高考数学一轮复习 第八章 第7课时 空间向量的应用（一）平行与垂直课件 理.ppt

第八章立体几何 1 能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直 2 理解直线的方向向量与平面的法向量 3 能用向量方法解决线面 面面的垂直与平行问题 体会向量方法在立体几何中的作用 请注意本节知识是高考中的重点考查内容 着重考查线线 线面 面面的平行与垂直 考查以选择题 填空题形式 出现时灵活多变 以解答题出现时 往往综合性较强属于中档题 1 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量 或共线 的向量 显然一条直线的方向向量可以有个 平行 无数多 2 平面的法向量 1 所谓平面的法向量 就是指所在的直线与平面垂直的向量 显然一个平面的法向量也有 它们是 向量 2 在空间中 给定一个点A和一个向量a 那么以向量a为法向量且经过点A的平面是确定的 无数多个 共线 唯一 3 直线方向向量与平面法向量在确定直线 平面位置关系中的应用直线l1的方向向量u1 a1 b1 c1 直线l2的方向向量为u2 a2 b2 c2 如果l1 l2 那么u1 u2 如果l1 l2 那么u1 u2 直线l的方向向量为u a1 b1 c1 平面 的法向量为n a2 b2 c2 若l 则u n u n 0 若l 则u n u kn a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1a2 b1b2 c1c2 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 平面 1的法向量为u1 a1 b1 c1 平面 2的法向量为u2 a2 b2 c2 若 1 2 则u1 u2 u1 ku2 若 1 2 则u1 u2 u1 u2 0 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 a1a2 b1b2 c1c2 0 1 已知a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 则下列结论正确的是 A a c b cB a b a cC a c a bD 以上都不对答案C 2 若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1 1 0 1 v2 2 0 2 则l1与l2的位置关系是 A 平行B 相交C 垂直D 不确定答案A解析v2 2v1 l1 l2 3 若平面 垂直 则下面可以作为这两个平面的法向量的是 A n1 1 2 1 n2 3 1 1 B n1 1 1 2 n2 2 1 1 C n1 1 1 1 n2 1 2 1 D n1 1 2 1 n2 0 2 2 答案A 4 已知平面 内有一个点M 1 1 2 平面 的一个法向量是n 6 3 6 则下列点P在平面 内的是 A P 2 3 3 B P 2 0 1 C P 4 4 0 D P 3 3 4 答案A 答案C 6 若平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 A B C 相交但不垂直D 以上均不正确答案C 例1 1 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 4 AD 3 AA1 2 P Q R S分别是AA1 D1C1 AB CC1的中点 证明 PQ RS 题型一证明平行关系 2 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD 且PD DC E是PC的中点 求证 PA 平面EBD 3 在正方体AC1中 M N E F分别是A1B1 A1D1 B1C1 C1D1的中点 求证 平面AMN 平面EFDB 答案 1 略 2 略 3 略 探究1 1 证明线线平行是证明线面平行和面面平行的基础 要证线线平行 只需证明相应的向量共线即可 2 解决此类问题的依据还是要根据线面平行的判定定理 可证直线方向向量与面内一向量平行 也可证直线方向向量与平面法向量垂直 3 证明面面平行时 可以通过面面平行的判定定理 也可以用两个平面的法向量互相平行来证 1 如图所示 在长方体OAEB O1A1E1B1中 OA 3 OB 4 OO1 2 点P在棱AA1上 且AP 2PA1 点S在棱BB1上 且SB1 2BS 点Q R分别是O1B1 AE的中点 求证 PQ RS 思考题1 2 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面A1BD 答案 1 略 2 略 例2 1 已知空间四边形OABC中 M为BC中点 N为AC中点 P为OA中点 Q为OB中点 若AB OC 求证 PM QN 题型二证明垂直关系 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 BD1 平面ACB1 3 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD的中点 求证 平面DEA 平面A1FD1 答案 1 略 2 略 3 略 探究2 1 要证明两线垂直 需转化为两线对应的向量垂直 进一步转化为证明两向量的数量积为零 这是证明两线垂直的基本方法 线线垂直是证明线面垂直 面面垂直的基础 2 证明线面垂直 可利用判定定理 如本题解法 也可证明此直线与平面的法向量共线 3 用向量证明两个平面垂直 关键是求出两个平面的法向量 把证明面面垂直转化为法向量垂直 如图所示 已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形 ABC BCD 90 AB BC PB PC 2CD 侧面PBC 底面ABCD 1 求证 PA BD 2 求证 平面PAD 平面PAB 思考题2 思路 空间中各元素的位置关系和数量关系其核心是线与线的关系 线与线的关系完全可以用数量关系来表示 从而为向量在立体几何中的应用奠定了坚实的基础 考虑到面PBC 面ABCD及PC PB 故可取BC的中点O为原点 OP为z轴 OB为x轴 答案 1 略 2 略 题型三探究性问题 探究3 1 证明线面平行须证明线线平行 只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行 可用传统法也可用向量法 用向量法更为普遍 2 证明线面垂直的方法 可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明 也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明 3 证明面面垂直通常转化为证线面垂直 也可用两平面的法向量垂直来证明 2015 衡水调研卷 如图所示 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 A1D 平面ABCD 底面ABCD是边长为1的正方形 侧棱A1A 2 1 证明 AC A1B 思考题3 答案 1 略 2 点P不存在 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 通过向量运算 研究点 线 面之间的位置关系 根据运算结果的几何意义来解释相关问题