高考数学大二轮总复习 增分策略 专题二 函数与导数 第3讲 导数及其应用课件.ppt

第3讲导数及其应用 专题二函数与导数 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 4 1 2015 湖南 设函数f x ln 1 x ln 1 x 则f x 是 A 奇函数 且在 0 1 上是增函数B 奇函数 且在 0 1 上是减函数C 偶函数 且在 0 1 上是增函数D 偶函数 且在 0 1 上是减函数 1 2 3 4 解析易知函数定义域为 1 1 又f x ln 1 x ln 1 x f x 故函数f x 为奇函数 由复合函数单调性判断方法知 f x 在 0 1 上是增函数 故选A 答案A 1 2 3 4 2 2014 课标全国 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 A 2 B 2 C 1 D 1 解析f x 3ax2 6x 当a 3时 f x 9x2 6x 3x 3x 2 则当x 0 时 f x 0 1 2 3 4 则f x 的大致图象如图1所示 不符合题意 排除A C 图1 1 2 3 4 图2 答案B 1 2 3 4 3 2014 辽宁 当x 2 1 时 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 则实数a的取值范围是 解析当x 0时 ax3 x2 4x 3 0变为3 0恒成立 即a R 1 2 3 4 1 2 3 4 x 在 0 1 上递增 x max 1 6 a 6 1 2 3 4 当x 2 1 时 x 0 当x 1时 x 有极小值 即为最小值 综上知 6 a 2 答案C 1 2 3 4 4 2013 安徽 已知函数f x x3 ax2 bx c有两个极值点x1 x2 若f x1 x1 x2 则关于x的方程3 f x 2 2af x b 0的不同实根个数为 A 3B 4C 5D 6 解析f x 3x2 2ax b 由已知x1 x2是方程3x2 2ax b 0的不同两根 当f x1 x1 x2时 作y x1 y x2与f x x3 ax2 bx c有三个不同交点 即方程3 f x 2 2af x b 0有三个不同实根 A 考情考向分析 1 导数的意义和运算是导数应用的基础 是高考的一个热点 2 利用导数解决函数的单调性与极值 最值 是高考的常见题型 热点一导数的几何意义 热点分类突破 1 函数f x 在x0处的导数是曲线f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 曲线f x 在点P处的切线的斜率k f x0 相应的切线方程为y f x0 f x0 x x0 2 求曲线的切线要注意 过点P的切线 与 在点P处的切线 的不同 例1 1 2015 课标全国 已知函数f x ax3 x 1的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 解析f x 3ax2 1 f 1 1 3a f 1 a 2 1 f 1 处的切线方程为y a 2 1 3a x 1 将 2 7 代入切线方程 得7 a 2 1 3a 解得a 1 1 2 设函数f x ax3 3x 其图象在点 1 f 1 处的切线l与直线x 6y 7 0垂直 则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1B 3C 9D 12 解析f x 3ax2 3 由题设得f 1 6 所以3a 3 6 a 3 所以f x 3x3 3x f 1 0 切线l的方程为y 0 6 x 1 即y 6x 6 选B B 思维升华 1 求曲线的切线要注意 过点P的切线 与 在点P处的切线 的差异 过点P的切线中 点P不一定是切点 点P也不一定在已知曲线上 而在点P处的切线 必以点P为切点 2 利用导数的几何意义解题 主要是利用导数 切点坐标 切线斜率之间的关系来进行转化 以平行 垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值 则要求掌握平行 垂直与斜率之间的关系 进而和导数联系起来求解 又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直 答案4 热点二利用导数研究函数的单调性 1 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 2 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 当函数在某个区间内恒有f x 0时 则f x 为常函数 函数不具有单调性 1 若f x 在x 0处取得极值 确定a的值 并求此时曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 因为f x 在x 0处取得极值 所以f 0 0 即a 0 2 若f x 在 3 上为减函数 求a的取值范围 令g x 3x2 6 a x a 当x x1时 g x 0 即f x 0 故f x 为减函数 当x1 x x2时 g x 0 即f x 0 故f x 为增函数 当x x2时 g x 0 即f x 0 故f x 为减函数 思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导函数f x 3 若求单调区间 或证明单调性 只要在函数定义域内解 或证明 不等式f x 0或f x 0 若已知函数的单调性 则转化为不等式f x 0或f x 0在单调区间上恒成立问题来求解 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 解析由题意知 函数的定义域为 0 所以函数f x 的单调递减区间为 0 1 B 热点三利用导数求函数的极值 最值 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 1 若f x 在其定义域内是单调增函数 求实数p的取值范围 解f x 的定义域为 0 由条件知f x 0在 0 内恒成立 所以p 1 即实数p的取值范围是 1 2 若在 1 e 上存在点x0 使得f x0 g x0 成立 求实数p的取值范围 解设h x f x g x 则已知等价于h x 0在 1 e 上有解 即等价于h x 在 1 e 上的最大值大于0 所以h x 在 1 e 上是增函数 3 若在 1 e 上存在点x1 x2 使得f x1 g x2 成立 求实数p的取值范围 解已知条件等价于f x max g x min 当p 1时 由 1 知f x 在 1 e 上是增函数 若f x max f 1 0 由于g x min 2 所以此时无解 思维升华 1 求函数f x 的极值 则先求方程f x 0的根 再检查f x 在方程根的左右函数值的符号 2 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0根的大小或存在情况来求解 3 求函数f x 在闭区间 a b 的最值时 在得到极值的基础上 结合区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值进行比较得到函数的最值 跟踪演练3已知函数f x lnx ax a2x2 a 0 1 若x 1是函数y f x 的极值点 求a的值 解函数的定义域为 0 因为x 1是函数y f x 的极值点 所以f 1 1 a 2a2 0 经检验 当a 1时 x 1是函数y f x 的极值点 所以a 1 2 若f x 0在定义域内恒成立 求实数a的取值范围 解当a 0时 f x lnx 显然在定义域内不满足f x 0 所以f x f x 的变化情况如下表 综上可得a的取值范围是 1 高考押题精练 1 2 3 4 1 已知曲线y lnx的切线过原点 则此切线的斜率为 押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用 是高考考查的热点 对于 过某一点的切线 问题 也是易错易混点 1 2 3 4 解析y f x lnx的定义域为 0 又切线过点 0 0 代入切线方程得y0 1 则x0 e 答案C 1 2 3 4 1 2 3 4 押题依据函数的极值是单调性与最值的 桥梁 理解极值概念是学好导数的关键 极值点 极值的求法是高考的热点 解析由题意知f x 3x2 2ax b f 1 0 f 1 10 答案A 1 2 3 4 3 已知函数f x x2 ax 3在 0 1 上为减函数 函数g x x2 alnx在 1 2 上为增函数 则a的值等于 押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用 体现了 以直代曲 思想 要在审题中搞清 在 0 1 上为减函数 与 函数的减区间为 0 1 的区别 1 2 3 4 解析 函数f x x2 ax 3在 0 1 上为减函数 得2x2 a在x 1 2 上恒成立 有a 2 a 2 答案2 1 2 3 4 押题依据不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决 考查了转化与化归思想 是高考的一个热点 1 2 3 4 因此函数f x 在 0 1 上单调递增 所以x 0 1 时 f x min f 0 1 根据题意可知存在x 1 2 使得g x x2 2ax 4 1 1 2 3 4 则要使a h x 在x 1 2 能成立 只需使a h x min