高考数学大二轮总复习与增分策略 第三篇 建模板看细则突破高考拿高分课件(理).ppt

第三篇建模板 看细则 突破高考拿高分 答题模板 是指针对解答数学解答题的某一类型 分析解题的一般思路 规划解题的程序和格式 拟定解题的最佳方案 实现答题效率的最优化 评分细则是阅卷的依据 通过认真研读评分细则 重视解题步骤的书写 规范解题过程 做到会做的题得全分 对于最后的压轴题也可以按步得分 踩点得分 一分也要抢 模板 细则概述 栏目索引 模板1三角函数的图象与性质 模板2解三角形 模板3数列的通项与求和问题 模板4空间中的平行与垂直关系 模板5空间角的计算问题 模板6概率与统计的综合问题 下一页 模板7离散型随机变量的概率分布 模板8直线与圆锥曲线的位置关系 模板9解析几何中的探索性问题 模板10函数的单调性 极值与最值问题 栏目索引 模板11导数与不等式的恒成立问题 模板1三角函数的图象与性质 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 2 将函数y f x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 然后向左平移个单位长度 得到函数y g x 的图象 求函数y g x 的单调递增区间 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 构建答题模板 评分细则 构建答题模板 第一步化简 利用辅助角将f x 化成y Asin x 的形式 第二步求值 根据三角函数的和差公式求三角函数值 第三步整体代换 将 x 看作一个整体 确定f x 的性质 第四步反思 查看角的范围的影响 评价任意结果的合理性 检查步骤的规范性 评分细则 评分细则1 化简f x 的过程中 诱导公式和二倍角公式的使用各给2分 如果只有最后结果没有过程 则给2分 最后结果正确 但缺少上面的某一步过程 不扣分 3 第 2 问直接写出x的不等式没有过程扣1分 最后结果不用区间表示不给分 区间表示式中不标出k Z不扣分 没有2k 的不给分 1 求f x 的表达式 解析答案 解析答案 返回 解析答案 返回 模板2解三角形 1 求b的值 2 求 ABC的面积 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 2 由余弦定理得 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步找条件 寻找三角形中已知的边和角 确定转化方向 第二步定工具 根据已知条件和转化方向 选择使用的定理和公式 实施边角之间的转化 第三步求结果 根据前两步分析 代入求值得出结果 第四步再反思 转化过程中要注意转化的方向 审视结果的合理性 评分细则 评分细则1 第 1 问 没求sinA而直接求出sinB的值 不扣分 写出正弦定理 但b计算错误 得1分 2 第 2 问 写出余弦定理 但c计算错误 得1分 求出c的两个值 但没舍去 扣2分 面积公式正确 但计算错误 只给1分 若求出sinC 利用S absinC计算 同样得分 跟踪演练2在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知b 4 c 6 C 2B 1 求cosB的值 解析答案 2 求 ABC的面积 解析答案 返回 所以sinA sin B C sin B C sinBcosC cosBsinC 返回 模板3数列的通项与求和问题 典例3 14分 下表是一个由n2个正数组成的数表 用aij表示第i行第j个数 i j N 已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列 每一行各数从左到右依次构成等比数列 且公比都相等 已知a11 1 a31 a61 9 a35 48 a11a12a13 a1na21a22a23 a2na31a32a33 a3n an1an2an3 ann 1 求an1和a4n 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准解 1 设第1列依次组成的等差数列的公差为d 设每一行依次组成的等比数列的公比为q 依题意a31 a61 1 2d 1 5d 9 d 1 an1 a11 n 1 d 1 n 1 1 n 3分又 a31 a11 2d 3 a35 a31 q4 3q4 48 又 q 0 q 2 又 a41 4 a4n a41qn 1 4 2n 1 2n 1 6分 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步找关系 根据已知条件确定数列的项之间的关系 第二步求通项 根据等差或等比数列的通项公式或利用累加 累乘法求数列的通项公式 第三步定方法 根据数列表达式的结构特征确定求和方法 常用的有公式法 裂项相消法 错位相减法 分组法等 第四步写步骤 第五步再反思 检查求和过程中各项的符号有无错误 用特殊项估算结果 评分细则 评分细则1 求出d给1分 求an1时写出公式结果错误给1分 求q时没写q 0扣1分 2 bn写出正确结果给1分 正确进行裂项再给1分 3 缺少对bn的变形直接计算Sn 