高考数学大二轮总复习 增分策略 专题五 立体几何与空间向量 第2讲 空间中的平行与垂直课件.ppt

第2讲空间中的平行与垂直 专题五立体几何与空间向量 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 1 2015 北京 设 是两个不同的平面 m是直线且m 则 m 是 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析m m 但m m m 是 的必要而不充分条件 B 1 2 3 2 2015 安徽 已知m n是两条不同直线 是两个不同平面 则下列命题正确的是 A 若 垂直于同一平面 则 与 平行B 若m n平行于同一平面 则m与n平行C 若 不平行 则在 内不存在与 平行的直线D 若m n不平行 则m与n不可能垂直于同一平面 1 2 3 解析对于A 垂直于同一平面 关系不确定 A错 对于B m n平行于同一平面 m n关系不确定 可平行 相交 异面 故B错 对于C 不平行 但 内能找出平行于 的直线 如 中平行于 交线的直线平行于 故C错 对于D 若假设m n垂直于同一平面 则m n 其逆否命题即为D选项 故D正确 答案D 1 2 3 3 2015 江苏 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 已知AC BC BC CC1 设AB1的中点为D B1C BC1 E 求证 1 DE 平面AA1C1C 证明由题意知 E为B1C的中点 又D为AB1的中点 因此DE AC 又因为DE 平面AA1C1C AC 平面AA1C1C 所以DE 平面AA1C1C 1 2 3 2 BC1 AB1 证明因为棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱 所以CC1 平面ABC 因为AC 平面ABC 所以AC CC1 又因为AC BC CC1 平面BCC1B1 BC 平面BCC1B1 BC CC1 C 1 2 3 所以AC 平面BCC1B1 又因为BC1 平面BCC1B1 所以BC1 AC 因为BC CC1 所以矩形BCC1B1是正方形 因此BC1 B1C 因为AC B1C 平面B1AC AC B1C C 所以BC1 平面B1AC 又因为AB1 平面B1AC 所以BC1 AB1 考情考向分析 1 以选择题 填空题的形式考查 主要利用平面的基本性质及线线 线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断 属基础题 2 以解答题的形式考查 主要是对线线 线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题 且多以棱柱 棱锥 棱台或其简单组合体为载体进行考查 难度中等 热点一空间线面位置关系的判定 热点分类突破 空间线面位置关系判断的常用方法 1 根据空间线面平行 垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题 2 必要时可以借助空间几何模型 如从长方体 四面体等模型中观察线面位置关系 并结合有关定理来进行判断 例1 1 2015 广东 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l与l1 l2都不相交B l与l1 l2都相交C l至多与l1 l2中的一条相交D l至少与l1 l2中的一条相交 解析若l与l1 l2都不相交则l l1 l l2 l1 l2 这与l1和l2异面矛盾 l至少与l1 l2中的一条相交 答案D 2 平面 平面 的一个充分条件是 A 存在一条直线a a a B 存在一条直线a a a C 存在两条平行直线a b a b a b D 存在两条异面直线a b a b a b 解析若 l a l a a 则a a 故排除A 若 l a a l 则a 故排除B 若 l a a l b b l 则a b 故排除C 故选D D 思维升华 解决空间点 线 面位置关系的组合判断题 主要是根据平面的基本性质 空间位置关系的各种情况 以及空间线面垂直 平行关系的判定定理和性质定理进行判断 必要时可以利用正方体 长方体 棱锥等几何模型辅助判断 同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 跟踪演练1已知m n为两条不同的直线 为两个不重合的平面 给出下列命题 若m n 则m n 若m m n 则n 若 m 则m 若m m 则 A 0B 1C 2D 3 解析对于 垂直于同一个平面的两条直线平行 正确 对于 直线n可能在平面 内 所以推不出n 错误 对于 举一反例 m 且m与 的交线平行时 也有m 错误 对于 可以证明其正确性 正确 故选C 答案C 热点二空间平行 垂直关系的证明 空间平行 垂直关系证明的主要思想是转化 即通过判定 性质定理将线线 线面 面面之间的平行 垂直关系相互转化 例2 2015 广东 如图 三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 1 证明 BC 平面PDA 证明因为四边形ABCD是长方形 所以BC AD 因为BC 平面PDA AD 平面PDA 所以BC 平面PDA 2 证明 BC PD 证明因为四边形ABCD是长方形 所以BC CD 因为平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD BC 平面ABCD 所以BC 平面PDC 因为PD 平面PDC 所以BC PD 3 求点C到平面PDA的距离 解如图 取CD的中点E 连接AE和PE 因为PD PC 所以PE CD 因为平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD PE 平面PDC 所以PE 平面ABCD 由 2 知 BC 平面PDC 由 1 知 BC AD 所以AD 平面PDC 因为PD 平面PDC 所以AD PD 设点C到平面PDA的距离为h 因为V三棱锥C PDA V三棱锥P ACD 思维升华 垂直 平行关系的基础是线线垂直和线线平行 常用方法如下 1 证明线线平行常用的方法 一是利用平行公理 即证两直线同时和第三条直线平行 二是利用平行四边形进行平行转换 三是利用三角形的中位线定理证线线平行 四是利用线面平行 面面平行的性质定理进行平行转换 思维升华 