高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 第9讲 用样本估计总体课件(理).ppt

第9讲用样本估计总体 1 用样本估计总体 通常我们对总体作出的估计一般分成两种 一种是用样本的频率分布估计总体的分布 另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征 2 统计图 1 频率分布直方图 求极差 极差是一组数据的最大值与最小值的差 决定组距和组数 当样本容量不超过100时 常分成5 12组 组距 极差组数 将数据分组 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间 最后一组取闭区间 也可以将样本数据多取一位小数分组 列频率分布表 登记频数 计算频率 列出频率分布表 将样本数据分成若干个小组 每个小组内的样本个数称作频数 频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率 频率反映各个数据在每组所占比例的大小 绘制频率分布直方图 把横轴分成若干段 每一段对应一个组距 然后以线段为底作一小长方形 它的高等于该组的 频率组距 这样得到一系列的长方形 每个长方形的面积恰好是该 组上的频率 这些矩形就构成了频率分布直方图 各个长方形的 面积总和等于 1 2 频率分布折线图和总体密度曲线 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各长方形上端 的中点 就得频率分布折线图 总体密度曲线 随着样本容量的增加 作图时所分的组数增加 组距减小 相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线 统计中称之为总体密度曲线 3 茎叶图 当样本数据较少时 用茎叶图表示数据的效果较好 它不但可以保留所有信息 而且可以随时记录 给数据的记录和表示都带来方便 3 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 众数 中位数 平均数 众数 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 中位数 将一组数据按大小依次排列 把处在 位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的 中位数 最中间 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 2 样本方差 标准差 其中xn是样本数据的第n项 n是样本容量 x是 标准差是反映总体波动大小的特征数 样本方差是标准差的平方 通常用样本方差估计总体方差 当样本容量接近总体 容量时 样本方差接近总体方差 平均数 1 2015年江苏 已知一组数据4 6 5 8 7 6 那么这组数据的 平均数为 6 2 2015年重庆 重庆市2013年各月的平均气温 单位 数据的茎叶图 如图9 9 1 如下 图9 9 1 则这组数据中的中位数是 B A 19 B 20 C 21 5 D 23 解析 由茎叶图可知总共12个数据 处在正中间的两个数是第六和第七个数 它们都是20 由中位数的定义可知 其中位数就是20 故选B 3 从某小学随机抽取100名同学 将他们的身高 单位 cm 数据绘制成频率分布直方图 如图9 9 2 由图中数据可知身高 在 120 130 内的学生人数为 C 图9 9 2 A 20 B 25 C 30 D 35 4 2013年重庆 以下茎叶图 如图9 9 3 记录了甲 乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩 单位 分 图9 9 3已知甲组数据的中位数为15 乙组数据的平均数为16 8 则x y的值分别为 A 2 5 B 5 5 C 5 8 D 8 8 解析 甲组数据按照从小到大的顺序排 最中间那个数为15 则x 5 乙组平均数为16 8 则乙组数据的总和为16 8 5 84 则y 84 9 15 18 24 10 8 答案 C 考点1 频率分布直方图的绘制及其应用 例1 2014年新课标 从某企业生产的某种产品中抽取100件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下频数分布表 1 如图9 9 4 在表格中作出这些数据的频率分布直方图 图9 9 4 2 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表 3 根据以上抽样调查数据 能否认为该企业生产的这种产品符合 质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80 的规定 解 1 频率分布直方图如图D67 图D67 2 质量指标值的样本平均数为 x 80 0 06 90 0 26 100 0 38 110 0 22 120 0 08 100 质量指标值的样本方差为 s2 20 2 0 06 10 2 0 26 0 0 38 102 0 22 202 0 08 104 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100 方差 的估计值为104 3 质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0 38 0 22 0 08 0 68 由于该估计值小于0 8 故不能认为该企业生产的这种产品符合 质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80 的规定 规律方法 用频率分布直方图解决相关问题时 应正确理解图表中各个量的意义 识图掌握信息是解决该类问题的关 键 频率分布直方图有以下几个要点 纵轴表示 频率组距 频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比 直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率 所有的小矩形的面积之和等于1 即频率之和为1 互动探究 1 2013年四川 某学校随机抽取20个班 调查各班中有网上购物经历的人数 所得数据的茎叶图如图9 9 5 以组距为5将数据分组成 0 5 5 10 30 35 35 40 时 所作的频 率分布直方图是 图9 9 5 AC BD 解析 根据题意 列频率分布表得 故选A 答案 A 2 2014年江苏 某种树木的底部周长的取值范围是 80 130 它的频率分布直方图如图9 9 6 则在抽测的60株树木中 有 株树木的底部周长小于100cm 24 图9 9 