高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第1讲 等差数列与等比数列课件.ppt

第1讲等差数列与等比数列 专题四数列 推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 4 1 2015 课标全国 已知 an 是公差为1的等差数列 Sn为 an 的前n项和 若S8 4S4 则a10等于 解析 公差为1 B 1 2 3 4 2 2015 安徽 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 9 a2a3 8 则数列 an 的前n项和等于 解析由等比数列性质知a2a3 a1a4 又a2a3 8 a1 a4 9 又数列 an 为递增数列 a1 1 a4 8 从而a1q3 8 q 2 2n 1 1 2 3 4 3 2014 广东 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 解析因为a10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1a2 a20 ln a1a20 a2a19 a10a11 ln a10a11 10 10ln a10a11 10lne5 50lne 50 50 1 2 3 4 4 2013 江西 某住宅小区计划植树不少于100棵 若第一天植2棵 以后每天植树的棵数是前一天的2倍 则需要的最少天数n n N 等于 解析每天植树棵数构成等比数列 an 即2n 1 102 n 6 最少天数n 6 6 考情考向分析 1 等差 等比数列基本量和性质的考查是高考热点 经常以小题形式出现 2 数列求和及数列与函数 不等式的综合问题是高考考查的重点 考查分析问题 解决问题的综合能力 热点一等差数列 等比数列的运算 热点分类突破 1 通项公式等差数列 an a1 n 1 d 等比数列 an a1 qn 1 2 求和公式 3 性质若m n p q 在等差数列中am an ap aq 在等比数列中am an ap aq 例1 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若a1 11 a4 a6 6 则当Sn取最小值时 n 解析设该数列的公差为d 则a4 a6 2a1 8d 2 11 8d 6 解得d 2 所以当Sn取最小值时 n 6 6 2 已知等比数列 an 公比为q 其前n项和为Sn 若S3 S9 S6成等差数列 则q3等于 解析若q 1 则3a1 6a1 2 9a1 得a1 0 矛盾 故q 1 A 思维升华 在进行等差 比 数列项与和的运算时 若条件和结论间的联系不明显 则均可化成关于a1和d q 的方程组求解 但要注意消元法及整体计算 以减少计算量 跟踪演练1 1 2015 浙江 已知 an 是等差数列 公差d不为零 若a2 a3 a7成等比数列 且2a1 a2 1 则a1 d 2a1 a2 1 2a1 a1 d 1 即3a1 d 1 1 解析在等比数列中 a1 a2 q2 a3 a4 即q2 2 所以a2011 a2012 a2013 a2014 a1 a2 a3 a4 q2010 3 21005 1005 热点二等差数列 等比数列的判定与证明 数列 an 是等差数列或等比数列的证明方法 1 证明数列 an 是等差数列的两种基本方法 利用定义 证明an 1 an n N 为一常数 利用中项性质 即证明2an an 1 an 1 n 2 2 证明 an 是等比数列的两种基本方法 例2 2014 大纲全国 数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 证明由an 2 2an 1 an 2得an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 2 求 an 的通项公式 解由 1 得bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 an an 1 2n 3 an 1 an 2 2n 5 a2 a1 1 累加得an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 思维升华 1 判断一个数列是等差 比 数列 也可以利用通项公式及前n项和公式 但不能作为证明方法 2 已知数列 an 中 a1 1 an 1 2an 3 则an 解析由已知可得an 1 3 2 an 3 又a1 3 4 故 an 3 是以4为首项 2为公比的等比数列 an 3 4 2n 1 an 2n 1 3 2n 1 3 热点三等差数列 等比数列的综合问题 解决等差数列 等比数列的综合问题 要从两个数列的特征入手 理清它们的关系 数列与不等式 函数 方程的交汇问题 可以结合数列的单调性 最值求解 例3已知等差数列 an 的公差为 1 且a2 a7 a12 6 1 求数列 an 的通项公式an与前n项和Sn 解由a2 a7 a12 6得a7 2 a1 4 2 将数列 an 的前4项抽去其中一项后 剩下三项按原来顺序恰为等比数列 bn 的前3项 记 bn 的前n项和为Tn 若存在m N 使对任意n N 总有Sn Tm 恒成立 求实数 的取值范围 解由题意知b1 4 b2 2 b3 1 Tm 为递增数列 得4 Tm 8 故 Sn max S4 S5 10 若存在m N 使对任意n N 总有Sn6 即实数 的取值范围为 6 思维升华 1 等差数列与等比数列交汇的问题 常用 基本量法 求解 但有时灵活地运用性质 可使运算简便 2 数列的项或前n项和可以看作关于n的函数 然后利用函数的性质求解数列问题 3 数列中的恒成立问题可以通过分离参数 通过求数列的值域求解 1 求数列 an 的通项公式 解设等比数列 an 的公比为q 因为S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即4a5 a3 故等比数列 an 的通项公式为 当n为奇数时 Sn随n的增大而减小 当n为偶数时 Sn随n的增大而增大 高考押题精练 1 2 3 4 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 且a1 0 a3 a10 0 a6a70的最大自然数n的值为 A 6B 7C 12D 13 押题依据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点 也是高考的热点 可以考查学生灵活变换的能力 1 2 3 4 解析 a1 0 a6a70 a70 a1 a13 2a70 S130的最大自然数n的值为12 答案C 1 2 3 4 A 1B 2C 4D 8 押题依据等差数列 等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性 是高考出题的重点 1 2 3 4 解析设等差数列 an 的公差为d 解得a7 0 舍去 或a7 2 所以b7 a7 2 答案C 1 2 3 4 押题依据本题在数列 方程 不等式的交汇处命题 综合考查学生应用数学的能力 是高考命题的方向 1 2 3 4 解析由a7 a6 2a5 得a1q6 a1q5 2a1q4 整理有q2 q 2 0 解得q 2或q 1 与条件中等比数列的各项都为正数矛盾 舍去 1 2 3 4 答案A 1 2 3 4 4 已知等比数列 an 中 a4 a6 10 则a1a7 2a3a7 a3a9 押题依据等比数列基本量的计算和等比数列的性质是近几年高考的热点 反映了解题中的整体化思想 所以a1a7 2a3a7 a3a9 a4 a6 2 102 100 100