高考数学一轮复习 第五章 数列课件 湘教版.ppt

第五章数列 5 1数列的概念与简单表示5 2等差数列及其前n项和5 3等比数列及其前n项和5 4数列求和5 5数列模型的应用5 6数列综合性问题 5 1数列的概念与简单表示 1 数列的概念按照排列着的一列数称为数列 一般用表示 一定顺序 2 数列的分类 有限 无限 正整数集N 或N 的有限子集 1 2 3 n 函数值 解析法 图象法 列表法 序号n 由数列前几项求数列通项 1 由所给数列的前几项求其通项公式时 需仔细观察分析 抓住以下几方面的特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相邻项的变化特征 3 拆项后的特征 4 各项符号特征等 并对此进行归纳 联想 2 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法 它蕴含着 从特殊到一般 的思想 由不完全归纳得出的结果是不可靠的 要注意代值检验 对于正负符号变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 3 观察 分析问题的特点是最重要的 观察要有目的 观察出项与项数之间的关系 规律 利用我们熟知的一些基本数列 如自然数列 奇偶数列等 转换而使问题得到解决 由递推公式求数列通项公式 变式训练 2 已知下面数列 an 的递推关系和前n项和Sn 求 an 的通项公式 1 Sn 3n b 2 a1 1 an 1 3an 2 求an 解析 1 a1 S1 3 b 当n 2时 an Sn Sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合此等式 当b 1时 a1不适合此等式 当b 1时 an 2 3n 1 当b 1时 an 3 b n 1 2 3n 1 n 2 数列的性质研究 1 数列的概念及简单表示数列中的数是有序的 要注意辨析数列的项和数集中元素的异同 数列的简单表示要类比函数的表示方法来理解 数列 an 可以看成是以正整数集N 或N 的有限子集 1 2 3 n 为定义域的函数an f n 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 2 由数列的前几项归纳出其通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时 需仔细观察分析 抓住其几方面的特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相邻项的变化特征 3 拆项后的特征 4 各项符号特征和绝对值特征 并对此进行归纳 化归 联想 通过对近三年高考试题的统计分析可以看出 本节主要考查数列的项 项数 求通项公式 an与Sn的关系 由数列的递推关系求通项时 通常将其变形成等差数列 等比数列或与函数的周期性等有关的问题 2013 全国新课标 卷 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知S10 0 S15 25 则nSn的最小值为 规范解答 由题意及等差数列的性质 知a1 a10 0 a1 a15 两式相减 得a15 a10 5d 所以d a1 3 所以nSn n na1 d 令f x x 0 则f x x 3x 20 由函数的单调性 可知函数f x 在x 时取得最小值 检验n 6时 6S6 48 而n 7时 7S7 49 故nSn的最小值为 49 阅后报告 本题求出的nSn的表达式可以看作是一个定义在正整数集N 上的三次函数 因此可以采用导数法求解 3 2014 全国新课标 卷 数列 an 满足an 1 a8 2 则a1 解析 由题易知a8 2 得a7 a7 得a6 1 a6 1 得a5 2 于是可知数列 an 具有周期性 且周期为3 所以a1 a7 答案 课时作业 5 2等差数列及其前n项和 2 同一个常数 公差 A 2 在等差数列 an 中 已知a4 7 a3 a6 16 an 31 则n为 A 13B 14C 15D 16 解析 由已知可得a4 a5 7 a5 a3 a6 16 得a5 16 7 9 故公差d a5 a4 9 7 2 同时解得a1 1 由1 n 1 2 31 解得n 16 答案 D 3 2014 荆州高三调研 公差不为零的等差数列 an 的前n项和为Sn 若a4是a3与a7的等比中项 且S10 60 则S20 A 80B 160C 320D 640 4 2014 武汉高三联考 已知数列 an 是等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 an 的前n项和为Sn 则使得Sn达到最大的n是 解析 a1 a3 a5 105 a3 35 a2 a4 a6 99 a4 33 则 an 的公差d 33 35 2 a1 a3 2d 39 Sn n2 