高考数学一轮总复习 第十章 算法初步、复数与选考内容 第5讲 不等式选讲课件 文.ppt

第5讲不等式选讲 1 常用的证明不等式的方法 1 比较法 比较法包括作差比较法和作商比较法 2 综合法 利用某些已经证明过的不等式 例如算术平均数与几何平均数的定理 和不等式的性质 推导出所要证明的不等式 3 分析法 证明不等式时 有时可以从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 如果能够肯定这些充分条件都已具备 那么就可以断定原不等式成立 4 反证法 可以从正难则反的角度考虑 即要证明不等式A B 先假设A B 由题设及其他性质 推出矛盾 从而肯定A B 凡涉及的证明不等式为否定命题 唯一性命题或含有 至多 至少 不存在 不可能 等词语时 可以考虑用反证法 5 放缩法 要证明不等式A B成立 借助一个或多个中间 变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法 2 绝对值不等式 1 含绝对值不等式的解法 设a 0 f x a f x a 2 理解绝对值的几何意义 a b a b a b 1 2015年新课标 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若f x 图象与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 1 求a3 b3的最小值 2 是否存在a b 使得2a 3b 6 并说明理由 3 2013年新课标 已知函数f x 2x 1 2x a g x x 3 1 当a 2时 求不等式f x g x 的解集 时 f x g x 求a的取 2 设a 1时 且当x 值范围 解 1 当a 2时 不等式f x g x 化为 2x 1 2x 2 x 3 0 设函数y 2x 1 2x 2 x 3 其图象如图D63 从图象可知 图D63 当且仅当x 0 2 时 y 0 所以原不等式的解集是 x 0 x 2 考点1 不等式的证明 例1 2013年江苏 已知a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 证明 2a3 b3 2ab2 a2b 2a3 2ab2 a2b b3 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 又 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 a b a b 2a b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 规律方法 比较法证不等式的步骤可归纳为 作差并化简 其化简目标应是n个因式之积或完全平方 式或常数的形式 判断差值与零的大小关系 必要时须进行讨论 得出结论 例2 2013年新课标 设a b c均为正实数 且a b c 1 证明 证明 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设 得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 1 即3ab 3bc 3ac 1 即ab bc ca 规律方法 分析法证明不等式 就是 执果索因 从所证的不等式出发 不断用充分条件代替前面的不等式 直至使不等式成立的条件已具备 就断定原不等式成立 当证题不知从何入手时 有时可以运用分析法而获得解决 特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法 用分析法论证 若A 则B 这个命题的模式是 欲证命题B为真 只需证明命题B1为真 从而又只需证明命题B2为真 从而又 只需证明命题A为真 今已知A真 故B必真 简写为 B B1 B2 Bn A 1 cos 即证 2 cos cos 即证1 cos cos sin sin 2cos cos 只需证1 cos 结论显然成立 故原不等式成立 考点2 绝对值不等式 例4 2012年新课标 已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 2x 5 x 2 解 1 当a 3时 f x 1 2 x 3 2x 5 x 3 当x 2时 由f x 3 得 2x 5 3 解得x 1 当2 x 3时 f x 3 无解 当x 3时 由f x 3 得2x 5 3 解得x 4 f x 3的解集为 x x 1或x 4 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x a x 4 x 2 4 x x 2 2 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1 且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 3 0 例5 已知函数f x ax 2 ax a a 0 1 当a 1时 求f x x的解集 2 若不存在实数x 使f x 3成立 求a的取值范围 解 1 当a 1时 f x x 2 x 1 x 当x 2时 解得x 3 当1 x 2时 解得x 1 无解 当x 1时 解得x 1 综上可得到解集 x x 1 或x 3 2 依题意 对 x R 都有f x 3 则f x ax 2 ax a ax 2 ax a a 2 3 a 2 3 或a 2 3 a 5 或a 1 舍去 a 5 例6 2015年福建 已知a 0 b 0 c 0 函数f x x a x b c的最小值为4 1 求a b c的值 解 1 因为f x x a x b c x a x b c a b c 当且仅当 a x b时 等号成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值为a b c 所以a b c 4 1 利用比较法证明不等式时 为了判断作差后的符号 有时要把这个差变形为一个常数 或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式 也可变形为几个因式的积的形式 以便判断其正负 2 分析法和综合法是对立统一的两种方法 分析法的证明过程 恰好是综合法的分析 思考过程 即综合法是分析法的逆过程 混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍 要注意两种证明方法的书写格式 否则易产生逻辑上的错误 利用反证法证明问题是从否定结论入手的 没有使用假设命题而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 3 放缩法证明不等式的理论依据主要有 1 不等式的传递性 2 等量加不等量为不等量 3 同分子 分母 异分母 分子 的两个分式大小的比较 常用的放缩技巧有 舍掉 或加进 一些项 在分式中放大或缩小分子或分母 应用均值不等式进行放缩 4 掌握绝对值不等式的解法和利用证明不等式的基本方法 5 含绝对值不等式的解法 等价转化法 分类讨论法及平 方法