高考数学大二轮总复习 增分策略 专题五 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法课件.ppt

第3讲立体几何中的向量方法 专题五立体几何与空间向量 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 1 2014 课标全国 直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分别是A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则BM与AN所成角的余弦值为 解析方法一补成正方体 利用向量的方法求异面直线所成的角 由于 BCA 90 三棱柱为直三棱柱 且BC CA CC1 可将三棱柱补成正方体 1 2 建立如图 1 所示空间直角坐标系 设正方体棱长为2 则可得A 0 0 0 B 2 2 0 M 1 1 2 N 0 1 2 1 2 方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角 再根据余弦定理求解 如图 2 取BC的中点D 连接MN ND AD 则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角 答案C 1 2 2 2015 安徽 如图所示 在多面体A1B1D1DCBA中 四边形AA1B1B ADD1A1 ABCD均为正方形 E为B1D1的中点 过A1 D E的平面交CD1于F 1 证明 EF B1C 证明由正方形的性质可知A1B1 AB DC 且A1B1 AB DC 所以四边形A1B1CD为平行四边形 从而B1C A1D 1 2 又A1D 面A1DE B1C 面A1DE 于是B1C 面A1DE 又B1C 面B1CD1 面A1DE 面B1CD1 EF 所以EF B1C 1 2 2 求二面角E A1D B1的余弦值 解因为四边形AA1B1B ADD1A1 ABCD均为正方形 所以AA1 AB AA1 AD AB AD且AA1 AB AD 1 2 可得点的坐标A 0 0 0 B 1 0 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 B1 1 0 1 D1 0 1 1 设面A1DE的法向量n1 r1 s1 t1 1 2 1 1 1 为其一组解 所以可取n1 1 1 1 设面A1B1CD的法向量n2 r2 s2 t2 1 2 由此同理可得n2 0 1 1 考情考向分析 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点 与空间线面关系的证明相结合 热点为二面角的求解 均以解答的形式进行考查 难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上 热点一利用向量证明平行与垂直 热点分类突破 设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 则有 1 线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 例1如图 在直三棱柱ADE BCF中 面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直 M为AB的中点 O为DF的中点 运用向量方法证明 1 OM 平面BCF 2 平面MDF 平面EFCD 证明方法一由题意 得AB AD AE两两垂直 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 设正方形边长为1 则A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 1 0 棱柱ADE BCF是直三棱柱 且OM 平面BCF OM 平面BCF 2 设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1 x1 y1 z1 n2 x2 y2 z2 同理可得n2 0 1 1 n1 n2 0 平面MDF 平面EFCD 又OM 平面BCF OM 平面BCF 2 由题意知 BF BC BA两两垂直 OM CD OM FC 又CD FC C OM 平面EFCD 又OM 平面MDF 平面MDF 平面EFCD 思维升华 用向量知识证明立体几何问题 仍然离不开立体几何中的定理 如要证明线面平行 只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 即化归为证明线线平行 用向量方法证明直线a b 只需证明向量a b R 即可 若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行 仍需强调直线在平面外 跟踪演练1如图所示 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 求证 1 DE 平面ABC 证明如图建立空间直角坐标系A xyz 令AB AA1 4 则A 0 0 0 E 0 4 2 F 2 2 0 B 4 0 0 B1 4 0 4 取AB中点为N 连接CN 则N 2 0 0 C 0 4 0 D 2 0 2 又 NC 平面ABC DE 平面ABC 故DE 平面ABC 2 B1F 平面AEF 又 AF FE F B1F 平面AEF 热点二利用空间向量求空间角 设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 平面 的法向量分别为 a3 b3 c3 v a4 b4 c4 以下相同 1 线线夹角 2 线面夹角 3 面面夹角设平面 的夹角为 0 1 求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值 2 点Q是线段BP上的动点 当直线CQ与DP所成的角最小时 