高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法课件 理.ppt

第十三章推理与证明 算法 复数 13 3数学归纳法 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 答题模板系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 数学归纳法一般地 对于某些与正整数有关的数学命题 有数学归纳法公理 1 如果当n取 例如n0 1 2等 时结论正确 2 假设当n k k N 且k n0 时结论正确 证明当时命题也正确 那么 命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 n k 1 知识梳理 1 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 6 用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时 n0 3 思考辨析 答案 1 a a2 考点自测 2 1 2 3 4 5 答案 解析凸n边形边数最小时是三角形 故第一步检验n 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案 解析答案 1 2 3 4 5 3 4 5 n 1 1 2 3 4 5 答案 返回 题型分类深度剖析 例1用数学归纳法证明 题型一用数学归纳法证明等式 解析答案 思维升华 证明 1 当n 1时 左边 右边 所以等式成立 2 假设n k k N 时等式成立 即有 解析答案 思维升华 则当n k 1时 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对于一切n N 等式恒成立 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 1 明确初始值n0的取值并验证n n0时等式成立 2 由n k证明n k 1时 弄清左边增加的项 且明确变形目标 3 掌握恒等变形常用的方法 因式分解 添拆项 配方法 思维升华 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n N 证明 1 当n 1时 等式左边 2 右边 2 故等式成立 2 假设当n k k N 时等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 那么当n k 1时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 所以当n k 1时等式也成立 由 1 2 可知 对所有n N 等式成立 跟踪训练1 解析答案 1 求a的值 题型二用数学归纳法证明不等式 解析答案 所以a2 1 又因为a2 1 所以a 1 解析答案 思维升华 证明用数学归纳法证明 故n 2时 原不等式也成立 解析答案 思维升华 所以当n k 1时 原不等式也成立 思维升华 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 在归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 思维升华 2014 陕西 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n N 求gn x 的表达式 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 3 设n N 比较g 1 g 2 g n 与n f n 的大小 并加以证明 跟踪训练2 解析答案 下面用数学归纳法证明 解析答案 那么 当n k 1时 gk 1 x g gk x 由 可知 结论对n N 成立 解析答案 当a 1时 x 0 仅当x 0 a 1时等号成立 x 在 0 上单调递增 又 0 0 x 0在 0 上恒成立 解析答案 当a 1时 对x 0 a 1 有 x 0 x 在 0 a 1 上单调递减 a 1 1时 存在x 0 使 x 0 综上可知 a的取值范围是 1 n f n n ln n 1 解析答案 比较结果为g 1 g 2 g n n ln n 1 下面用数学归纳法证明 解析答案 由 可知 结论对n N 成立 命题点1与函数关系式有关的证明 题型三归纳 猜想 证明 解析答案 由x2 x4 x6猜想 数列 x2n 是递减数列 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 已证命题成立 2 假设当n k时命题成立 即x2k x2k 2 易知xk 0 那么 解析答案 即x2 k 1 x2 k 1 2 所以当n k 1时命题也成立 结合 1 2 知 对于任何n N 命题成立 命题点2与数列通项公式 前n项和公式有关的证明 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通项公式 解析答案 2 证明通项公式的正确性 证明 由 1 知 当n 1 2 3时 通项公式成立 假设当n k k 3 k N 时 通项公式成立 即当n k 1时 通项公式也成立 解析答案 命题点3存在性问题的证明 1 若b 1 求a2 a3及数列 an 的通项公式 解析答案 再由题设条件知 an 1 1 2 an 1 2 1 从而数列 an 1 2 是首项为0 公差为1的等差数列 下面用数学归纳法证明上式 当n 1时结论显然成立 解析答案 所以当n k 1时结论成立 2 若b 1 问 是否存在实数c使得a2n c a2n 1对所有n N 成立 证明你的结论 解析答案 思维升华 下面用数学归纳法证明加强命题 a2n c a2n 1 1 假设n k时结论成立 即a2kf a2k 1 f 1 a2 即1 c a2k 2 a2 解析答案 思维升华 再由f x 在 1 上为减函数 得c f c f a2k 2 f a2 a3 1 故c a2k 3 1 因此a2 k 1 c a2 k 1 