只要结论正确不扣分 4 当n为奇数时 求Sn中间过程缺一步不扣分 跟踪演练3已知数列 an 是各项均不为0的等差数列 公差为d Sn为其前n项和 且满足 S2n 1 n N 数列 bn 满足bn n N Tn为数列 bn 的前n项和 1 求数列 an 的通项公式 1 d 2 3 3d 解得d 1或2 当d 1时 a2 0不满足条件 舍去 d 2 数列 an 的通项公式为an 2n 1 解析答案 2 若对任意的n N 不等式 Tn n 8 1 n恒成立 求实数 的取值范围 解析答案 返回 解析答案 综上 可得 的取值范围是 21 返回 模板4空间中的平行与垂直关系 典例4 14分 如图 四棱锥P ABCD的底面为正方形 侧面PAD 底面ABCD PA AD E F H分别为AB PC BC的中点 1 求证 EF 平面PAD 2 求证 平面PAH 平面DEF 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准证明 1 取PD中点M 连结FM AM AE FM且AE FM 则四边形AEFM为平行四边形 AM EF 6分 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 EF 平面PAD AM 平面PAD EF 平面PAD 7分 2 侧面PAD 底面ABCD PA AD 侧面PAD 底面ABCD AD PA 底面ABCD DE 底面ABCD DE PA E H分别为正方形ABCD边AB BC的中点 Rt ABH Rt DAE 则 BAH ADE BAH AED 90 则DE AH 12分 PA 平面PAH AH 平面PAH PA AH A DE 平面PAH DE 平面EFD 平面PAH 平面DEF 14分 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步找线线 通过三角形或四边形的中位线 平行四边形 等腰三角形的中线或线面 面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直 第二步找线面 通过线线垂直或平行 利用判定定理 找线面垂直或平行 也可由面面关系的性质找线面垂直或平行 第三步找面面 通过面面关系的判定定理 寻找面面垂直或平行 第四步写步骤 严格按照定理中的条件规范书写解题步骤 评分细则 评分细则1 第 1 问证出AE綊FM给2分 通过AM EF证线面平行时 缺1个条件扣1分 利用面面平行证明EF 平面PAD同样给分 2 第 2 问证明PA 底面ABCD时缺少条件扣1分 证明DE AH时只要指明E H分别为正方形边AB BC中点得DE AH不扣分 证明DE 平面PAH时只要写出DE AH DE PA 缺少条件不扣分 跟踪演练4 2015 北京 如图 在三棱锥V ABC中 平面VAB 平面ABC VAB为等边三角形 AC BC且AC BC O M分别为AB VA的中点 1 求证 VB 平面MOC 证明因为O M分别为AB VA的中点 所以OM VB 又因为VB 平面MOC OM 平面MOC 所以VB 平面MOC 解析答案 2 求证 平面MOC 平面VAB 证明因为AC BC O为AB的中点 所以OC AB 又因为平面VAB 平面ABC 平面VAB 平面ABC AB 且OC 平面ABC 所以OC 平面VAB 又OC 平面MOC 所以平面MOC 平面VAB 解析答案 3 求三棱锥V ABC的体积 所以AB 2 OC 1 又因为OC 平面VAB 又因为三棱锥V ABC的体积与三棱锥C VAB的体积相等 返回 解析答案 模板5空间角的计算问题 典例5 14分 如图 AB是圆O的直径 C是圆O上异于A B的一个动点 DC垂直于圆O所在的平面 DC EB DC EB 1 AB 4 1 求证 DE 平面ACD 2 若AC BC 求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 审题路线图 1 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准 1 证明 DC 平面ABC BC 平面ABC DC BC 又AB是圆O的直径 C是圆O上异于A B的点 AC BC 又AC DC C AC 平面ACD DC 平面ACD BC 平面ACD 又DC EB DC EB 四边形BCDE是平行四边形 DE BC DE 平面ACD 6分 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 2 解在Rt ACB中 AB 4 AC BC 如图 以C为原点建立空间直角坐标系 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 设平面ADE的一个法向量为n1 x1 y1 z1 设平面ABE的一个法向量为n2 x2 y2 z2 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步找垂直 找出 或作出 具有公共交点的三条两两垂直的直线 第二步写坐标 建立空间直角坐标系 写出特征点坐标 第三步求向量 求直线的方向向量或平面的法向量 第四步求夹角 