高考数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积课件 理 苏教版.ppt

5 3平面向量的数量积 第五章平面向量 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 平面向量的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则数量 叫做a和b的数量积 或内积 记作 规定 零向量与任一向量的数量积为 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 两个非零向量a与b平行的充要条件是 2 平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影的乘积 a b cos a b a b cos 0 a b 0 a b a b b cos 3 平面向量数量积的重要性质 1 e a a e 2 非零向量a b a b 3 当a与b同向时 a b 当a与b反向时 a b a a a 4 cos 5 a b a b a cos a b 0 a b a b a 2 4 平面向量数量积满足的运算律 1 a b 交换律 2 a b 为实数 3 a b c b a a b a b a c b c 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 则a b 由此得到 1 若a x y 则 a 2 或 a 2 设A x1 y1 B x2 y2 则A B两点间的距离AB 3 设两个非零向量a b a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 x2 y2 x1x2 y1y2 0 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量在另一个向量方向上的投影为数量 而不是向量 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 4 在四边形ABCD中 且 0 则四边形ABCD为矩形 5 两个向量的夹角的范围是 0 6 已知a 2 b 3 2 如果a与b的夹角为锐角 则 的取值范围是 0 3 30 4 8 解析 设向量a与向量a 2b的夹角为 a 2b 2 4 4 4a b 8 8cos60 12 a a 2b a a 2b cos 又a a 2b a2 2a b 4 4cos60 6 0 180 30 题型一平面向量数量积的运算 解析 答案 思维升华 例1 1 2013 湖北改编 已知点A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 4 则向量在方向上的投影为 题型一平面向量数量积的运算 例1 1 2013 湖北改编 已知点A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 4 则向量在方向上的投影为 解析 答案 思维升华 题型一平面向量数量积的运算 例1 1 2013 湖北改编 已知点A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 4 则向量在方向上的投影为 解析 答案 思维升华 求两个向量的数量积有三种方法 利用定义 利用向量的坐标运算 利用数量积的几何意义 本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件 题型一平面向量数量积的运算 例1 1 2013 湖北改编 已知点A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 4 则向量在方向上的投影为 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例1 2 已知正方形ABCD的边长为1 点E是AB边上的动点 则 的值为 的最大值为 例1 2 已知正方形ABCD的边长为1 点E是AB边上的动点 则 的值为 的最大值为 解析方法一以射线AB AD为x轴 y轴的正方向建立平面直角坐标系 则A 0 0 B 1 0 C 1 1 D 0 1 解析 答案 思维升华 例1 2 已知正方形ABCD的边长为1 点E是AB边上的动点 则 的值为 的最大值为 方法二由图知 无论E点在哪个位置 解析 答案 思维升华 例1 2 已知正方形ABCD的边长为1 点E是AB边上的动点 则 的值为 的最大值为 当E运动到B点时 解析 答案 思维升华 1 1 解析 答案 思维升华 例1 2 已知正方形ABCD的边长为1 点E是AB边上的动点 则 的值为 的最大值为 求两个向量的数量积有三种方法 利用定义 利用向量的坐标运算 利用数量积的几何意义 本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件 解析 答案 思维升华 1 1 例1 2 已知正方形ABCD的边长为1 点E是AB边上的动点 则 的值为 的最大值为 跟踪训练1 1 已知平面向量a x1 y1 b x2 y2 若 a 2 b 3 a b 6 则的值为 解析由已知得 向量a x1 y1 与b x2 y2 反向 3a 2b 0 即3 x1 y1 2 x2 y2 0 0 解析 答案 思维升华 记向量2a b与a 2b的夹角为 又 2a b 2 4 22 32 4 2 3 cos 13 a 2b 2 22 4 32 4 2 3 cos 52 解析 答案 思维升华 2a b a 2b 2a2 2b2 3a b 8 18 9 1 即2a b与a 2b的夹角的余弦值是 解析 答案 思维升华 2a b a 2b 2a2 2b2 3a b 8 18 9 1 即2a b与a 2b的夹角的余弦值是 解析 答案 思维升华 1 在数量积的基本运算中 经常用到数量积的定义 模 夹角等公式 尤其对 a 要引起足够重视 它是求距离常用的公式 解析 答案 思维升华 2 要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系 在向量的运算中 灵活运用运算律 就会达到简化运算的目的 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例2 2 已知向量a b的夹角为45 且 a 1 2a b 则 b a b的夹角为45 a 1 例2 2 已知向量a b的夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 解析 答案 思维升华 a b的夹角为45 a 1 例2 2 已知向量a b的夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 解析 答案 思维升华 例2 2 已知向量a b的夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 1 在数量积的基本运算中 经常用到数量积的定义 模 夹角等公式 尤其对 a 要引起足够重视 它是求距离常用的公式 解析 答案 思维升华 例2 2 已知向量a b的夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 2 要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系 在向量的运算中 灵活运用运算律 就会达到简化运算的目的 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 1 在数量积的基本运算中 经常用到数量积的定义 模 夹角等公式 尤其对 a 要引起足够重视 它是求距离常用的公式 解析 答案 思维升华 2 要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系 在向量的运算中 灵活运用运算律 就会达到简化运算的目的 解析 答案 思维升华 跟踪训练2 1 2013 天津 在平行四边形ABCD中 AD 1 BAD 60 E为CD的中点 若 1 则AB的长为 跟踪训练2 1 2013 