上单调递减 且满足f f 0 则 A 2B 3C 4D 5 2 已知函数f x sin x R 下面结论错误的是 A 函数f x 的最小正周期为 B 函数f x 是偶函数C 函数f x 的图象关于直线x 对称D 函数f x 在区间 上是增函数 3 已知函数f x 4cos x sin 0 的最小正周期为 1 求 的值 2 讨论f x 在区间 上的单调性 联想解题 1 利用辅助角公式化一 求出复合函数的减区间 再由f x 在区间上递减列不等式求得 的范围 继而得出 x k k Z 从而可求 的值 2 看到f x sin 想到化为f x cos2x 3 看到三角函数的周期 想到把解析式化为y Asin x k A 0 0 的形式 可知周期为T 看到讨论三角函数的单调性 想到利用基本初等函数y sinx的单调性求解 规范解答 1 选A f x sin x cos x 2sin 由 2k x 2k k Z 取k 0 得 x 由于f x 在区间上单调递减 所以解得1 因为f f 0 所以x 为f x 2sin的一个对称中心的横坐标 所以 k k Z 则 3k 1 k Z 又1 所以 2 2 选C f x sin cos2x 故其最小正周期为 故A正确 易知函数f x 是偶函数 B正确 由函数f x cos2x的图象可知 函数f x 的图象关于直线x 不对称 C错误 由函数f x 的图象易知 函数f x 在 上是增函数 D正确 3 1 f x 2cos x sin x cos x sin2 x cos2 x 1 2sin 因为最小正周期为 所以 1 2 由 1 知f x 2sin 由 2x 解得 x 由 2x 解得 x 因为x 所以f x 在 上单调递增 在 上单调递减 规律方法 三角函数的有关性质 1 奇偶性 k k Z 时 函数y Asin x 为奇函数 k k Z 时 函数y Asin x 为偶函数 2 周期性 y Asin x 存在周期性 其最小正周期为T 3 单调性 根据y sint和t x 0 的单调性来研究 由 2k x 2k k Z 得单调增区间 由 2k x 2k k Z 得单调减区间 4 对称性 利用y sinx的对称中心为 k 0 k Z 来解 令 x k k Z 求得其对称中心 利用y sinx的对称轴为x k k Z 来解 令 x k k Z 得其对称轴 对点训练 1 2016 山东高考 函数f x sinx cosx cosx sinx 的最小正周期是 A B C D 2 解析 选B f x sinx cosx cosx sinx 3sinxcosx sin2x cos2x sinxcosx sin2x cos2x 2sin 所以 最小正周期是 2 函数y sinx cosx的单调递增区间是 解析 因为y sinx cosx sin 由2k x 2k k Z 解得2k x 2k k Z 所以函数的增区间为 k Z 又x 所以单调增区间为 答案 热点题型2由图象求函数y Asin x 的解析式 感悟经典 典例 1 函数f x 2sin x 的部分图象如图所示 则 的值分别是 A 2 B 2 C 4 D 4 2 函数f x Asin x 的部分图象如图所示 若x1 x2 且f x1 f x2 x1 x2 则f x1 x2 A 1B C D 联想解题 1 看到最高点 想到振幅 看到对称中心 对称轴想到周期以及相位 2 看到点的坐标 想到代入法 规范解答 1 选A 因为 所以 2 又因为2 2k k Z 且 所以 2 选D 由图象可得A 1 解得 2 所以f x sin 2x 代入点可得sin 所以 k 所以 k k Z 又 所以 所以f x sin 所以sin 1 即图中最高点的坐标为 又x1 x2 且f x1 f x2 x1 x2 所以x1 x2 2 所以f x1 x2 sin 规律方法 由图象求解析式的方法 1 求A 由图象上最高 最低点的纵坐标确定 或利用图象上某点坐标代入解析式求解 2 求 由图象观察一个 个 个 周期 利用T 求得 3 求 方法一 代入法 把图象上某点的坐标代入解析式 利用 的范围 确定k 进而确定 方法二 五点法 如图 任选一点可求 x1 0 x2 x3 x4 x5 2 对点训练 如图 某地一天 从6 14时的温度变化曲线近似满足函数y Asin x b A 0 0 0 则这段曲线的函数解析式为 解析 从题图中可以看出 6 14时是函数y Asin x b的半个周期 又 14 6 所以 所以A 30 10 10 b 30 10 20 又 10 2 解得 所以y 10sin 20 x 6 14 答案 y 10sin 20 x 6 14 热点题型3函数y Asin x 的图象及变换 感悟经典 典例 1 为得到函数y sin的图象 只需要将函数y cos2x的图象 A 向左平移个单位B 向右平移个单位C 向左平移个单位D 向右平移个单位 2 将函数f x sin 2x 的图象向左平移个单位 所得到的函数图象关于y轴对称 则 的一个可能取值为 A B C 0D 3 已知函数f x sin2xsin cos2xcos sin 0 其图象过点 1 求 的值 2 将函数y f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到函数y g x 的图象 求函数g x 在上的最大值和最小值 联想解题 1 把函数y sin的解析式化为cos2 再把函数y cos2x的图象向右平移个单位可得y cos2的图象 得出结论 2 f x sin 2x y sin y sin的图象关于y轴对称 k k Z k k Z 3 看到三角变换 想到三角恒等变换的公式 化简函数表达式为y Asin x k A 0 0 的形式 看到三角函数图象变换 想到从基本三角函数y sinx出发 经过平移变换 伸缩变换得到正弦型函数y Asin x k的图象 规范解答 1 选B 函数y sin cos cos cos cos2 故把函数y cos2x的图象向右平移个单位可得y cos2的图象 2 选B 将函数f x sin 2x 的图象向左平移个单位 得到函数y sin sin 2x 的图象 