高考数学一轮总复习 第十八章 不等式选讲课件(理) 新人教B版.ppt

第十八章不等式选讲 高考理数 1 不等式的性质和绝对值不等式 1 解绝对值不等式的基本思想解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号 常采用的方法是讨论符号或平方 例如 i 若a 0 则 x g x f x g x 或f x 0 当且仅当a b时取等号 知识清单 3 平均数定理 a b c 0 当且仅当a b c时取等号 a1 a2 an ai 0 i 1 2 n 当且仅当a1 a2 an时取等号 4 绝对值三角不等式 定理1 a b a b a b R 当且仅当ab 0时等号成立 定理2 如果a b c R 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 a b a b 注意 含绝对值的三角不等式 a b a b a b a b 中 对于等号成立的条件应注意 a b a b 中 ab 0 而 a b a b 中 ab 0等 3 柯西不等式 1 一般形式 设a1 a2 an b1 b2 bn为实数 则 a1b1 a2b2 anbn 2 当且仅当bi 0 或存在一个实数k 使得ai kbi i 1 2 n 时 等号成立 2 二维形式的柯西不等式 代数形式 设a b c d均为实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 上式等号成立 ad bc 向量形式 设 为平面上的两个向量 则 当且仅当 是零向量或存在实数k 使 k 时 等号成立 三角形式 设x1 x2 y1 y2 R 则 其几何意义是三角形两边之和大于第三边 注意 不等式成立的条件要准确把握 如a2 b2 2ab a b R a b 2 a b 0 柯西不等式中ai bi i 1 2 n 均为实数等 4 不等式的证明 1 综合法 从命题的已知条件出发 利用公理 定义及定理 逐步推导 从而最后导出要证明的命题 2 分析法 从需要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 3 反证法 首先假设要证明的命题是不正确的 然后利用公理 定义 定理 性质等 逐步分析 得到和命题的条件 或已证明过的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以此说明假设的结论不成立 从而证明原来的结论正确 4 放缩法 将所需证明的不等式的值适当放大 或缩小 使它由繁到简 达到证明目的 如果所要证明的不等式中含有分式 把分母放大 则相应分式的值缩小 把分母缩小 则分式的值放大 5 若a1 a2 b1 b2 R 则 a1 a2 b1 b2 a1b1 a2b2 2 等号成立 a1b2 a2b1 6 设 为平面上的两个向量 则 当且仅当 是零向量 或存在实数k 使 k 时 等号成立 7 设a1 a2 b1 b2为实数 则 等号成立 存在非负实数 使得 a1 b1 a2 b2 8 设平面上三点坐标为A a1 a2 B b1 b2 C c1 c2 则 其几何意义 AB BC AC 9 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 i 证明当n取初始值n0时命题成立 ii 假设当n k时命题成立 证明n k 1时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 形如 x a x b c 或0 型的不等式主要有三种解法 1 零点分段讨论法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式 可用零点分段讨论法脱去绝对值符号 将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 组 一般步骤是 1 令每个绝对值符号里的代数式为零 并求出相应的根 2 将这些根按从小到大排序 它们把实数集分为若干个区间 3 在所分的各区间上 根据绝对值的定义去掉绝对值符号 求所得的各不等式在相应区间上的解集 4 这些解集的并集就是原不等式的解集 2 利用绝对值的几何意义由于 x a x b 与 x a x b 分别表示数轴上与x对应的点到与a b对应的点的距离之和与距离之差 因此对形如 x a x b 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利用绝对值的几何意义求解更直观 3 数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象 利用函数图象求解 突破方法 方法1绝对值不等式的解法 例1 2013辽宁 24 10分 选修4 5 不等式选讲已知函数f x x a 其中a 1 1 当a 2时 求不等式f x 4 x 4 的解集 2 已知关于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集为 x 1 x 2 求a的值 解析 1 当a 2时 