40n 因此当Sn取得最大值时 n 20 答案 20 等差数列的判断与证明 等差数列的基本运算 等差数列的性质及应用 变式训练 3 在数列 an 中 a1 1 3anan 1 an an 1 0 n 2 1 证明数列是等差数列 2 求数列 an 的通项 3 若 an 对任意n 2的整数恒成立 求实数 的取值范围 解析 1 证明 将3anan 1 an an 1 0 n 2 整理得 3 n 2 所以数列为以1为首项 3为公差的等差数列 2 由 1 可得 1 3 n 1 3n 2 所以an 13n 2 3 若 an 对n 2的整数恒成立 即 3n 2 3n 1 对n 2的整数恒成立 整理得 3n 1 3n 2 3 n 1 规范解答 1 由题意得 a1 5a3 2a2 2 2 由a1 10 an 为公差为d的等差数列得 d2 3d 4 0 解得d 1或d 4 所以an n 11 n N 或an 4n 6 n N 2 设数列 an 的前n项和为Sn 因为d 0 由 1 得d 1 an n 11 所以当n 11时 a1 a2 a3 an Sn n2 n 当n 12时 a1 a2 a3 an Sn 2S11 n2 n 110 综上所述 a1 a2 a3 an n2 n n 11 n2 n 110 n 12 阅后报告 1 不能盲目认为 a1 a2 an 是等差数列 要分段研究 2 当n 11时 是求Sn 而不是求S11 3 讨论n 11和n 12后 要有总结结论 1 2014 辽宁卷 设等差数列 an 的公差为d 若数列 为递减数列 则 A d 0B d 0C a1d 0D a1d 0 解析 令bn 2a1an 因为数列 为递减数列 所以 1 所以a1d 0 答案 D 2 2014 北京卷 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a100 a7 a10 a8 a90 a9 0 n 8时 数列 an 的前n项和最大 答案 8 3 2014 湖北卷 已知等差数列 an 满足 a1 2 且a1 a2 a5成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 记Sn为数列 an 的前n项和 是否存在正整数n 使得Sn 60n 800 若存在 求n的最小值 若不存在 说明理由 解析 1 设数列 an 的公差为d 依题意得 2 2 d 2 4d成等比数列 故有 2 d 2 2 2 4d 化简得d2 4d 0 解得d 0或d 4 当d 0时 an 2 当d 4时 an 2 n 1 4 4n 2 从而得数列 an 的通项公式为an 2或an 4n 2 课时作业 5 3等比数列及其前n项和 第2项 前一项 同一个 公比 q 等比数列 ab 等比 3 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S6 S3 1 2 则S9 S3 A 1 2B 2 3C 3 4D 1 3 解析 由等比数列的性质知S3 S6 S3 S9 S6仍成等比数列 于是 S6 S3 2 S3 S9 S6 将S6 1 2S3代入得S9 S3 3 4 答案 C 等比数列的判定与证明 3 假设存在 则m n 2s am 1 an 1 as 1 2 因为an 所以化简 得3m 3n 2 3s 因为3m 3n 2 3s 当且仅当m n时等号成立 又m s n互不相等 所以3m 3n 2 3s不成立 所以不存在满足条件的m n s 等比数列的基本运算 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 所求问题可迎刃而解 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式 并灵活运用 在运算过程中 还应善于运用整体代换思想简化运算过程 变式训练 2 已知首项为的等比数列 an 不是递减数列 其前n项和为Sn n N 且S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设Tn Sn n N 求数列 Tn 的最大项的值与最小项的值 解析 1 设等比数列 an 的公比为q 因为S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即4a5 a3 于是q2 a5a3 又 an 不是递减数列且a1 所以q 故等比数列 an 的通项公式为an n 1 1 n 1 2 由 1 得Sn 1 1 n为奇数 1 n为偶数 当n为奇数时 Sn随n的增大而减小 所以1Sn S2 综上 对于n N 总有 Sn 所以数列 Tn 最大项的值为 最小项的值为 2013 湖北卷 已知等比数列 an 满足 a2 a3 10 a1a2a3 125 1 求数列 an 的通项公式 2 是否存在正整数m 使得 1 若存在 求m的最小值 若不存在 说明理由 