高考数学二轮复习 专题七 第1讲 几何证明选讲课件 理（选做部分）.ppt

第1讲几何证明选讲 高考定位高考对本内容的考查主要有 1 三角形及相似三角形的判定与性质 2 圆的相交弦定理 切割线定理 3 圆内接四边形的性质与判定 4 相交弦定理 本内容考查属B级要求 真题感悟 1 2015 江苏卷 如图 在 ABC中 AB AC ABC的外接圆 O的弦AE交BC于点D 求证 ABD AEB 证明因为AB AC 所以 ABD C 又因为 C E 所以 ABD E 又 BAE为公共角 可知 ABD AEB 2 2014 江苏卷 如图 AB是圆O的直径 C D是圆O上位于AB异侧的两点 证明 OCB D 证明因为B C是圆O上的两点 所以OB OC 故 OCB B 又因为C D是圆O上位于AB异侧的两点 故 B D为同弧所对的两个圆周角 所以 B D 因此 OCB D 考点整合1 1 相似三角形的判定定理判定定理1 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 判定定理2 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 判定定理3 对于任意两个三角形 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相似 2 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 3 直角三角形的射影定理 直角三角形中 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 2 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 3 1 圆内接四边形的性质定理 圆的内接四边形的对角互补 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 2 圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 4 1 圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 4 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 5 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 5 证明等积式成立 应先把它写成比例式 找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似 若不相似 则进行线段替换或等比替换 6 圆幂定理与圆周角 弦切角联合应用时 要注意找相等的角 找相似三角形 从而得出线段的比 由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算 所以应注意代数法在解题中的应用 热点一三角形相似的判定及应用 微题型1 利用弦切角定理证明三角形相似 证明 1 ACE BCD 2 BC2 BE CD 探究提高在证明角或线段相等时 证三角形相似是首选的解题思路 如果涉及弦切角 则需考虑弦切角定理 微题型2 利用圆周角 圆心角定理证明三角形相似 例1 2 如图 已知圆O是 ABC的外接圆 AB BC AD是BC边上的高 AE是圆O的直径 过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F 探究提高在证明线段的乘积相等时 通常用三角形相似或圆的切割线定理 同时 要注意等量的代换 训练1 已知AB为半圆O的直径 AB 4 C为半圆上一点 过点C作半圆的切线CD 过点A作AD CD于D 交半圆于点E DE 1 1 求证 AC平分 BAD 2 求BC的长 1 证明连接OC 因为OA OC 所以 OAC OCA CD为半圆的切线 OC CD AD CD OC AD OCA CAD OAC CAD AC平分 BAD 2 解连接CE 由 1 得 OAC CAD 由同圆或等圆中圆周角相等所对弧及弦也相等可知BC CE 热点二四点共圆的判定及性质 微题型1 四点共圆的判定 例2 1 如图 已知 ABC的两条角平分线AD和CE相交于H B 60 F在AC上 且AE AF 证明 1 B D H E四点共圆 2 EC平分 DEF 证明 1 在 ABC中 因为 B 60 所以 BAC BCA 120 因为AD CE是角平分线 所以 HAC HCA 60 故 AHC 120 于是 EHD AHC 120 因为 EBD EHD 180 所以B D H E四点共圆 2 连接BH 则BH为 ABC的平分线 得 HBD 30 由 1 知B D H E四点共圆 所以 CED HBD 30 又 AHE EBD 60 由已知可得EF AD 可得 CEF 30 所以EC平分 DEF 探究提高 1 如果四点与一定点距离相等 那么这四点共圆 2 如果四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 微题型2 考查四点共圆的性质 例2 2 如图所示 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O的割线 与 O交于B C两点 圆心O在 PAC的内部 点M是BC的中点 1 证明 A P O M四点共圆 2 求 OAM APM的大小 1 证明连接OP OM AP与 O相切于P OP AP 又 M是 O的弦BC的中点 OM BC 于是 OMA OPA 180 由圆心O在 PAC的内部 可知四边形APOM的对角互补 A P O M四点共圆 2 解由 1 得A P O M四点共圆 可知 OAM OPM 又 OP AP 由圆心在 PAC的内部 可知 OPM APM 90 OAM APM 90 探究提高利用四点共圆的性质可解决角的相等 或结合切割线定理解决线段成比例问题 1 证明如图 设F为AD延长线上一点 A B C D四点共圆 CDF ABC 又AB AC ABC ACB 且 ADB ACB ADB CDF