计算向量的夹角 第五步得结论 得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角 评分细则 评分细则1 第 1 问中证明DC BC和AC BC各给2分 证明DE BC给1分 证明BC 平面ACD时缺少AC DC C AC 平面ACD DC 平面ACD 不扣分 2 第 2 问中建系给1分 两个法向量求出1个给2分 没有最后结论扣1分 法向量取其他形式同样给分 跟踪演练5如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 已知AB AC AB 2 AC 4 AA1 3 D是线段BC的中点 1 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值 解析答案 解因为在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB AC 所以分别以AB AC AA1所在的直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 图略 则A 0 0 0 B 2 0 0 C 0 4 0 A1 0 0 3 B1 2 0 3 C1 0 4 3 因为D是BC的中点 所以D 1 2 0 设平面A1C1D的法向量n1 x1 y1 z1 解析答案 所以平面A1C1D的一个法向量n1 3 0 1 2 求二面角B1 A1D C1的大小的余弦值 解析答案 返回 设平面B1A1D的法向量n2 x2 y2 z2 返回 模板6概率与统计的综合问题 典例6 14分 海关对同时从A B C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测 从各地区进口此种商品的数量 单位 件 如下表所示 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测 1 求这6件样品中来自A B C各地区商品的数量 2 若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测 求这2件商品来自相同地区的概率 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 所以A B C三个地区的商品被选取的件数分别是1 3 2 5分 2 设6件来自A B C三个地区的样品分别为A B1 B2 B3 C1 C2 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为 A B1 A B2 A B3 A C1 A C2 B1 B2 B1 B3 B1 C1 B1 C2 B2 B3 B2 C1 B2 C2 B3 C1 B3 C2 C1 C2 共15个 9分每个样品被抽到的机会均等 因此这些基本事件的出现是等可能的 记事件D 抽取的这2件商品来自相同地区 则事件D包含的基本事件有 B1 B2 B1 B3 B2 B3 C1 C2 共4个 12分 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步定模型 根据统计知识确定元素 总体 个体 以及要解决的概率模型 第二步列事件 将所有基本事件列举出来 可用树状图 第三步算概率 计算基本事件总数n 事件A包含的基本事件数m 代入公式P A 第四步规范答 回到所求问题 规范作答 评分细则 评分细则1 各层抽样数量每个算对给1分 2 没有列举基本事件只求对基本事件个数给2分 3 求对样本事件个数而没有列出的给2分 4 最后没下结论的扣1分 跟踪演练6近日 某市楼市迎来去库存一系列新政 其中房产税收中的契税和营业税双双下调 对住房市场持续增长和去库存产生积极影响 某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动 其中A户型每套面积为100平方米 均价1 1万元 平方米 B户型每套面积80平方米 均价1 2万元 平方米 下表是这18套住宅每平方米的销售价格 单位 万元 平方米 1 求a b的值 解析答案 解a 1 1 9 0 98 0 99 1 06 1 17 1 10 1 21 1 09 1 14 1 16 b 1 2 9 1 08 1 11 1 12 1 26 1 27 1 26 1 25 1 28 1 17 2 张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子 求至少有一套面积为100平方米的概率 解析答案 返回 解A户型小于100万的有2套 设为A1 A2 B户型小于100万的有4套 设为B1 B2 B3 B4 买两套售价小于100万的房子所含基本事件为 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A1 B4 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A2 B4 B1 B2 B1 B3 B1 B4 B2 B3 B2 B4 B3 B4 共有15个 令事件A为 至少有一套面积为100平方米住房 则A中所含基本事件有 