规范解答 1 设等比数列 an 的公比为q 则由已知可得a31q3 125 解得a1 a1q a1q2 10 q 3或a1 5 q 1 故an 3n 1或an 5 1 n 1 2 若an 3n 1 则 则是首项为 公比为的等比数列 从而 1 若an 5 1 n 1 则 1 n 1 故1an是首项为 15 公比为 1的等比数列 从而 n 2k 1 k N 0 n 2k k N 故 1 综上 对任何正整数m 总有 1 故不存在正整数m 使得 1成立 阅后报告 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题 解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用 尤其需要注意的是 在使用等比数列的前n项和公式时 应该要分类讨论 有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程 3 2014 全国新课标 卷 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 1 1 证明是等比数列 并求 an 的通项公式 2 证明 解析 1 由an 1 3an 1得an 1 3 an 又a1 所以an 是首项为 公比为3的等比数列 所以an 因此数列 an 的通项公式为an 2 证明 由 1 知 因为当n 1时 3n 1 2 3n 1 所以 即 于是 1 13n 32 所以 课时作业 5 4数列求和 解析 f x mxm 1 a 2x 1 m 2 a 1 f x x2 x f n n2 n Sn 答案 分组转化求和 2014 湖州质检 在等比数列 an 中 已知a1 3 公比q 1 等差数列 bn 满足b1 a1 b4 a2 b13 a3 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记cn 1 nbn an 求数列 cn 的前n项和Sn 解析 1 设等比数列 an 的公比为q 等差数列 bn 的公差为d 由已知 得a2 3q a3 3q2 b1 3 b4 3 3d b13 3 12d 故3q 3 3d q 1 d 3q2 3 12dq2 1 4dq 3或1 舍去 所以d 2 所以an 3n bn 2n 1 2 由题意 得cn 1 nbn an 1 n 2n 1 3n Sn c1 c2 cn 3 5 7 9 1 n 1 2n 1 1 n 2n 1 3 32 3n 当n为偶数时 Sn n 当n为奇数时 Sn n 1 2n 1 所以Sn n为偶数 n为奇数 错位相减法求和 2014 武汉高三调研 已知正项数列 an 其前n项和Sn满足6Sn a2n 3an 2 且a1 a2 a6是等比数列 bn 的前三项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记Tn a1bn a2bn 1 anb1 n N 证明 3Tn 1 2bn 1 an 1 n N 裂项相消法求和 阅后报告 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘以等比数列 bn 的公比 然后作差求解 2 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 Sn qSn 的表达式 1 2013 全国新课标 卷 设首项为1 公比为的等比数列 an 的前n项和为Sn 则 A Sn 2an 1B Sn 3an 2C Sn 4 3anD Sn 3 2an 2 2013 辽宁卷 已知等比数列 an 是递增数列 Sn是 an 的前n项和 若a1 a3是方程x2 5x 4 0的两个根 则S6 解析 因为a1 a3是方程x2 5x 4 0的两个根 且数列 an 是递增的等比数列 所以a1 1 a3 4 q 2 所以S6 1 26 1 2 63 答案 63 解析 1 因为S1 a1 S2 2a1 2 2a1 2 S4 4a1 2 4a1 12 由题意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得a1 1 所以an 2n 1 2 由题意可知 bn 1 n 1 1 n 1 1 n 1 当n为偶数时 Tn 1 1 当n为奇数时 Tn 1 1 所以Tn n为奇数 n为偶数 或Tn 课时作业 5 5数列模型的应用 1 数列在实际生活中有着广泛的应用 其解题的基本步骤 可用图表示如下 2 气象学院用3 2万元买了一台天文观测仪 已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用 第n天的维修保养费为元 n N 使用它直至报废最合算 所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少 为止 一共使用了 A 