高考数学复习 第十四章 不等式选讲课件 理.ppt

知识点一解绝对值不等式 1 ax b c ax b c c 0 型不等式的解法 1 若c 0 则 ax b c等价于 c ax b c ax b c等价于ax b c或ax b c 然后根据a b的值解出即可 2 若c 0 则 ax b c的解集为 ax b c的解集为R 2 x a x b c c 0 x a x b c c 0 型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 1 零点分区间法的一般步骤 令每个绝对值符号的代数式为零 并求出相应的根 将这些根按从小到大排列 把实数集分为若干个区间 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式 解这些不等式 求出解集 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 2 利用绝对值的几何意义由于 x a x b 与 x a x b 分别表示数轴上与x对应的点到a b对应的点的距离之和与距离之差 因此对形如 x a x b 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利用绝对值的几何意义求解更直观 3 f x g x f x 0 型不等式的解法 1 f x g x f x g x 或f x g x 2 f x g x g x f x g x 知识点二不等式的证明1 证明不等式的常用结论 1 绝对值的三角不等式定理1 若a b为实数 则 a b a b 当且仅当ab 0 等号成立 定理2 设a b c为实数 则 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 推论1 a b a b 推论2 a b a b 2 证明不等式的常用方法 1 比较法一般步骤 作差 变形 判断 结论 为了判断作差后的符号 有时要把这个差变形为一个常数 或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式 也可变形为几个因式的积的形式 以判断其正负 2 综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质 推导出所要证明的不等式 这种方法叫综合法 即 由因导果 的方法 3 分析法证明不等式时 有时可以从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 如果能够肯定这些充分条件都已经具备 那么就可以判定原不等式成立 这种方法叫作分析法 即 执果索因 的方法 4 反证法和放缩法 先假设要证的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 这种方法叫作反证法 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小 简化不等式 从而达到证明的目的 这种方法叫作放缩法 名师助学 1 a b 与 a b a b 与 a b a b 之间的关系 1 a b a b 当且仅当a b 0时 等号成立 2 a b a b a b 当且仅当 a b 且ab 0时 左边等号成立 当且仅当ab 0时 右边等号成立 2 证明不等式的常用方法有比较法 综合法 分析法 如果已知条件与待证结论直接联系不明显 可考虑用分析法 如果待证命题是否定性命题 唯一性命题或以 至少 至多 等方式给出的 则考虑用反证法 如果待证不等式与自然数有关 则考虑用数学归纳法等 在必要的情况下 可能还需要使用换元法 构造法等技巧简化对问题的表述和证明 方法1含绝对值不等式的性质与解法 1 基本性质法 对a R x a xa 2 平方法 两边平方去掉绝对值符号 3 零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式 可用零点分区间法脱去绝对值符号 将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 组 求解 4 几何法 利用绝对值的几何意义 画出数轴 将绝对值转化为数轴上两点的距离求解 5 数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象 利用函数图象求解 例1 不等式 2x 1 2 x 1 0的解集为 点评 解决本题的关键是去绝对值号 转化为一元一次不等式求解 方法2不等式的证明与应用证明不等式的常用方法 1 比较法 2 综合法 3 分析法 4 反证法和放缩法 5 数学归纳法 点评 均值不等式的应用 方法3求解与绝对值不等式相关的最值问题的方法解含参数的不等式存在性问题 只要求出存在满足条件的x即可 求解存在性问题需过两关 第一关是转化关 先把存在性问题转化为求最值问题 不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题 而不等式的解集为 的对立面也是不等式的恒成立问题 此两类问题都可转化为最值问题 即f x f x max f x a恒成立 a f x min 第二关是求最值关 求含绝对值的函数最值时 常用的方法有三种 利用绝对值的几何意义 利用绝对值三角不等式 即 a b a b a b 利用零点分区间法 例3 已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 审题指导 1 将a 3代入f x 利用零点分段法去绝对值号 2 根据x 1 2 去绝对值号解关于a的不等式 当x 3时 由f x 3 得2x 5 3 解得x 4 所以f x 3的解集为 x x 1 x x 4 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 3 0 点评 研究含有绝对值的函数问题时 根据绝对值的定义 分类讨论去掉绝对值符号 转化为分段函数 然后利用数形结合解决 是常用的思想方法 解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀 找零点 分区间 逐个解 并起来