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A1 B4 A2 B1 A2 B2 A2 B3 A2 B4 共9个 返回 模板7离散型随机变量的概率分布 典例7 14分 2015年12月10日 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖 以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法 目前 国内青蒿人工种植发展迅速 调查表明 人工种植的青蒿的长势与海拔高度 土壤酸碱度 空气湿度的指标有极强的相关性 现将这三项的指标分别记为x y z 并对它们进行量化 0表示不合格 1表示临界合格 2表示合格 再用综合指标 x y z的值评定人工种植的青蒿的长势等级 若 4 则长势为一级 若2 3 则长势为二级 若0 1 则长势为三级 为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况 研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地 得到如下结果 1 在这10块青蒿人工种植地中任取两地 求这两地的空气湿度的指标z相同的概率 2 从长势等级是一级的人工种植地中任取一块 其综合指标为m 从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块 其综合指标为n 记随机变量X m n 求X的概率分布及其均值 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准解 1 由表可知 空气湿度指标为0的有A1 空气湿度指标为1的有A2 A3 A5 A8 A9 A10 空气湿度指标为2的有A4 A6 A7 2 计算10块青蒿人工种植地的综合指标 可得下表 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 其中长势等级是一级的 4 有A2 A3 A4 A6 A7 A9 共6个 长势等级不是一级的 4 有A1 A5 A8 A10 共4个 随机变量X的所有可能取值为 1 2 3 4 5 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 所以X的概率分布为 13分 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步定元 根据已知条件确定离散型随机变量的取值 第二步定性 明确每个随机变量取值所对应的事件 第三步定型 确定事件的概率模型和计算公式 第四步计算 计算随机变量取每一个值的概率 第五步列表 列出概率分布 第六步求解 根据公式求均值 评分细则 评分细则1 第 1 问中 列出空气湿度相同的情况给3分 计算概率只要式子正确给3分 2 第 2 问中 列出长势等级的给2分 只要结果正确无过程不扣分 计算概率时每个式子给1分 概率分布正确写出给1分 跟踪演练7 2016 课标全国乙 某公司计划购买2台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率 记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数 n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 1 求X的概率分布 解析答案 解由柱状图并以频率代替概率可得 一台机器在三年内需更换的易损零件数为8 9 10 11的概率分别为0 2 0 4 0 2 0 2 从而P X 16 0 2 0 2 0 04 P X 17 2 0 2 0 4 0 16 P X 18 2 0 2 0 2 0 4 0 4 0 24 P X 19 2 0 2 0 2 2 0 4 0 2 0 24 P X 20 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 P X 21 2 0 2 0 2 0 08 P X 22 0 2 0 2 0 04 解析答案 所以X的概率分布为 2 若要求P X n 0 5 确定n的最小值 解由 1 知P X 18 0 44 P X 19 0 68 故n的最小值为19 3 以购买易损零件所需费用的均值为决策依据 在n 19与n 20之中选其一 应选用哪个 解记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 当n 19时 E Y 19 200 0 68 19 200 500 0 2 19 200 2 500 0 08 19 200 3 500 0 04 4040 元 当n 20时 E Y 20 200 0 88 20 200 500 0 08 20 200 2 500 0 04 4080 元 可知当n 19时所需费用的均值小于n 20时所需费用的均值 故应选n 19 返回 解析答案 模板8直线与圆锥曲线的位置关系 1 求椭圆C的方程 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 