600天B 800天C 1000天D 1200天 解析 由第n天的维修保养费为元 n N 可知每天的维修保养费构成以 5为首项 为公差的等差数列 设一共使用了n天 则使用n天的平均耗资为当且仅当时取得最小值 此时n 800 答案 B 4 2014 成都一模 现有一根n节的竹竿 自上而下每节的长度依次构成等差数列 最上面一节长为10cm 最下面的三节长度之和为114cm 第6节的长度是首节与末节长度的等比中项 则n 解析 设每节竹竿的长度对应的数列为 an 公差为d d 0 由题意知a1 10 an an 1 an 2 114 a26 a1an 由an an 1 an 2 114 得3an 1 114 解得an 1 38 a1 5d 2 a1 an 1 d 即 10 5d 2 10 38 d 解得d 2 所以an 1 a1 n 2 d 38 即10 2 n 2 38 解得n 16 答案 16 等差数列模型的应用 解等差数列应用题 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差数列问题 使关系明朗化 标准化 然后用等差数列知识求解 这其中体现了把实际问题数学化的能力 也就是所谓的数学建模能力 祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来 在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园 台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 绿色通道 的申请 受理 审批一站式服务 某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂 第一年各种经费12万美元 以后每年增加4万美元 每年销售蔬菜收入50万美元 设f n 表示前n年的纯收入 f n 前n年的总收入 前n年的总支出 投资额 1 从第几年开始该台商获利 2 若干年后 该台商为开发新项目 有两种处理方案 年平均利润最大时以48万美元出售该厂 纯利润总和最大时 以16万美元出售该厂 问哪种方案最合算 解析 由题意知 每年的经费是以12为首项 4为公差的等差数列 则f n 50n 72 2n2 40n 72 1 获取纯利润就是要求f n 0 故有 2n2 40n 72 0 解得2 n 18 又n N 可知从第三年开始获利 2 平均利润为 40 16 当且仅当n 6时取等号 故此方案获利 2 62 40 6 72 48 144 万美元 此时n 6 f n 2n2 40n 72 2 n 10 2 128 当n 10时 f n max 128 故此方案共获利128 16 144 万美元 比较两种方案 第 种方案只需6年 第 种方案需要10年 故选择第 种方案更合算 等比数列模型的应用 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍 并且每年年底固定给股东们分红500万元 该企业2011年年底分红后的资金为1000万元 1 求该企业2015年年底分红后的资金 2 求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元 解析 设an为 2011 n 年年底分红后的资金 其中n N 则a1 2 1000 500 1500 a2 2 1500 500 2500 an 2an 1 500 n 2 an 500 2 an 1 500 n 2 即数列 an 500 是首项为a1 500 1000 公比为2的等比数列 an 500 1000 2n 1 an 1000 2n 1 500 1 a4 1000 24 1 500 8500 该企业2015年年底分红后的资金为8500万元 2 由an 32500 即2n 1 32 得n 6 该企业从2018年开始年底分红后的资金超过32500万元 递推数列模型的应用 某企业为加大对新产品的推销力度 决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传 以增加新产品的销售收入 已知今年的销售收入为250万元 经市场调查 预测第n年与第n 1年销售收入an与an 1 单位 万元 满足关系式 an an 1 100 1 设今年为第1年 求第n年的销售收入an 2 依上述预测 该企业前几年的销售收入总和Sn最大 解析 1 由题意可知an an 1 100 n 2 an 1 an 2 100 a3 a2 100 a2 a1 100 a1 250 以上各式相加得 an 500 100 n 1 500 100 n 1 500 100 n 1 2 要求销售收入总和Sn的最大值 即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和 an 500 100 n 1 要使an 0 