求线段BQ的长 则各点的坐标为B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 P 0 0 2 1 因为AD 平面PAB 设平面PCD的法向量为m x y z 所以m 1 1 1 是平面PCD的一个法向量 设1 2 t t 1 3 此时直线CQ与DP所成角取得最小值 思维升华 1 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤 建立恰当的空间直角坐标系 求出相关点的坐标 写出向量坐标 结合公式进行论证 计算 转化为几何结论 2 求空间角注意 两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 即cos cos 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角 有可能为两法向量夹角的补角 直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值 即注意函数名称的变化 跟踪演练2 2014 福建 在平面四边形ABCD中 AB BD CD 1 AB BD CD BD 将 ABD沿BD折起 使得平面ABD 平面BCD 如图所示 1 求证 AB CD 证明 平面ABD 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD AB 平面ABD AB BD AB 平面BCD 又CD 平面BCD AB CD 2 若M为AD中点 求直线AD与平面MBC所成角的正弦值 解过点B在平面BCD内作BE BD 如图 由 1 知AB 平面BCD BE 平面BCD BD 平面BCD AB BE AB BD 设平面MBC的法向量n x0 y0 z0 取z0 1 得平面MBC的一个法向量n 1 1 1 设直线AD与平面MBC所成角为 热点三利用空间向量求解探索性问题 存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象 数值 图形 函数等 是否存在或某一结论是否成立 解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在 或结论成立 或暂且认可其中的一部分结论 然后在这个前提下进行逻辑推理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定结论 例3如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB BC 2AA1 ABC 90 D是BC的中点 1 求证 A1B 平面ADC1 证明连接A1C 交AC1于点O 连接OD 由ABC A1B1C1是直三棱柱 得四边形ACC1A1为矩形 O为A1C的中点 又D为BC的中点 所以OD为 A1BC的中位线 所以A1B OD 因为OD 平面ADC1 A1B 平面ADC1 所以A1B 平面ADC1 2 求二面角C1 AD C的余弦值 解由ABC A1B1C1是直三棱柱 且 ABC 90 得BA BC BB1两两垂直 以BC BA BB1所在直线分别为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系B xyz 设BA 2 则B 0 0 0 C 2 0 0 A 0 2 0 C1 2 0 1 D 1 0 0 设平面ADC1的法向量为n x y z 取y 1 得n 2 1 2 易知平面ADC的一个法向量为v 0 0 1 因为二面角C1 AD C是锐二面角 3 试问线段A1B1上是否存在点E 使AE与DC1成60 角 若存在 确定E点位置 若不存在 说明理由 解假设存在满足条件的点E 因为点E在线段A1B1上 A1 0 2 1 B1 0 0 1 故可设E 0 1 其中0 2 因为AE与DC1成60 角 所以当点E为线段A1B1的中点时 AE与DC1成60 角 思维升华 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等 所以为使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法 跟踪演练3如图所示 四边形ABCD是边长为1的正方形 MD 平面ABCD NB 平面ABCD 且MD NB 1 E为BC的中点 1 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 解如图 以D为坐标原点 DA DC DM所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 则D 0 0 0 A 1 0 0 M 0 0 1 C 0 1 0 2 在线段AN上是否存在点S 使得ES 平面AMN 若存在 求线段AS的长 若不存在 请说明理由 解假设在线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN 由ES 平面AMN 故线段AN上存在点S 高考押题精练 1 求证 PQ 平面BCE 2 求二面角A DF E的余弦值 押题依据利用空间向量求二面角全面考查了空间向量的建系 求法向量 求角等知识 是高考的重点和热点 1 证明连接AC 四边形ABCD是矩形 且Q为BD的中点 Q为AC的中点 又在 AEC中 P为AE的中点 PQ EC EC 面BCE PQ 面BCE PQ 平面BCE 2 解如图 取EF的中点M 则AF AM 以A为坐标原点 以AM AF AD所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则A 0 0 0 D 0 0 1 M 2 0 0 F 0 2 0 设平面DEF的法向量为n x y z 令x 1 则y 1 z 2 故n 1 1 2 是平面DEF的一个法向量 AM 面ADF 由图可知所求二面角为锐角