审题路线图 已知离心率e a2 b2 c2 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 设A x1 y1 B x2 y2 将y kx m代入椭圆E的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 由 0 可得m2 4 16k2 因为直线y kx m与y轴交点的坐标为 0 m 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 由 0 可得m2 1 4k2 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步求圆锥曲线方程 根据基本量法确定圆锥曲线的方程 第二步联立消元 将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程 Ax2 Bx C 0 然后研究判别式 利用根与系数的关系 第三步找关系 从题设中寻求变量的等量或不等关系 第四步建函数 对范围最值类问题 要建立关于目标变量的函数关系 第五步得范围 通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值 要注意变量条件的制约 检查最值取得的条件 评分细则 评分细则1 第 1 问中 求a2 c2 b2关系式直接得b 1 扣2分 2 第 2 问中 求时 给出P Q坐标关系给2分 无 0 和 0 者 每处扣2分 联立方程消元得出关于x的一元二次方程给2分 根与系数的关系写出后再给2分 求最值时 不指明最值取得的条件扣2分 1 求椭圆的方程 故a 2 b 1 解析答案 2 设不过原点O的直线l与该椭圆交于P Q两点 满足直线OP PQ OQ的斜率依次成等比数列 求 OPQ面积的取值范围 解析答案 返回 解由题意可知 直线l的斜率存在且不为0 故可设直线l y kx m m 0 设P x1 y1 Q x2 y2 由 y kx m x2 4y2 4 消去y 得 1 4k2 x2 8kmx 4 m2 1 0 故y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 解析答案 因为直线OP PQ OQ的斜率依次成等比数列 由于直线OP OQ的斜率存在 且 0 得0 m2 2 且m2 1 设d为点O到直线l的距离 解析答案 故 OPQ面积的取值范围为 0 1 返回 模板9解析几何中的探索性问题 典例9 16分 已知定点C 1 0 及椭圆x2 3y2 5 过点C的动直线与椭圆相交于A B两点 2 在x轴上是否存在点M 使为常数 若存在 求出点M的坐标 若不存在 请说明理由 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准解 1 依题意 直线AB的斜率存在 设直线AB的方程为y k x 1 将y k x 1 代入x2 3y2 5 消去y整理得 3k2 1 x2 6k2x 3k2 5 0 2分 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 当直线AB与x轴不垂直时 k2 1 x1x2 k2 m x1 x2 k2 m2 10分 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步先假定 假设结论成立 第二步再推理 以假设结论成立为条件 进行推理求解 第三步下结论 若推出合理结果 经验证成立则肯定假设 若推出矛盾则否定假设 第四步再回顾 查看关键点 易错点 特殊情况 隐含条件等 审视解题规范性 评分细则 评分细则1 不考虑直线AB斜率不存在的情况扣2分 2 不验证 0 扣1分 3 直线AB方程写成斜截式形式同样给分 4 没有假设存在点M不扣分 1 求k1k2的值 解析答案 2 记直线PQ BC的斜率分别为kPQ kBC 是否存在常数 使得kPQ kBC 若存在 求 值 若不存在 说明理由 解析答案 返回 解析答案 返回 模板10函数的单调性 极值与最值问题 典例10 14分 2015 课标全国 已知函数f x lnx a 1 x 1 讨论f x 的单调性 2 当f x 有最大值 且最大值大于2a 2时 求a的取值范围 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 规范解答 评分标准 若a 0 则f x 0 所以f x 在 0 上单调递增 2 由 1 知 当a 0时 f x 在 0 上无最大值 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 令g a lna a 1 则g a 在 0 上单调递增 g 1 0 于是 当0 a 1时 g a 0 当a 1时 g a 0 因此 a的取值范围是 0 1 14分 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步求导数 写出函数的定义域 求函数的导数 第二步定符号 通过讨论确定f x 的符号 第三步写区间 利用f x 符号写出函数的单调区间 第四步求最值 根据函数单调性求出函数最值 