高考数学大二轮总复习 增分策略 专题二 函数与导数 第4讲 导数的热点问题课件.ppt

第4讲导数的热点问题 专题二函数与导数 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 求a b 解函数f x 的定义域为 0 由题意可得f 1 2 f 1 e 故a 1 b 2 2 证明 f x 1 设函数g x xlnx 则g x 1 lnx 则h x e x 1 x 所以当x 0 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0 故h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 综上 当x 0时 g x h x 即f x 1 考情考向分析 利用导数探求函数的极值 最值是函数的基本问题 高考中常与函数零点 方程根及不等式相结合 难度较大 热点一利用导数证明不等式 热点分类突破 用导数证明不等式是导数的应用之一 可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值 以及构造函数解题的能力 例1已知函数f x lnx x 3 1 求函数f x 的单调区间 解f x 0得x 1 解f x 0得x 0 1 f x 的单调增区间为 1 单调减区间为 0 1 2 证明 在 1 上 f x 2 0 证明f x lnx x 3 所以f 1 2 由 1 知f x lnx x 3在 1 上单调递增 所以当x 1 时 f x f 1 即f x 2 所以f x 2 0 证明由 1 可知 当x 1 时 f x f 1 即 lnx x 1 0 0 lnx x 1对一切x 1 成立 n 2 n N 则有0 lnn n 1 思维升华 用导数证明不等式的方法 1 利用单调性 若f x 在 a b 上是增函数 则 x a b 则f a f x f b 对 x1 x2 a b 且x1 x2 则f x1 f x2 对于减函数有类似结论 2 利用最值 若f x 在某个范围D内有最大值M 或最小值m 则对 x D 则f x M 或f x m 3 证明f x g x 可构造函数F x f x g x 证明F x 0 跟踪演练1已知函数f x alnx bx a b R 在点 1 f 1 处的切线方程为x 2y 2 0 1 求a b的值 则g x x lnx 1 x 1 lnx 当x 1时 h x 0 函数h x 在 1 上单调递增 故h x h 1 0 从而 当x 1时 g x 0 即函数g x 在 1 上单调递增 热点二利用导数讨论方程根的个数 方程的根 函数的零点 函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念 解决这类问题可以通过函数的单调性 极值与最值 画出函数图象的走势 通过数形结合思想直观求解 1 求f x 的单调区间 最大值 2 讨论关于x的方程 lnx f x 根的个数 所以g x 在 1 上单调递增 因为e2x 1 e2 e2x 1 x 0 所以g x 0 即g x 在 0 1 上单调递减 方程 lnx f x 根的个数为0 思维升华 1 函数y f x k的零点问题 可转化为函数y f x 和直线y k的交点问题 2 研究函数y f x 的值域 不仅要看最值 而且要观察随x值的变化y值的变化趋势 跟踪演练2已知函数f x lnx ax a R 若函数f x 无零点 求实数a的取值范围 解函数f x 无零点 方程lnx ax 由g x 0 得x e 在区间 0 e 上 g x 0 函数g x 单调递增 在区间 e 上 g x 0 函数g x 单调递减 注意到当x 0 1 时 g x 0 当x 1时 g 1 0 热点三利用导数解决生活中的优化问题 生活中的实际问题受某些主要变量的制约 解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来 建立目标问题即关于这个变量的函数 然后通过研究这个函数的性质 从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优 例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将V表示成r的函数V r 并求该函数的定义域 解因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又根据题意得200 rh 160 r2 12000 2 讨论函数V r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 令V r 0 解得r1 5 r2 5 因为r2 5不在定义域内 舍去 当r 0 5 时 V r 0 故V r 在 0 5 上为增函数 由此可知 V r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 建模 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 求最值 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 作答 回归实际问题作答 解析设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为xm 高考押题精练 1 讨论a 1时 函数f x 的单调性和极值 3 是否存在正实数a 使f x 的最小值是3 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 押题依据函数的单调性 极值 最值是导数的典型应用 不等式证明体现了转化与化归的思想 是高考的必考点 当00时 此时f x 单调递增 f x 的极小值为f 1 1 2 证明 f x 的极小值为1 f x 在 0 e 上的最小值为1 即 f x min 1 当00 g x 在 0 e 上单调递增 3 解假设存在正实数a 使f x ax lnx x 0 e 有最小值3 所以 此时f x 无最小值 综上 存在实数a e2 使得当x 0 e 时f x 有最小值3