高考数学一轮复习 选考部分 第十二篇 几何证明选讲 第2节 圆与直线、圆与四边形课件 文 北师大版.ppt

第2节圆与直线 圆与四边形 1 会证明并应用圆周角定理 圆的切线判定定理与性质定理 知识链条完善把散落的知识连起来 知识梳理 1 圆周角定理 弦切角定理 1 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 2 圆周角定理的推论推论1 同弧或等弧所对的相等 在同圆或等圆中 相等的 所对的弧也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弧是 3 弦切角定理弦切角等于它所夹弧所对的 弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半 圆心角 圆周角 圆周角 直角 半圆 圆周角 2 圆内接四边形的判定定理和性质定理 互补 内对角 互补 内对角 3 圆的切线 外端 垂直于 垂直于 切点 圆心 4 直线与圆位置关系的有关定理 比例中项 积 积 切线长 基础自测 1 给出下列命题 圆心角等于圆周角的2倍 相等的圆周角所对的弧也相等 等腰梯形一定有外接圆 弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数 在圆内接四边形ABCD中 A B C D m n p q 则有m p n q 其中错误的是 A B C D 解析 错误 若弧不一样 则圆心角与圆周角的关系不确定 错误 只有在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧才相等 正确 可以推出等腰梯形的对角互补 所以有外接圆 错误 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数 所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍 正确 圆内接四边形ABCD的对角互补 B A C 4 2015高考重庆卷 如图 圆O的弦AB CD相交于点E 过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 则BE 答案 2 5 2015高考广东卷 如图 已知AB是圆O的直径 AB 4 EC是圆O的切线 切点为C BC 1 过圆心O作BC的平行线 分别交EC和AC于点D和点P 则OD 答案 8 考点专项突破在讲练中理解知识 圆周角 圆心角 弦切角和圆的切线问题 考点一 反思归纳 1 证明直线是圆的切线可运用切线的判定定理 2 涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的相互转化 利用圆周角 圆心角定理及其推论实现圆周角 圆心角及所对弧的度数之间的相互转化 四点共圆问题 考点二 例2 如图 CD为 ABC外接圆的切线 AB的延长线交直线CD于点D E F分别为弦AB与弦AC上的点 且BC AE DC AF B E F C四点共圆 1 证明 CA是 ABC外接圆的直径 2 若DB BE EA 求过B E F C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值 反思归纳圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理 使用时要注意观察图形 要弄清四边形的外角和它的内对角的位置 其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据 解题时要注意相关角的定理的灵活应用 即时训练 2015高考湖南卷 如图 在 O中 相交于点E的两弦AB CD的中点分别是M N 直线MO与直线CD相交于点F 证明 1 MEN NOM 180 2 FE FN FM FO 证明 1 因为M N分别是弦AB CD的中点 所以OM AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 因此 OME ENO 180 又四边形的内角和等于360 故 MEN NOM 180 2 由 1 知O M E N四点共圆 故由割线定理即得FE FN FM FO 与圆有关的比例线段 考点三 例3 2014高考新课标全国卷 如图 P是 O外一点 PA是切线 A为切点 割线PBC与 O相交于点B C PC 2PA D为PC的中点 AD的延长线交 O于点E 证明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 证明 2 由切割线定理得PA2 PB PC 因为PA PD DC 所以DC 2PB BD PB 由相交弦定理得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 反思归纳证明与圆有关的比例线段 常用到三角形相似 相交弦定理 割线定理以及切割线定理等 同时要注意圆的有关性质 直角三角形中的射影定理 角平分线的性质的灵活运用 即时训练 2016贵阳一测 AB是 O的一条切线 切点为B 过 O外一点C作直线CE交 O于G E 连接AE交 O于D 连接CD交 O于F 连接AC FG 已知AC AB 1 证明 AD AE AC2 2 证明 FG AC 证明 1 因为AB是 O的一条切线 AE为割线 所以AB2 AD AE 又因为AB AC 所以AC2 AD AE 备选例题 例1 2016赤峰模拟 如图所示 圆O的直径为BD 过圆上一点A作圆O的切线AE 过点D作DE AE于点E 延长ED与圆O交于点C 1 证明 DA平分 BDE 1 证明 因为AE是 O的切线 所以 DAE ABD 因为BD是 O的直径 所以 BAD 90 所以 ABD ADB 90 又 ADE DAE 90 所以 ADB ADE 所以DA平分 BDE 2 若AB 4 AE 2 求CD的长 2 求证 BF FG 例3 2016乌鲁木齐一诊 过以AB为直径的圆上C点作直线交圆于E点 交AB延长线于D点 过C点作圆的切线交AD于F点 交AE延长线于G点 且GA GF 1 求证CA CD 证明 1 因为GF是圆的切线 所以 GCE GAC 又因为 GCE DCF 所以 DCF GAC 因为GA GF 所以 GAF AFG 又 GAF GAC CAF AFG D DCF 所以 CAF D 所以CA CD 2 设H为AD的中点 求证BH BA BF BD 解题规范夯实把经典问题的解决程序化 与圆有关的比例线段 典例 2016保定一模 如图所示 已知 O1与 O2相交于A B两点 过点A作 O1的切线交 O2于点C 过点B作两圆的割线 分别交 O1 O2于点D E DE与AC相交于点P 1 求证 AD EC 2 若AD是 O2的切线 且PA 6 PC 2 BD 9 求AD的长 满分展示 1 证明 连接AB 1分因为AC是 O1的切线 所以 BAC D 3分又因为 BAC E 所以 D E 所以AD EC 5分 2 解 因为PA是 O1的切线 PD是 O1的割线 所以PA2 PB PD 所以62 PB PB 9 所以PB 3 7分在 O2中 由相交弦定理得PA PC BP PE 所以PE 4 8分因为AD是 O2的切线 DE是 O2的割线 所以AD2 DB DE 9 16 所以AD 12 10分 答题模板 第一步 作辅助线 连接AB 第二步 由弦切角定理得 BAC D 第三步 由圆周角定理得 BAC E 第四步 等量代换得 D E 从而证出AD EC 第五步 由切割线定理求出PB的长 第六步 由相交弦定理求出PE的长 第七步 再由切割线定理求出AD的长