评分细则 评分细则1 函数求导正确给1分 2 分类讨论 每种情况给2分 结论1分 3 求出最大值给4分 4 构造函数g a lna a 1给2分 5 通过分类讨论得出a的范围 给2分 跟踪演练10已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 1 求a的取值范围 解析答案 解由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意对任意x 0 1 有f x 0时 因为二次函数f x ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a 0 所以有f 1 a 1 e 0 即0 a 1 当a 1时 对任意x 0 1 有f x x2 1 ex 0 f x 符合条件 解析答案 当a 0时 对于任意x 0 1 f x xex0 f x 不符合条件 故a的取值范围为0 a 1 2 设g x f x f x 求g x 在 0 1 上的最大值和最小值 解析答案 返回 解因g x 2ax 1 a ex g x 2ax 1 a ex 当a 0时 g x ex 0 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 在x 1处取得最大值g 1 e 当a 1时 对于任意x 0 1 有g x 2xex 0 g x 在x 0处取得最大值g 0 2 在x 1取得最小值g 1 0 解析答案 而g 0 1 a g 1 1 a e g x 在x 1处取得最小值g 1 1 a e 返回 模板11导数与不等式的恒成立问题 典例11 14分 2015 课标全国 设函数f x emx x2 mx 1 证明 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 2 若对于任意x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 e 1 求m的取值范围 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 g m 0 g m 0 em m e 1 e m m e 1 审题路线图 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 f 1 f 0 e 1f 1 f 0 e 1 寻求 的条件 规范解答 评分标准 1 证明f x m emx 1 2x 1分若m 0 则当x 0 时 emx 1 0 f x 0 当x 0 时 emx 1 0 f x 0 若m 0 则当x 0 时 emx 1 0 f x 0 当x 0 时 emx 1 0 f x 0 4分所以 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 6分 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 所以对于任意x1 x2 1 1 f x1 f x2 e 1的充要条件是 f 1 f 0 e 1 f 1 f 0 e 1 9分 2 解由 1 知 对任意的m f x 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 故f x 在x 0处取得最小值 em m e 1 e m m e 1 设函数g t et t e 1 则g t et 1 10分当t 0时 g t 0 当t 0时 g t 0 规范解答 评分标准 构建答题模板 评分细则 即 故g t 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 又g 1 0 g 1 e 1 2 e 0 故当t 1 1 时 g t 0 当m 1 1 时 g m 0 g m 0 即 式成立 12分当m 1时 由g t 的单调性 g m 0 即em m e 1 当m 1时 g m 0 即e m m e 1 13分综上 m的取值范围是 1 1 14分 构建答题模板 评分细则 构建答题模板第一步求导数 一般先确定函数的定义域 再求f x 第二步定区间 根据f x 的符号确定函数的单调区间 第三步寻条件 一般将恒成立问题转化为函数的最值问题 第四步写步骤 通过函数单调性探求函数最值 对于最值可能在两点取到的恒成立问题 可转化为不等式组恒成立 第五步再反思 查看是否注意定义域 区间的写法 最值点的探求是否合理等 评分细则 评分细则1 求出导数给1分 2 讨论时漏掉m 0扣1分 两种情况只讨论正确一种给2分 3 确定f x 符号时只有结论无中间过程扣1分 4 写出f x 在x 0处取得最小值给1分 5 无最后结论扣1分 6 其他方法构造函数同样给分 1 求函数f x 的单调区间和极值 由f x 0 x 1 列表如下 因此函数f x 的增区间为 0 1 减区间为 1 极大值f 1 1 无极小值 解析答案 2 若对任意的x 1 恒有ln x 1 k 1 kx成立 求k的取值范围 解因为x 1 所以f x 1 max k k 1 解析答案 解析答案 返回 当且仅当x 1时取等号 令x n2 n N n 2 返回