高考数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用课件文.ppt

第九节函数模型及其应用 总纲目录 教材研读 1 几种常见的函数模型 考点突破 2 三种增长型函数模型的图象与性质 3 解函数应用题的步骤 四步八字 考点二函数y ax 的模型 考点一一次函数与二次函数模型 考点三指数函数 对数函数模型 考点四分段函数 1 几种常见的函数模型 教材研读 2 三种增长型函数模型的图象与性质 3 解函数应用题的步骤 四步八字 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 1 下表是函数值y随自变量x变化的一组数据 它最可能的函数模型是 A 一次函数模型B 幂函数模型C 指数函数模型D 对数函数模型 答案A根据已知数据可知 自变量每增加1 函数值增加2 因此函数值的增量是均匀的 故为一次函数模型 A 2 某种细菌在培养过程中 每15分钟分裂一次 由一个分裂成两个 这种细菌由1个繁殖成4096个需经过 A 12小时B 4小时C 3小时D 2小时 答案C设需经过t小时 由题意知24t 4096 即16t 4096 解得t 3 C 3 2015北京西城二模 某工厂更新设备 已知在未来x年内 此设备所花费的各种费用总和y 万元 与x之间的函数关系式为y 4x2 64 若欲使此设备的年平均花费最低 则此设备的使用年限x为 A 3B 4C 5D 6 答案B设该设备的年平均花费为z万元 则z 4x 32 当且仅当4x 即x 4时 z取最小值 故选B B 4 用长度为24的材料围一矩形场地 且中间有两道隔墙 如图 要使矩形的面积最大 则隔墙的长度为 答案3 解析设隔墙的长度为x 矩形的面积为S 则S 12 2x x 2x2 12x 2 x 3 2 18 当x 3时 S取最大值 3 解析 1 由题意知最高点为 2 h 4 h 1 设抛物线方程为y a x 2 h 2 4 当h 1时 最高点为 3 4 抛物线方程为y a x 3 2 4 将A 2 3 代入 得3 a 2 3 2 4 解得a 1 所以当h 1时 跳水曲线所在的抛物线方程为y x 3 2 4 2 将点A 2 3 代入y a x 2 h 2 4 得ah2 1 由题意知方程a x 2 h 2 4 0在区间 5 6 内有一解 令f x a x 2 h 2 4 x 2 h 2 4 则f 5 3 h 2 4 0 且f 6 4 h 2 4 0 解得1 h 故所求h的取值范围是 方法技巧对于实际生活中的二次函数问题 如面积 利润 产量问题等 可根据已知条件确定二次函数模型 结合二次函数的图象 单调性 零点解决 解题时一定要注意函数的定义域 1 1 2016北京西城二模 某市家庭煤气的使用量x m3 和煤气费f x 元 满足关系f x 已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表 若四月份该家庭使用了20m3煤气 则其煤气费为 A 11 5元B 11元C 10 5元D 10元 A 解析A由题表知一月份 二月份 三月份煤气费分别为4元 14元 19元 这三个月煤气费的计算有以下2种情况 1 这三个月的煤气费均由f x C B x A x A 计算得到 故由 得B 由 得B 矛盾 故不可能为此种情况 2 一月份的煤气费由f x C 0 x A 计算得到 二月份 三月份的煤气费由f x C B x A x A 计算得到 f x 当x 20时 f 20 4 20 5 11 5 故选A 解析设该场x x N 天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少 平均每天支付的总费用为y元 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200 0 03 6 元 所以x天饲料的保管费与其他费用共是6 x 1 6 x 2 6 3x2 3x 元 从而有y 3x2 3x 300 200 1 8 3x 357 417 当且仅当 3x 即x 10时 y有最小值 故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 方法指导应用函数f x ax 模型的关键点 1 明确对勾函数是正比例函数f x ax与反比例函数f x 叠加而成的 2 解决实际问题时一般可以直接建立f x ax 的模型 有时可以将所列函数关系式转化为f x ax 的形式 3 利用模型f x ax 求解最值时 要注意自变量的取值范围 及取得最值时等号成立的条件 2 1利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间 年生产的总成本y 万元 与年产量x 吨 之间的关系可近似地表示为y 30 x 4000 则每吨的成本最低时的年产量为 A 240吨B 200吨C 180吨D 160吨 答案B依题意 得每吨的成本为 30 则 2 30 10 当且仅当 即x 200时取等号 因此 当每吨成本最低时 年产量为200吨 B 考点三指数函数 对数函数模型 典例3 1 2016北京西城期末 某食品的保鲜时间t 单位 小时 与储藏温度x 恒温 单位 满足函数关系t 且该食品在4 的保鲜时间是16小时 该食品在8 的保鲜时间是小时 已知甲在某日上午10时购买了该食品 并将其遗放在室外 且此日的室外温度随时间变化如图所示 那么到了此日13时 甲所购买的食品是否过了保鲜时间 填 是 或 否 答案 1 4 是 2 C 解析 1 食品在4 的保鲜时间是16小时 24k 6 16 解得k t 8 2 4 6 4 由题图可知在12时时 温度为12 此时该食品的保鲜时间为2 6 6 20 1小时 到13时 该食品已过保鲜时间 2 由已知得192 eb 48 e22k b e22k eb 将 代入 得e22k 则e11k 当x 33时 y e33k b e33k eb 192 24 所以该食品在33 的保鲜时间是24小时 故选C 方法技巧一般地 涉及增长率问题 存蓄利息问题 细胞分裂问题等 都可以考虑用指数函数的模型求解 求解时注意指数式与对数式的互化 指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制 3 1 2016四川 7 5分 某公司为激励创新 计划逐年加大研发资金投入 若该公司2015年全年投入研发资金130万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长12 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据 lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 A 2018年B 2019年C 2020年D 2021年 B 答案B设第n n N 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元 根据题意得130 1 12 n 1 200 则lg 130 1 12 n 1 lg200 lg130 n 1 lg1 12 lg2 2 2 lg1 3 n 1 lg1 12 lg2 2 0 11 n 1 0 05 0 30 解得n 又 n N n 5 该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年 故选B 典例4国庆期间 某旅行社组团去风景区旅游 若每团人数在30或30以下 飞机票每张收费900元 若每团人数大于30 则给予优惠 每多1人 机票每张减少10元 直到达到规定人数75为止 每团乘飞机 旅行社需付给航空公司包机费15000元 1 写出飞机票的价格关于人数的函数 2 每团人数为多少时 旅行社可获得最大利润 考点四分段函数 方法技巧 1 在很多实际问题中 变量间的关系不能用一个关系式表示 这时就需要构建分段函数模型 如出租车的收费与路程的关系 2 求函数的最值常利用基本不等式 导数 函数的单调性等 在求分段函数的最值时 应先求每一段上的最值 然后比较得最大值 最小值 解析 1 当x 1时 f 1 p 1 37 当2 x 12 且x N 时 f x p x p x 1 x x 1 39 2x x 1 x 41 2x 3x2 40 x 经验证x 1时也满足此式 所以f x 3x2 40 x x N 且1 x 12 2 由题意知第x个月的旅游消费总额为g x 即g x 当1 x 6 且x N 时