6解析 由题意知 在抽测的60株树木中 底部周长小于100cm的株数为 0 015 0 025 10 60 24 株 考点2茎叶图的应用 例2 2014年新课标 某市为了考核甲 乙两部门的工作情况 随机访问了50位市民 根据这50位市民对这两部门的评分 评分越高表明市民的评价越高 绘制茎叶图 如图 9 9 7 图9 9 7 的是66 68 故样本中位数为 1 分别估计该市的市民对甲 乙两部门评分的中位数 2 分别估计该市的市民对甲 乙两部门的评分高于90分的概率 3 根据茎叶图分析该市的市民对甲 乙两部门的评价 解 1 由所给茎叶图知 50位市民对甲部门的评分由小到大排序 排在第25 26位的是75 75 故样本中位数为75 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75 50位市民对乙部门的评分由小到大排序 排在第25 26位 66 682 67 所以该市的市民对乙 部门评分的中位数的估计值是67 0 1 0 16 2 由所给茎叶图知 50位市民对甲 乙部门的评分高于 90分的比率分别为 550 850 故该市的市民对甲 乙部门的评分高于90分的概率的估计值分别为0 1 0 16 3 由所给茎叶图知 市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差 说明该市市民对甲部门的评价较高 评价较为一致 对乙部门的评价较低 评价差别较大 注 考生利用其他统计量进行分析 结论合理的同样给分 互动探究 3 2013年新课标 为了比较两种治疗失眠症的药 分别称为A药 B药 的疗效 随机地选取20位患者服用A药 20位患者服用B药 这40位患者服用一段时间后 记录他们日平均增加的睡眠时间 单位 h 试验的观测结果如下 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间 1 分别计算两组数据的平均数 从计算结果看 哪种药的 疗效更好 2 根据两组数据完成下面茎叶图 如图9 9 8 从茎叶图看 哪种药的疗效更好 图9 9 8 解 1 设A药观测数据的平均数为x B药观测数据的平 均数为y 由观测结果可得 x 0 6 1 2 1 2 1 5 1 5 1 8 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 5 2 3 y 0 5 0 5 0 6 0 8 0 9 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 4 2 5 2 6 2 7 3 2 1 6 由以上计算结果可得x y 因此可看出A药的疗效更好 2 由观测结果可绘制茎叶图如图D68 图D68 从以上茎叶图可以看出 A药疗效的试验结果有 710 的叶集 710 的叶集中在茎 中在茎 2 3 上 而B药疗效的试验结果有 0 1 上 由此可看出A药的疗效更好 考点3用样本的数字特征估计总体的数字特征例3 2015年广东 某工厂36名工人的年龄数据如下表 1 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本 且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44 列出样本的年龄数据 2 计算 1 中样本的平均值x和方差s2 3 36名工人中年龄在x s与x s之间有多少人 所占的 百分比是多少 精确到0 01 解 1 依题所抽样本编号是一个首项为2 公差为4的等差数列 故其所有样本编号依次为2 6 10 14 18 22 26 30 34 对应样本的年龄数据依次为44 40 36 43 36 37 44 43 37 2 由 1 可得其样本的均值为 规律方法 1 众数体现了样本数据的最大集中点 但无 法客观的反映总体特征 2 中位数是样本数据所占频率的等分线 3 标准差 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 标准差 方差越大 数据越分散 标准差 方差越小 数据越集中 x 互动探究 4 2014年陕西 某公司10位员工的月工资 单位 元 为x1 x2 x10 其均值和方差分别为和s2 若从下个月起每位员工的月工资增加100元 则这10位员工下个月工资的均值和 方差分别为 答案 D 难点突破 统计图与概率的结合 在高考中常以频率分布直方图或茎叶图的形式出现 考查 统计与概率的知识 这也是近几年高考的热点 例题 2014年重庆 20名学生某次数学考试成绩 单位 分 的频数分布直方图 如图9 9 9 如下 图9 9 9 1 求频率分布直方图中a的值 2 分别求出成绩落在 50 60 与 60 70 中的学生人数 3 从成绩在 50 70 的学生中任选2人 求此2人的成绩都 在 60 70 中的概率 解 1 频率分布直方图的组距为10 2a 3a 6a 7a 2a 10 1 a 1200 0 005 2 成绩落在 50 60 的学生人数为2 0 005 10 20 2 成绩落在 60 70 的学生人数为3 0 005 10 20 3 3 记成绩落在 50 60 的学生为A1 A2 成绩落在 60 70 的学生为B1 B2 B3 从成绩在 50 70 的学生中任选2人 共有基本事件10个 即 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 B1 B2 B1 B3 B2 B3 此2人的成绩都在 60 70 中的基本事件有 B1 B2 B1 B3 B2 B3 共3个 故所求概率为p 1 用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布 难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用 在计数和计算时一定要准确 在绘制小矩形时 宽窄要一致 通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计 2 利用频率分布直方图求众数 中位数与平均数时 应注意这三者的区分 1 最高的矩形的中点即众数 2 中位数左边和右边的直方图的面积是相等的 3 平均数是频率分布直方图的 重心 等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 3 茎叶图 频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的 茎叶图由所有样本数据构成 没有损失任何样本信息 可以随时记录 而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息 必须在完成抽样后才能制作