高考数学一轮复习第十六章曲线与方程16.1曲线与方程课件.ppt

第十六章曲线与方程 16 1曲线与方程 高考数学 1 曲线的方程 与 方程的曲线 在直角坐标系中 如果某曲线C 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 2 求动点的轨迹方程的步骤 1 建系 建立适当的坐标系 知识清单 2 设点 设轨迹上的任一点P x y 3 列式 列出动点P所满足的关系式 4 化简 依关系式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为关于x y的方程 并化简 5 证明 证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程 3 求动点轨迹方程常用的方法直接法 定义法 几何法 相关点法 代入法 参数法 交轨法 后三种统称为间接法 体现了一种转化思想 若解题过程中引入了n个参数 则只需建立 n 1 个方程 在探求轨迹方程的过程中 需要注意的是轨迹方程的 完备性 和 纯粹性 因此 在求得轨迹方程之后 要深入地思考一下 是否还遗漏了一些点 是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在 在所求得的轨迹方程中 x y的取值范围是否有限制 拓展延伸1 求轨迹方程时 要注意检验曲线上的点与方程的解是否为一一对应的关系 若不是 则应对方程加上一定的限制条件 检验可以从以下两个方面进行 一是方程的化简是否为同解变形 二是是否符合题目的实际意义 2 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求 求轨迹时 应先求轨迹方程 然后根据方程说明轨迹的形状 位置 大小等 利用参数法求轨迹方程常用的方法与技巧利用参数法求轨迹方程 一是选择合适的参数 可以是单参数 也可以是双参数 二是建立参数方程后消掉参数 消参数的方法有代入消参法 加减消参法 平方消参法等 例1在平面直角坐标系中 O为坐标原点 点F T M P满足 1 0 1 t 1 当t变化时 求点P的轨迹C的方程 2 若过点F的直线交曲线C于A B两点 求证 直线TA TF TB的斜率成等差数列 方法技巧 解析 1 设点P的坐标为 x y 由 得点M是线段FT的中点 则M 2 t 1 x t y 由 得2x t 0 由 得t y 0 所以t y 由 联立消去t 得y2 4x 即点P的轨迹C的方程为y2 4x 2 证明 设直线TA TF TB的斜率分别为k1 k k2 并记A x1 y1 B x2 y2 则有k 设直线AB的方程为x my 1 由得y2 4my 4 0 故y1 y2 4m y1y2 4 所以 y1 y2 2 2y1y2 16m2 8 所以k1 k2 t 2k 所以直线TA TF TB的斜率成等差数列 轨迹方程及应用例2 2016江苏赣榆高级中学月考 如图 已知圆E x 2 y2 16 点F 0 P是圆E上任意一点 线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q 1 求动点Q的轨迹 的方程 2 已知A B C是轨迹 上的三个动点 A与B关于原点对称 且 CA CB 问 ABC的面积是否存在最小值 若存在 求出此时点C的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 连结QF Q在线段PF的垂直平分线上 所以 QP QF 所以 QE QF QE QP PE 4 又 EF 2 4 所以动点Q的轨迹是以E F为焦点 长轴长为4的椭圆 所以 y2 1 2 由题意得 OC AB 当AB的斜率为零时 AB 4 OC 1 S 2 当直线AB的斜率不存在时 AB 2 OC 2 S 2 当AB的斜率存在且不为零时 B与A关于原点对称 设AB y kx A x1 y1 CA CB C在线段AB的垂直平分线上 直线OC的方程为 y x 1 4k2 4 AB 2 OA 2 4 同理可得 OC 2 S AB CO 4 因为 当且仅当k 1时取等号 所以S 2 ABC的面积S的最小值为 此时C或