高考数学大二轮总复习与增分策略 专题二 函数与导数 第4讲 导数的热点问题课件 文.ppt

第4讲导数的热点问题 专题二函数与导数 栏目索引 2016 课标全国乙 已知函数f x x 2 ex a x 1 2有两个零点 1 求a的取值范围 高考真题体验 解析答案 解f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 设a 0 则f x x 2 ex f x 只有一个零点 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 故f x 存在两个零点 解析答案 设a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 又当x 1时 f x 0 所以f x 不存在两个零点 又当x 1时 f x 0 所以f x 不存在两个零点 综上 a的取值范围为 0 2 设x1 x2是f x 的两个零点 证明 x1 x2 2 证明不妨设x1f 2 x2 即f 2 x2 1时 g x 1时 g x 0 从而g x2 f 2 x2 0 故x1 x2 2 解析答案 利用导数探求函数的极值 最值是函数的基本问题 高考中常与函数零点 方程根及不等式相结合 难度较大 考情考向分析 返回 热点一利用导数证明不等式 用导数证明不等式是导数的应用之一 可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值 以及构造函数解题的能力 热点分类突破 例1已知函数f x ex x2 a x R 曲线y f x 的图象在点 0 f 0 处的切线方程为y bx 1 求函数y f x 的解析式 解根据题意 得f x ex 2x 则f 0 1 b 由切线方程可得切点坐标为 0 0 将其代入y f x 得a 1 故f x ex x2 1 解析答案 解析答案 证明令g x f x x2 x ex x 1 由g x ex 1 0 得x 0 当x 0 时 g x 0 g x 单调递增 g x min g 0 0 f x x2 x 2 当x R时 求证 f x x2 x 解析答案 思维升华 3 若f x kx对任意的x 0 恒成立 求实数k的取值范围 解f x kx对任意的x 0 恒成立等价于对任意的x 0 恒成立 思维升华 由 2 可知 当x 0 时 ex x 1 0恒成立 令 x 0 得x 1 令 x 0 得0 x 1 y x 的单调增区间为 1 单调减区间为 0 1 x min 1 e 2 k x min e 2 实数k的取值范围为 e 2 用导数证明不等式的方法 1 利用单调性 若f x 在 a b 上是增函数 则 x a b 则f a f x f b 对 x1 x2 a b 且x1 x2 则f x1 f x2 对于减函数有类似结论 2 利用最值 若f x 在某个范围D内有最大值M 或最小值m 则对 x D 则f x M 或f x m 3 证明f x g x 可构造函数F x f x g x 证明F x 0 思维升华 解析答案 跟踪演练1已知函数f x alnx 1 a 0 令 x 0 则x 1 当01时 x 0 所以 x 在 1 上单调递增 故 x 在x 1处取到极小值也是最小值 故 x 1 0 解析答案 2 在区间 1 e 上f x x恒成立 求实数a的取值范围 故h x 在区间 1 e 上单调递增 所以h x h 1 0 因为h x 0 所以g x 0 即g x 在区间 1 e 上单调递增 热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根 函数的零点 函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念 解决这类问题可以通过函数的单调性 极值与最值 画出函数图象的走势 通过数形结合思想直观求解 解析答案 例2已知函数f x ax2 x 1 ex 其中e是自然对数的底数 a R 1 若a 1 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 解当a 1时 f x x2 x 1 ex 所以f x x2 x 1 ex 2x 1 ex x2 3x ex 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率为k f 1 4e 又因为f 1 e 所以所求切线的方程为y e 4e x 1 即4ex y 3e 0 思维升华 解析答案 解当a 1时 f x x2 x 1 ex f x x2 x ex 所以y f x 在 1 上单调递减 在 1 0 上单调递增 在 0 上单调递减 解析答案 思维升华 思维升华 因为函数y f x 与y g x 的图象有3个不同的交点 所以f 1 g 0 1 函数y f x k的零点问题 可转化为函数y f x 和直线y k的交点问题 2 研究函数y f x 的值域 不仅要看最值 而且要观察随x值的变化y值的变化趋势 思维升华 跟踪演练2已知函数f x 2lnx x2 ax a R 1 当a 2时 求f x 的图象在x 1处的切线方程 解当a 2时 f x 2lnx x2 2x 切线的斜率k f 1 2 则切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 解析答案 解析答案 解析答案 热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约 解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来 建立目标问题即关于这个变量的函数 然后通过研究这个函数的性质 从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优 解析答案 例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将V表示成r的函数V r 并求该函数的定义域 解因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh 元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又根据题意得200 rh 160 r2 12000 思维升华 2 讨论函数V r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 令V r 0 解得r1 5 r2 5 因为r2 5不在定义域内 舍去 当r 0 5 时 V r 0 故V r 在 0 5 上为增函数 由此可知 V r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 解析答案 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 建模 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 求最值 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 作答 回归实际问题作答 思维升华 解析答案 跟踪演练3经市场调查 某商品每吨的价格为x 1 x 14 百元时 该商品的月供给量为y1万吨 月需求量为y2万吨 当该商品的需求量大于供给量时 销售量等于供给量 当该商品的需求量不大于供给量时 销售量等于需求量 该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积 因为1 x 14 所以1 x 6 由g x 0 得x 8 所以g x 在 6 8 上是增函数 在 8 14 上是减函数 解析答案 返回 2 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元 求实数a的取值范围 因为a 0 所以f x 在区间 1 14 上是增函数 若该商品的均衡价格不低于6百元 即函数f x 在区间 6 14 上有零点 押题依据 高考押题精练 解析答案 1 当a 0时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 的单调区间 返回 解析答案 押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义 导数与函数的单调性 导数与不等式等基础知识和基本方法 考查分类整合思想 转化与化归思想等数学思想方法 本题的命制正是根据这个要求进行的 全面考查了考生综合求解问题的能力 解析答案 在 0 2a 1 1 上单调递增 当2a 1 1 即a 0时 函数f x 在 0 上单调递增 当2a 1 1 即a 0时 函数f x 在 1 2a 1 上单调递减 在 0 1 2a 1 上单调递增 当2a 1 0 即a 时 函数f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 解析答案 解析答案 解析答案 即x3 7x2 6x 0对任意的x 1 2 恒成立 令h x x3 7x2 6x x 1 2 则h x 3x2 14x 6 0恒成立 故函数h x 在区间 1 2 上是减函数 所以h x min h 2 8 只要 8 0即可 即 8 故实数 的取值范围是 8 返回