2 证明线线垂直常用的方法 利用等腰三角形底边中线即高线的性质 勾股定理 线面垂直的性质 即要证两线垂直 只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可 l a l a 跟踪演练2如图所示 已知AB 平面ACD DE 平面ACD ACD为等边三角形 AD DE 2AB F为CD的中点 求证 1 AF 平面BCE 证明如图 取CE的中点G 连接FG BG AB 平面ACD DE 平面ACD AB DE GF AB 四边形GFAB为平行四边形 则AF BG AF 平面BCE BG 平面BCE AF 平面BCE 2 平面BCE 平面CDE 证明 ACD为等边三角形 F为CD的中点 AF CD DE 平面ACD AF 平面ACD DE AF 又CD DE D 故AF 平面CDE BG AF BG 平面CDE BG 平面BCE 平面BCE 平面CDE 热点三平面图形的折叠问题 平面图形经过翻折成为空间图形后 原有的性质有的发生变化 有的没有发生变化 这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键 一般地 在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 解决这类问题就是要根据这些变与不变 去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值 这是化解翻折问题的主要方法 例3如图 1 在Rt ABC中 C 90 D E分别为AC AB的中点 点F为线段CD上的一点 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1F CD 如图 2 1 求证 DE 平面A1CB 证明因为D E分别为AC AB的中点 所以DE BC 又因为DE 平面A1CB BC 平面A1CB 所以DE 平面A1CB 2 求证 A1F BE 证明由题图 1 得AC BC且DE BC 所以DE AC 所以DE A1D DE CD 所以DE 平面A1DC 而A1F 平面A1DC 所以DE A1F 又因为A1F CD 所以A1F 平面BCDE 又BE 平面BCDE 所以A1F BE 3 线段A1B上是否存在点Q 使A1C 平面DEQ 请说明理由 解线段A1B上存在点Q 使A1C 平面DEQ 理由如下 如图 分别取A1C A1B的中点P Q 则PQ BC 又因为DE BC 所以DE PQ 所以平面DEQ即为平面DEP 由 2 知 DE 平面A1DC 所以DE A1C 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点 所以A1C DP 所以A1C 平面DEP 从而A1C 平面DEQ 故线段A1B上存在点Q 使得A1C 平面DEQ 思维升华 1 折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口 2 存在探索性问题可先假设存在 然后在此前提下进行逻辑推理 得出矛盾或肯定结论 跟踪演练3 2014 广东 如图 1 四边形ABCD为矩形 PD 平面ABCD AB 1 BC PC 2 作如图 2 折叠 折痕EF DC 其中点E F分别在线段PD PC上 沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M 并且MF CF 1 证明 CF 平面MDF 证明因为PD 平面ABCD AD 平面ABCD 所以PD AD 又因为ABCD是矩形 CD AD PD与CD交于点D 所以AD 平面PCD 又CF 平面PCD 所以AD CF 即MD CF 又MF CF MD MF M 所以CF 平面MDF 2 求三棱锥M CDE的体积 解因为PD DC BC 2 CD 1 PCD 60 过点F作FG CD交CD于点G 高考押题精练 1 2 1 不重合的两条直线m n分别在不重合的两个平面 内 下列为真命题的是 A m n m B m n C m D m n 押题依据空间两条直线 两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容 也是高考命题的热点 此类题常与命题的真假性 充分条件和必要条件等知识相交汇 意在考查考生的空间想象能力 逻辑推理能力 1 2 解析构造长方体 如图所示 因为A1C1 AA1 A1C1 平面AA1C1C AA1 平面AA1B1B 但A1C1与平面AA1B1B不垂直 平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直 所以选项A B都是假命题 CC1 AA1 但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行 所以选项D为假命题 1 2 若两平面平行 则平面内任何一条直线必平行于另一个平面 是真命题 故选C 答案C 1 2 2 如图 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 已知DC DD1 2AD 2AB AD DC AB DC 1 求证 D1C AC1 2 问在棱CD上是否存在点E 使D1E 平面A1BD 若存在 确定点E位置 若不存在 说明理由 1 2 押题依据空间直线和平面的平行 垂直关系是立体几何的重点内容 也是高考解答题的热点 结合探索性问题考查考生的空间想象能力 推理论证能力 是命题的常见形式 1 2 1 证明在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 连接C1D DC DD1 四边形DCC1D1是正方形 DC1 D1C 又AD DC AD DD1 DC DD1 D AD 平面DCC1D1 又D1C 平面DCC1D1 1 2 AD D1C AD 平面ADC1 DC1 平面ADC1 且AD DC1 D D1C 平面ADC1 又AC1 平面ADC1 D1C AC1 1 2 2 解假设存在点E 使D1E 平面A1BD 连接AD1 AE D1E 设AD1 A1D M BD AE N 连接MN 平面AD1E 平面A1BD MN 要使D1E 平面A1BD 可使MN D1E 1 2 又M是AD1的中点 则N是AE的中点 又易知 ABN EDN AB DE 即E是DC的中点 综上所述 当E是DC的中点时 可使D1E 平面A1BD