1 1 这就是说 当n k 1时结论成立 先证 0 an 1 n N 当n 1时 结论显然成立 假设n k时结论成立 即0 ak 1 易知f x 在 1 上为减函数 解析答案 思维升华 这就是说 当n k 1时结论成立 故 成立 再证 a2n a2n 1 n N 有a2f a2k 1 a2k 2 a2 k 1 f a2k 1 f a2k 2 a2 k 1 1 解析答案 思维升华 这就是说 当n k 1时 成立 所以 对一切n N 成立 又由 及f x 在 1 上为减函数 得f a2n f a2n 1 即a2n 1 a2n 2 思维升华 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 思维升华 1 2015 江苏 已知集合X 1 2 3 Yn 1 2 3 n n N 设Sn a b a整除b或b整除a a X b Yn 令f n 表示集合Sn所含元素的个数 写出f 6 的值 解Y6 1 2 3 4 5 6 S6中的元素 a b 满足 若a 1 则b 1 2 3 4 5 6 若a 2 则b 1 2 4 6 若a 3 则b 1 3 6 所以f 6 13 跟踪训练3 解析答案 当n 6时 写出f n 的表达式 并用数学归纳法证明 解析答案 解当n 6时 解析答案 下面用数学归纳法证明 假设n k k 6 时结论成立 那么n k 1时 Sk 1在Sk的基础上新增加的元素在 1 k 1 2 k 1 3 k 1 中产生 分以下情形讨论 1 若k 1 6t 则k 6 t 1 5 此时有 解析答案 2 若k 1 6t 1 则k 6t 此时有 3 若k 1 6t 2 则k 6t 1 此时有 解析答案 4 若k 1 6t 3 则k 6t 2 此时有 5 若k 1 6t 4 则k 6t 3 此时有 解析答案 6 若k 1 6t 5 则k 6t 4 此时有 综上所述 结论对满足n 6的自然数n均成立 2 设数列 an 的前n项和为Sn 且方程x2 anx an 0有一根为Sn 1 n N 求a1 a2 解当n 1时 方程x2 a1x a1 0有一根为S1 1 a1 1 解析答案 猜想数列 Sn 的通项公式 并给出证明 解析答案 返回 解由题意知 Sn 1 2 an Sn 1 an 0 当n 2时 an Sn Sn 1 代入上式整理得 下面用数学归纳法证明这个结论 解析答案 1 当n 1时 结论成立 即当n k 1时结论成立 返回 答题模板系列 典例 14分 数列 an 满足Sn 2n an n N 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 证明 1 中的猜想 思维点拨 1 由S1 a1算出a1 由an Sn Sn 1算出a2 a3 a4 观察所得数值的特征猜出通项公式 2 用数学归纳法证明 答题模板系列 9 归纳 猜想 证明问题 解析答案 思维点拨 温馨提醒 返回 答题模板 规范解答 1 解当n 1时 a1 S1 2 a1 a1 1 当n 4时 a1 a2 a3 a4 S4 2 4 a4 解析答案 温馨提醒 答题模板 2 证明 当n 1时 a1 1 结论成立 6分 假设n k k 1且k N 时 结论成立 那么n k 1时 ak 1 Sk 1 Sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 2ak 1 2 ak 10分 解析答案 温馨提醒 答题模板 当n k 1时 结论成立 13分 答题模板 温馨提醒 答题模板 归纳 猜想 证明问题的一般步骤第一步 计算数列前几项或特殊情况 观察规律猜测数列的通项或一般结论 第二步 验证一般结论对第一个值n0 n0 N 成立 第三步 假设n k k n0 时结论成立 证明当n k 1时结论也成立 第四步 下结论 由上可知结论对任意n n0 n N 成立 解决数学归纳法中 归纳 猜想 证明 问题及不等式证明时 还有以下几点容易造成失分 在备考时要高度关注 1 归纳整理不到位得不出正确结果 从而给猜想造成困难 2 证明n k到n k 1这一步时 忽略了假设条件去证明 造成使用的不是纯正的数学归纳法 3 不等式证明过程中 不能正确合理地运用分析法 综合法来求证 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧 只有这样 才能快速正确地解决问题 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 数学归纳法的两个步骤相互依存 缺一不可有一无二 是不完全归纳法 结论不一定可靠 有二无一 第二步就失去了递推的基础 2 归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时 对于归纳假设要注意以下两点 1 归纳假设就是已知条件 2 在推证n k 1时 必须用上归纳假设 3 利用归纳假设的技巧在推证n k 1时 可以通过凑 拆 配项等方法用上归纳假设 此时既要看准目标 又要掌握n k与n k 1之间的关系 在推证时 分析法 综合法 反证法等方法都可以应用 方法与技巧 1 数学归纳法证题时初始值n0不一定是1 2 推证n k 1时一定要用上n k时的假设 否则不是数学归纳法 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 用数学归纳法证明2n 2n 1 n的第一个取值应是 解析 n 1时 21 2 2 1 1 3 2n 2n 1不成立 n 2时 22 4 2 2 1 5 2n 2n 1不成立 n 3时 23 8 2 3 1 7 2n 2n 1成立 n的第一个取值应是3 3 解析答案 代入验证可知n的最小值是8 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 3 数列 an 中 已知a1 1 当n 2时 an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜想an的表达式是 解析计算出a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 