再根据所得图象关于y轴对称 可得 k 即 k k Z 则 的一个可能取值为 3 1 因为已知函数图象过点 所以有 sinsin cos2cos sin 0 即有1 sin cos cos sin 0 所以 解得 2 由 1 知 所以f x sin2xsin cos2xcos sin sin2x cos2x sin2x sin 所以g x sin 因为x 所以4x 所以当4x 时 g x 取最大值 当4x 时 g x 取最小值 所以函数g x 在上的最大值为 最小值为 规律方法 1 函数f x sin x 的图象平移变换的两种方法 1 y sinx的图象向左平移 个单位得y sin x 再把横坐标变为原来的倍 纵坐标不变 得y sin x 的图象 2 把y sinx的图象横坐标变为原来的倍 纵坐标不变 得y sin x的图象 向左平移个单位得y sin x 的图象 2 平移变换和伸缩变换都是针对x而言 即x本身加减多少值 而不是依赖于 x加减多少值 对点训练 1 2016 北京高考 将函数y sin图象上的点P向左平移s s 0 个单位长度得到点P 若点P 位于函数y sin2x的图象上 则 A t s的最小值为B t s的最小值为C t s的最小值为D t s的最小值为 解析 选A 点P在y sin上 所以t sin sin P向左平移s s 0 个单位长度得到点P 代入y sin2x得sin 所以cos2s 2s 2k s k k Z 又因为s 0 所以s的最小值为 2 设函数f x cos x 0 将y f x 的图象向右平移个单位长度后 所得的图象与原图象重合 则 的最小值等于 A B 3C 6D 9 解析 选C 根据题意 得nT n N 所以n n N 所以 6n n N 所以当n 1时 取得最小值6 提分备选 设函数f x sin x cos x 0 的周期为 1 用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象 2 说明函数f x 的图象可由y sinx的图象经过怎样的变换而得到 解析 f x sin x cos x 又因为T 所以 即 2 所以f x 2sin 1 令z 2x 则y 2sin 2sinz 列表 并描点画出图象 2 方法一 把y sinx的图象上所有的点向左平移个单位 得到y sin的图象 再把y sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到y sin的图象 最后把y sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 即可得到f x 2sin的图象 方法二 将y sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到y sin2x的图象 再将y sin2x的图象向左平移个单位 得到y sin2 sin的图象 再将y sin的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标保持不变 得到f x 2sin的图象 直观想象 三角函数的图象与性质问题中的数学素养 相关链接 利用数形结合思想能解决的三角函数的图象和性质问题的常见类型 1 求函数定义域 值域 2 判断单调性 利用单调性比较大小 求最值 3 求单调区间 对称轴或中心 4 求A 的值或范围 5 解决方程 不等式问题一般解题思路是利用三角函数图象 结合有关性质求解 典例 函数y 的定义域为 规范解答 方法一 要使函数有意义 必须使sinx cosx 0 利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 上y sinx和y cosx的图象 如图所示 在 0 2 内 满足sinx cosx的x为 再结合正弦 余弦函数的周期是2 所以原函数的定义域为 方法二 利用三角函数线 画出满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 所以定义域为方法三 sinx cosx sin 0 将x 视为一个整体 由正弦函数y sinx的图象和性质可知2k x 2k k Z 解得2k x 2k k Z 所以定义域为答案 通关题组 1 若函数f x sin x 0 在区间上单调递增 在区间上单调递减 则 等于 A B C 2D 3 解析 选B 因为f x sin x 0 过原点 所以当0 x 即0 x 时 y sin x是递增的 当 x 即 x 时 y sin x是递减的 由f x sin x 0 在上单调递增 在上单调递减知 所以 2 已知函数y sin x 的部分图象如图所示 则 A 1 B 1 C 2 D 2 解析 选D 方法一 观察函数的图象可知 图象过点和 所以所以解得 方法二 观察函数的图象可知 是四分之一个周期 所以函数的最小正周期是 所以 2 排除A B 再由2 得 3 函数f x Asin x A 0 0 的部分图象如图所示 则函数f x 的解析式为 解析 由题图可知A 方法一 所以T 故 2 因此f x sin 2x 又对应五点法作图中的第三个点 因此2 所以 故f x sin 方法二 以为第二个 零点 为最小值点 列方程组解得故f x sin 答案 f x sin 4 设函数f x sin 2cos2 1 1 求f x 的最小正周期 2 若函数y g x 与y f x 的图象关于直线x 1对称 求当x 时 y g x 的最大值 解析 1 故f x 的最小正周期为T 8 2 方法一 在y g x 的图象上任取一点 x g x 它关于x 1的对称点为 2 x g x 由题设条件 知点 2 x g x 在y f x 的图象上 从而g x f 2 x sin 当0 x 时 因此y g x 在区间上的最大值为g x max cos 方法二 区间关于x 1的对称区间为 且y g x 与y f x 的图象关于直线x 1对称 故y g x 在上的最大值为y f x 在上的最大值 由 1 知f x sin 当 x 2时 因此y g x 在上的最大值为g x max sin