天津 在平行四边形ABCD中 AD 1 BAD 60 E为CD的中点 若 1 则AB的长为 2 2014 江西 已知单位向量e1与e2的夹角为 且cos 向量a 3e1 2e2与b 3e1 e2的夹角为 则cos 2 2014 江西 已知单位向量e1与e2的夹角为 且cos 向量a 3e1 2e2与b 3e1 e2的夹角为 则cos 题型三数量积的综合应用 思维点拨 解析 思维升华 例3已知 ABC的角A B C所对的边分别是a b c 设向量m a b n sinB sinA p b 2 a 2 1 若m n 求证 ABC为等腰三角形 1 由m n可得 ABC的边角关系 再利用正弦定理边角互化即可证得结论 2 由m p得a b关系 再利用余弦定理得ab 代入面积公式 思维点拨 解析 思维升华 题型三数量积的综合应用 例3已知 ABC的角A B C所对的边分别是a b c 设向量m a b n sinB sinA p b 2 a 2 1 若m n 求证 ABC为等腰三角形 证明 m n 思维点拨 解析 思维升华 题型三数量积的综合应用 asinA bsinB 其中R是三角形ABC外接圆半径 a b ABC为等腰三角形 例3已知 ABC的角A B C所对的边分别是a b c 设向量m a b n sinB sinA p b 2 a 2 1 若m n 求证 ABC为等腰三角形 解决以向量为载体考查三角形问题时 正弦定理 余弦定理 面积公式的应用 边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法 思维点拨 解析 思维升华 题型三数量积的综合应用 例3已知 ABC的角A B C所对的边分别是a b c 设向量m a b n sinB sinA p b 2 a 2 1 若m n 求证 ABC为等腰三角形 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若m p 边长c 2 角C 求 ABC的面积 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若m p 边长c 2 角C 求 ABC的面积 1 由m n可得 ABC的边角关系 再利用正弦定理边角互化即可证得结论 2 由m p得a b关系 再利用余弦定理得ab 代入面积公式 解由题意可知m p 0 即a b 2 b a 2 0 a b ab 由余弦定理可知 4 a2 b2 ab a b 2 3ab 即 ab 2 3ab 4 0 ab 4 舍去ab 1 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若m p 边长c 2 角C 求 ABC的面积 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若m p 边长c 2 角C 求 ABC的面积 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 若m p 边长c 2 角C 求 ABC的面积 解决以向量为载体考查三角形问题时 正弦定理 余弦定理 面积公式的应用 边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法 所以f x 2 2 即f x 的值域是 2 2 高考小考点6高考中以向量为背景的创新题 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 解答创新型问题 首先需要分析新定义的特点 把新定义所叙述的问题的本质弄清楚 将问题转化为我们熟悉的定义运算 然后确定解题策略 根据题目条件进行求解 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 解答创新型问题 首先需要分析新定义的特点 把新定义所叙述的问题的本质弄清楚 将问题转化为我们熟悉的定义运算 然后确定解题策略 根据题目条件进行求解 思维点拨 解析 温馨提醒 方法与技巧 1 计算数量积的三种方法 定义 坐标运算 数量积的几何意义 要灵活选用 和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 2 求向量模的常用方法 利用公式 a 2 a2 将模的运算转化为向量的数量积的运算 3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧 失误与防范 1 数量积运算律要准确理解 应用 例如 a b a c a 0 不能得出b c 两边不能约去一个向量 2 两个向量的夹角为锐角 则有a b 0 反之不成立 两个向量夹角为钝角 则有a b 0 反之不成立 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 若向量a b满足 a b a b 1 则a b的值为 解析依题意得 a b 2 a2 b2 2a b 2 2a b 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 已知向量a 1 b 1 0 则 a 2b 解析 a 2b 2 a2 4a b 4b2 4 4 1 4 4 a 2b 2 2 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 3 已知在三角形ABC中 AB 2 AC 3 BAC 若D为BC的三等分点 靠近点B一侧 则的取值范围为 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 4 向量与向量a 3 4 的夹角为 10 若点A的坐标是 1 2 则点B的坐标为 又A 1 2 B点坐标为 7 6 7 6 5 2013 福建改编 在四边形ABCD中 1 2 4 2 则该四边形的面积为 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 5 2 3 4 5 7 8 9 10 1 6 6 2014 北京 已知向量a b满足 a 1 b 2 1 且 a b 0 R 则 解析 a b 0 a b 2 3 4 5 6 8 9 10 1 7 7 2013 课标全国 已知正方形ABCD的边长为2 E为CD的中点 则 2 2 3 4 5 6 9 10 1 7 8 8 已知a 2 1 b 3 若a与b的夹角为钝角 则 的取值范围是 解析由a b 0 即2 3 0 且 6 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 9 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 解由 2a 3b 2a b 61 解得a b 6 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 2 求 a b 和 a b 解 a b 2 a2 2a b b2 13 a b 2 a2 2a b b2 37 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 10 已知 ABC的内角为A B C 其对边分别为a b c B为锐角 向量m 2sinB n cos2B 2cos2 1 且m n 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 如果b 2 求S ABC的最大值 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 又O为 ABC的外心 AO为BC的中垂线 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案5 1 2 3 4 5 即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 已知向量p 2sinx cosx q sinx 2sinx 函数f x p q 1 求f x 的单调递增区间 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5