高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第5讲 立体几何课件.ppt

5 立体几何 第四篇回归教材 纠错例析 帮你减少高考失分点 要点回扣 易错警示 查缺补漏 栏目索引 要点回扣 1 一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正 主 视图下面 长度与正 主 视图一样 侧 左 视图放在正 主 视图右面 高度与正 主 视图一样 宽度与俯视图一样 即 长对正 高平齐 宽相等 在画一个物体的三视图时 一定注意实线与虚线要分明 问题1如图 若一个几何体的正 主 视图 侧 左 视图 俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形 则该几何体的体积为 2 在斜二测画法中 要确定关键点及关键线段 平行于x轴的线段平行性不变 长度不变 平行于y轴的线段平行性不变 长度减半 问题2如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图 则这个平面图形的面积是 3 简单几何体的表面积和体积 1 S直棱柱侧 c h c为底面的周长 h为高 4 圆柱 圆锥 圆台的侧面积公式S圆柱侧 2 rl r为底面半径 l为母线 S圆锥侧 rl 同上 S圆台侧 r r l r r分别为上 下底的半径 l为母线 5 体积公式V柱 S h S为底面面积 h为高 6 球的表面积和体积 问题3如图所示 一个空间几何体的正 主 视图和俯视图都是边长为1的正方形 侧 左 视图是一个直径为1的圆 那么这个几何体的表面积为 D 4 空间直线的位置关系 1 相交直线 有且只有一个公共点 2 平行直线 在同一平面内 没有公共点 3 异面直线 不在同一平面内 也没有公共点 问题4在空间四边形ABCD中 E F G H分别是四边上的中点 则直线EG和FH的位置关系是 相交 5 空间的平行关系 问题5判断下列命题是否正确 正确的在括号内画 号 错误的画 号 如果a b是两条直线 且a b 那么a平行于经过b的任何平面 如果直线a和平面 满足a 那么a与 内的任何直线平行 如果直线a b和平面 满足a b 那么a b 如果直线a b和平面 满足a b a b 那么b 6 空间的垂直关系 问题6已知两个平面垂直 下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线 则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数是 A 3B 2C 1D 0 C 7 空间向量 1 用空间向量求角的方法步骤 异面直线所成的角若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 它们所成的角为 则cos cos v1 v2 直线和平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角 可以有两种方法 方法一分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两条直线的方向向量的夹角 或其补角 方法二通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 利用空间向量求二面角也有两种方法 方法一分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 方法二通过平面的法向量来求 设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 易错警示 求线面角时 得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦 容易误以为是线面角的余弦 求二面角时 两法向量的夹角有可能是二面角的补角 要注意从图中分析 2 用空间向量求A到平面 的距离 问题7 1 已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于 解析方法一取A1C1的中点E 连接AE B1E 如图 由题意知B1E 平面ACC1A1 则 B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角 设正三棱柱侧棱长与底面边长为1 方法二如图 以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E xyz 2 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 O是底面A1B1C1D1的中心 则点O到平面ABC1D1的距离为 解析建立如图所示的空间直角坐标系 设平面ABC1D1的法向量为n x y z 易错点1三视图识图不准 易错警示 例1某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 错因分析解本题易出现的错误有 1 还原空间几何体的形状时出错 不能正确判断其对应的几何体 2 计算时不能准确把三视图中的数据转化为对应几何体中的线段长度 尤其侧视图中的数据处理很容易出错 解析由三视图 可知该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱 答案C 易错点2旋转体辨识不清 例2如图所示 单位 cm 求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积 错因分析注意这里是旋转图中的阴影部分 不是旋转梯形ABCD 在旋转的时候边界形成一个圆台 并在上面挖去了一个 半球 其体积应是圆台的体积减去半球的体积 解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD 在计算时没有减掉半球的体积 解由题图中数据 根据圆台和球的体积公式 得 易错点3空间线面关系把握不准 例3设a b为两条直线 为两个平面 且a a 则下列结论中不成立的是 A 若b a b 则a B 若a 则a C 若a b b 则a D 若 a b a 则b 错因分析本题易出现的问题就是对空间点 线 面的位置关系把握不准 考虑问题不全面 不能准确把握题中的前提 a a 对空间中的平行 垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误 如A项中忽视已知条件中的a 误以为该项错误等 解析对于选项A 若有b a b 且已知a 所以根据线面平行的判定定理可得a 故选项A正确 对于选项B 若a 则根据空间线面位置关系可知a 或a 而由已知可知a 所以有a 故选项B正确 对于C项 若a b b 所以a 或a 而由已知可得a 所以a 故选项C正确 对于D项 由a b a可得b 又因为 所以b 或b 故不能得到b 所以D项错 故选D 答案D 易错点4混淆空间角与向量夹角 例4如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PD 