f x x 4 当x 2时 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 当2 x 4时 f x 4 x 4 无解 当x 4时 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 所以f x 4 x 4 的解集为 x x 1或x 5 4分 2 记h x f 2x a 2f x 则h x 由 h x 2 解得 x 又已知 h x 2的解集为 x 1 x 2 所以于是a 3 10分 1 1 2015贵州一模 24 10分 已知函数f x 2x a x 1 1 当a 3时 求不等式f x 2的解集 2 若f x 5 x对任意x R恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 a 3时 f x 2即为 2x 3 x 1 2 当x 时 不等式即为2x 3 x 1 2 解得x 2 当1 x 时 不等式即为3 2x x 1 2 2 x 2 x 0 舍去 当x 1时 不等式即为3 2x 1 x 2 3x 2 即x 综上 当a 3时 f x 2的解集为 5分 2 f x 5 x对任意x R恒成立 即为 2x a 5 x x 1 对任意x R恒成立 令g x 5 x x 1 数形结合可得 3 a 6 故a的取值范围是 6 10分 基本不等式的应用主要集中在解决最值问题 不等式恒成立 存在性问题及参数的求解问题 解含参数的不等式存在性问题时 只要求出存在满足条件的x即可 不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题 而不等式的解集为 的对立面也是不等式的恒成立问题 如f x m的解集是空集 则f x m恒成立 此两类问题都可转化为最值问题 即f x f x max f x a恒成立 a0 b 0 且 1 求a3 b3的最小值 2 是否存在a b 使得2a 3b 6 并说明理由 解析 1 由 得ab 2 且当a b 时等号成立 故a3 b3 2 4 且当a b 时等号成立 所以a3 b3的最小值为4 方法2基本不等式的应用 2 由 1 知 2a 3b 2 4 由于4 6 从而不存在a b 使得2a 3b 6 2 1 2016云南富宁二模 24 10分 已知函数f x 2x 1 2x a g x x 3 1 当a 2时 求不等式f x 1 且当x 时 f x g x 求a的取值范围 解析 1 当a 2时 不等式f x g x 化为 2x 1 2x 2 x 3 0 设函数y 2x 1 2x 2 x 3 则y 其图象如图所示 从图象可知 当且仅当x 0 2 时 y 0 所以原不等式的解集是 x 0 x 2 2 当x 时 f x 1 a 不等式f x g x 化为1 a x 3 所以x a 2对x 恒成立 故 a 2 即a 从而a的取值范围为 不等式证明的常用方法有 1 比较法 2 综合法 3 分析法 4 反证法 5 放缩法 6 数学归纳法 7 换元法 8 导数与积分法 9 构造法 例3 2015课标 24 10分 选修4 5 不等式选讲设a b c d均为正数 且a b c d 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b cd得 2 2 因此 2 i 若 a b cd 由 1 得 方法3不等式的证明 ii 若 则 2 2 即a b 2 c d 2 因为a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab 是 a b c d 的充要条件 3 1 2013课标全国 24 10分 选修4 5 不等式选讲设a b c均为正数 且a b c 1 证明 1 ab bc ca 2 1 证明 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 即ab bc ca 2 因为 b 2a c 2b a 2c 故 a b c 2 a b c 即 a b c 所以 1 很多重要不等式的证明和求最值都可以由柯西不等式导出 常利用常数的巧拆 结构的巧变 巧设数组等方式利用柯西不等式 例4 2014福建 21 3 7分 已知定义在R上的函数f x x 1 x 2 的最小值为a 1 求a的值 2 若p q r是正实数 且满足p q r a 求证 p2 q2 r2 3 解析 1 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当且仅当 1 x 2时 等号成立 f x 的最小值等于3 即a 3 2 证明 由 1 知p q r 3 又因为p q r是正实数 p2 q2 r2 12 12 12 p 1 q 1 r 1 2 p q r 2 9 即p2 q2 r2 3 方法4柯西不等式的应用 4 1 2016四川成都质检 设a b m n R 且a2 b2 5 ma nb 5 则的最小值为 答案解析由柯西不等式得 a2 b2 m2 n2 ma nb 2 即5 m2 n2 25 m2 n2 5 所以的最小值为