可猜an n2 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当n k 1时 不等式成立 则上述证法 填序号 过程全部正确 n 1验得不正确 归纳假设不正确 从n k到n k 1的推理不正确 解析在n k 1时 没有应用n k时的假设 不是数学归纳法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 5 利用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 时 从 n k 变到 n k 1 时 左边应增乘的因式是 解析当n k k N 时 左式为 k 1 k 2 k k 当n k 1时 左式为 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 2 2k 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 6 设数列 an 的前n项和为Sn 且对任意的自然数n都有 Sn 1 2 anSn 通过计算S1 S2 S3 猜想Sn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 左边增加了2k项 2k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 求过点P1 P2的直线l的方程 解由题意得a1 1 b1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 2 试用数学归纳法证明 对于n N 点Pn都在 1 中的直线l上 证明 当n 1时 2a1 b1 2 1 1 1成立 假设n k k N 时 2ak bk 1成立 当n k 1时 2ak 1 bk 1 1也成立 由 知 对于n N 都有2an bn 1 即点Pn都在直线l上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 10 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足 当f k k2成立时 总可推出f k 1 k 1 2成立 那么 下列命题总成立的是 若f 1 1成立 则f 10 100成立 若f 2 4成立 则f 1 1成立 若f 3 9成立 则当k 1时 均有f k k2成立 若f 4 16成立 则当k 4时 均有f k k2成立 解析 f k k2成立时 f k 1 k 1 2成立 f 4 16时 有f 5 52 f 6 62 f k k2成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 11 设平面上n个圆周最多把平面分成f n 片 平面区域 则f 2 f n n 1 n N 解析易知2个圆周最多把平面分成4片 n个圆周最多把平面分成f n 片 再放入第n 1个圆周 为使得到尽可能多的平面区域 第n 1个应与前面n个都相交且交点均不同 有n条公共弦 其端点把第n 1个圆周分成2n段 每段都把已知的某一片划分成2片 即f n 1 f n 2n n 1 所以f n f 1 n n 1 而f 1 2 从而f n n2 n 2 4 n2 n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 12 设平面内有n条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若用f n 表示这n条直线交点的个数 则f 4 当n 4时 f n 用n表示 解析f 3 2 f 4 f 3 3 2 3 5 f n f 3 3 4 n 1 2 3 4 n 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 当n 1 2 3时 试比较f n 与g n 的大小 解当n 1时 f 1 1 g 1 1 所以f 1 g 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 2 猜想f n 与g n 的大小关系 并给出证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 解由 1 猜想f n g n 下面用数学归纳法给出证明 当n 1 2 3时 不等式显然成立 假设当n k k 3 k N 时不等式成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由 可知 对一切n N 都有f n g n 成立 1 求b1 b2 b3 b4 解经过计算可知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 2 求数列 bn 的通项公式 解由条件可知 an 1an 2 k anan 1 类似地有 an 2an 1 k an 1an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 3 是否存在正数k 使得数列 an 的每一项均为整数 如果不存在 说明理由 如果存在 求出所有的k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 返回 解假设存在正数k 使得数列 an 的每一项均为整数 则由 2 可知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 结合 式 反复递推 可知 an 的每一项均为整数 解析答案 我们用数学归纳法证明a2n 1为偶数 a2n为整数 n 1时 结论显然成立 假设n k时结论成立 这时a2k 1为偶数 a2k为整数 故a2k 1 2a2k a2k 1为偶数 a2k 2为整数 所以n k 1时 命题成立 故数列 an 是整数列 综上所述 k的取值集合是 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回