平面ABCD 且PD AD 1 AB 2 点E是AB上一点 求AE等于何值时 二面角P EC D的平面角为 错因分析本题易出错的地方是误以为两个平面的法向量所成的角的大小等于所求二面角的大小 在计算时对两个平面的法向量所成的角和二面角的关系判断错误 导致在平面的法向量方向不同时把锐二面角的余弦值算出个负值而出错 解以D为原点 射线DA DC DP分别为x轴 y轴 z轴的正半轴建立空间直角坐标系 如图所示 则A 1 0 0 B 1 2 0 C 0 2 0 P 0 0 1 设平面PEC的一个法向量为n1 x y z x y z 2 y0 1 2 记n1 2 y0 1 2 而平面ECD的一个法向量为n2 0 0 1 则二面角P EC D的平面角的余弦值 查缺补漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2015 浙江 设 是两个不同的平面 l m是两条不同的直线 且l m A 若l 则 B 若 则l mC 若l 则 D 若 则l m 解析选项A l l A正确 选项B l m l与m位置关系不固定 选项C l l 或 与 相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项D l m 此时 l与m位置关系不固定 故选A 答案A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 设m n是空间两条直线 是空间两个平面 则下列选项中不正确的是 A 当m 时 n 是 m n 的必要不充分条件B 当m 时 m 是 的充分不必要条件C 当n 时 n 是 成立的充要条件D 当m 时 n 是 m n 的充分不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析当m 时 若n 可得m n或m n异面 若m n可得n 或n 所以 n 是 m n 的既不充分也不必要条件 答案选A 答案A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 2015 浙江 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析该几何体是棱长为2cm的正方体与一底面边长为2cm的正方形 高为2cm的正四棱锥组成的组合体 故选C 答案C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 如图 已知 ABC为直角三角形 其中 ACB 90 M为AB的中点 PM垂直于 ABC所在平面 那么 A PA PB PCB PA PB PCC PA PB PCD PA PB PC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 M为AB的中点 ACB为直角三角形 BM AM CM 又PM 平面ABC Rt PMB Rt PMA Rt PMC 故PA PB PC 答案C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 如图 已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形 PA 平面ABC PA 2AB 则下列结论正确的是 A PB ADB 平面PAB 平面PBCC 直线BC 平面PAED 直线PD与平面ABC所成的角为45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析若PB AD 则AD AB 但AD与AB成60 角 A错误 平面PAB与平面ABD垂直 所以平面PAB一定不与平面PBC垂直 B错误 BC与AE是相交直线 所以BC一定不与平面PAE平行 C错误 直线PD与平面ABC所成角为 PDA 在Rt PAD中 AD PA 所以 PDA 45 D正确 答案D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析由图形可知 当AM MC1最小时 所得截面的周长最小 如图所示把平面A1ABB1与平面C1CBB1展开成一个平面AA1C1C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 对于四面体ABCD 给出下列四个命题 若AB AC BD CD 则BC AD 若AB CD AC BD 则BC AD 若AB AC BD CD 则BC AD 若AB CD AC BD 则BC AD 其中正确的是 填序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析取线段BC的中点E 连接AE DE AB AC BD CD BC AE BC DE BC 平面ADE AD 平面ADE BC AD 故 正确 设点O为点A在平面BCD上的射影 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 连接OB OC OD AB CD AC BD OB CD OC BD 点O为 BCD的垂心 OD BC BC AD 故 正确 易知 不正确 填 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 已知直线l m 平面 且l m 给出四个命题 若 则l m 若l m 则 若 则l m 若l m 则 其中为真命题的是 填序号 解析对命题 由l 得 l m l m 故 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对命题 l ml 则l m 故 错误 对命题 当 时 l与m也可能相交或异面或平行 故 错误 对命题 由l l m得m 又m 故 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 如图所示 在三棱锥P ABC中 PA 底面ABC PA AB ABC 60 BCA 90 点D E分别为棱PB PC的中点 1 求证 平面PBC 平面PAC 证明如图所示 以A为坐标原点 AC AP所在直线分别为y轴 z轴 过点A且平行于BC的直线为x轴 建立空间直角坐标系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设PA 2 由已知可得 所以BC AP 又 BCA 90 所以BC AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为AC AP A且AC 平面PAC AP 平面PAC 所以BC 平面PAC 又BC 平面PBC 所以平面PBC 平面PAC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 求AD与平面PAC所成角的余弦值 解设AD与平面PAC所成的角为 由 1 知BC 平面PAC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10