2018高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 直接证明课件 苏教版选修1 -2.ppt

第2章 推理与证明 2 2直接证明与间接证明2 2 1直接证明 学习目标 1 了解直接证明的两种基本方法 综合法和分析法 2 理解综合法和分析法的思考过程 特点 会用综合法和分析法证明数学问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理 答综合法与分析法的推理过程是演绎推理 因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理 从而得到的每一个结论都是正确的 不同于合情推理中的 猜想 预习导引 1 直接证明直接逐步推得的证明通常称为直接证明 是直接证明中最基本的两种证明方法 也是解决数学问题时常用的思维方式 从原命题的条件 命题成立 综合法和分析法 2 综合法从出发 以已知的定义 公理 定理为依据 逐步下推 直到推出为止 这种证明方法通常称为综合法 已知条件 要证明的结论 3 分析法从出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到使结论成立的条件和吻合为止 这种证明方法通常称为分析法 问题的结论 已知条件或已知事实 要点一综合法的应用例1已知a b是正数 且a b 1 证明方法一 a b是正数且a b 1 方法二 a b是正数 又a b 1 当且仅当a b时 取 规律方法利用综合法证明问题的步骤 1 分析条件选择方向 仔细分析题目的已知条件 包括隐含条件 分析已知与结论之间的联系与区别 选择相关的公理 定理 公式 结论 确定恰当的优化解法 2 转化条件组织过程 把题目的已知条件 转化成解题所需要的语言 主要是文字 符号 图形三种语言之间的转 化 组织过程时要有严密的逻辑 简洁的语言 清晰的思路 3 适当调整回顾反思 解题后回顾解题过程 可对部分步骤进行调整 并对一些语言进行适当的修饰 反思总结优化解法 跟踪演练1在 ABC中 三个内角A B C对应的边分别为a b c 且A B C成等差数列 a b c成等比数列 求证 ABC为等边三角形 证明由A B C成等差数列 有2B A C 因为A B C为 ABC的内角 所以A B C 由 得B 由a b c成等比数列 有b2 ac 由余弦定理及 可得b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac 再由 得a2 c2 ac ac 即 a c 2 0 因此a c 从而有A C 由 得A B C 所以 ABC为等边三角形 要点二分析法的应用例2设a b为实数 证明当a b 0时 当a b 0时 用分析法证明如下 即证a2 b2 2ab a2 b2 2ab对一切实数恒成立 综上所述 不等式得证 规律方法分析法格式与综合法正好相反 它是从要求证的结论出发 倒着分析 由未知想需知 由需知逐渐地靠近已知 已知条件 已经学过的定义 定理 公理 公式 法则等 这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的 它的常见书写表达式是 要证 只需 或 跟踪演练2如图所示 SA 平面ABC AB BC 过A作SB的垂线 垂足为E 过E作SC的垂线 垂足为F 求证 AF SC 证明要证AF SC 只需证SC 平面AEF 只需证AE SC 因为EF SC 只需证AE 平面SBC 只需证AE BC 因为AE SB 只需证BC 平面SAB 只需证BC SA 因为AB BC 由SA 平面ABC可知上式成立 所以AF SC 要点三综合法和分析法的综合应用例3已知a b c是不全相等的正数 且0 x 1 由已知0 x 1 规律方法综合法推理清晰 易于书写 分析法从结论入手 易于寻找解题思路 在实际证明命题时 常把分析法与综合法结合起来使用 称为分析综合法 其结构特点是 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论P 若由P可推出Q 即可得证 证明由已知条件得b2 ac 2x a b 2y b c 只要证ay cx 2xy 只要证2ay 2cx 4xy 由 得2ay 2cx a b c c a b ab 2ac bc 4xy a b b c ab b2 ac bc ab 2ac bc 所以2ay 2cx 4xy 命题得证 1 下列表述 综合法是由因导果法 综合法是顺推法 分析法是执果索因法 分析法是间接证明法 分析法是逆推法 其中正确的语句有 个 解析 正确 1 2 3 4 4 1 2 3 4 2 设a b是两个正实数 且a b 则下列式子一定成立的是 1 2 3 4 所以左边 log195 2log193 3log192 log195 log1932 log1923 1 2 3 4 log19 5 32 23 log19360 因为log19360 log19361 2 求证 cos sin 3 cos sin 证明要证cos sin 3 cos sin 1 2 3 4 1 2 3 4 只需证1 tan 3 1 tan 1 2 3 4 1 tan 2 tan 即2tan 1 结论得证 课堂小结1 综合法证题是从条件出发 由因导果 分析法是从结论出发 执果索因 2 分析法证题时 一定要恰当地运用 要证 只需证 即证 等词语 3 在实际证题过程中 分析法与综合法是统一运用的 把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的 没有分析就没有 综合 没有综合也没有分析 问题仅在于 在构建命题的证明路径时 有时分析法居主导地位 综合法伴随着它 有时却恰恰相反 是综合法居主导地位 而分析法伴随着它