即500 100 n 1 0 也就是 1 令bn 则bn bn 1 显然 当n 3时 bn bn 1 而b51 a5 0 a6 0 该企业前5年的销售收入总和最大 2012 湖南卷 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金2000万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了50 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 1 用d表示a1 a2 并写出an 1与an的关系式 2 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为4000万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 阅后报告 用数列知识解相关的实际问题 关键是列出相关信息 合理建立数学模型 数列模型 判断是等差数列还是等比数列模型 求解时 要明确目标 即搞清是求和 求通项 还是解递推关系问题 所求结论对应的是解方程问题 解不等式问题 还是最值问题 然后经过数学推理与计算得出的结果 放回到实际问题中进行检验 最终得出结论 课时作业 5 6数列综合性问题 1 2014 济南模拟 数列 an 中 an 1 1 nan 2n 1 则数列 an 的前12项和等于 A 76B 78C 80D 82 解析 由已知an 1 1 nan 2n 1 得an 2 1 n 1an 1 2n 1 得an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 取n 1 5 9及n 2 6 10 结果相加可得S12 a1 a2 a3 a4 a11 a12 78 答案 B 2 在如图所示的表格中 如果每格填上一个数后 每一行成等差数列 每一列成等比数列 那么x y z的值为 A 1B 2C 3D 4 等差 等比数列的综合 1 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 特别是等差数列 等比数列的通项公式 前n项和公式以及等差中项 等比中项问题是历年命题的热点 2 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对于两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件联立方程求解 数列与解析几何 不等式的综合应用 解析 1 由题意得 1 a2 2 a1 a3 1 即 1 a1 2 a1 a1 1 解得a1 an 设 bn 的公差为d 又T1 b2 即8 8 d T2 2 b3 16 d 2 8 2d 解得 或 1 d 8d 0 舍去 2 由 1 知Sn 1 Sn 又Tn 4n2 4n 1 1 由 可知 Sn 递推数列 已知数列 an bn 满足 a1 0 b1 2013 且对任意的正整数n an an 1 bn和an 1 bn 1 bn均成等差数列 1 求a2 b2的值 2 证明 an bn 和 an 2bn 均成等比数列 3 是否存在唯一的正整数c 使得an c bn恒成立 证明你的结论 解析 1 a2 b2 2 证明 依题意 对任意的正整数n 有an 1 an 1 an bn bn 1 bn 1 an bn 因为 n N 又a1 b1 2013 0 所以 an bn 是首项为 2013 公比为1 4的等比数列 因为 n N 又a1 2b1 4026 0 所以 an 2bn 是首项为4026 公比为1的等比数列 3 由 2 得an 2bn 4026 an bn 解得an 1342 bn 1342 n N 显然 an 是单调递增数列 bn 是单调递减数列 且an 1342 bn n N 即存在正整数c 1342 使得对任意的n N 有an1342 而210 1024 212 4096 所以2n 2 12 n 7 所以对任意的n N 当n 7时 1341 an 1342 bn 1343 所以正整数c 1342也是唯一的 综上所述 存在唯一的正整数c 1342 使得对任意的n N 有an c bn恒成立 1 数列综合题的四种题型 1 数列与其他章节的综合题数列综合题 包括数列知识和指数函数 对数函数 不等式知识的综合 另外 数列知识在复数 三角函数 解析几何部分也有广泛应用 2 数列的探索性问题探索性问题是高考的热点 常在数列解答题中出现 探索性问题对分析问题 解决问题的能力有较高的要求 3 等差数列与等比数列的综合问题解决此类问题须从整体着眼考查所研究的问题中的数列特征 结构特征 以探求解题思路 从而优化 简化解题过程的思想方法 在数列中 倘若抓住等差 等比数列项的性质 整体代换可简化解答过程 2 递推数列问题的一般处理方法 1 利用化归思想 将非等差数列 非等比数列问题化归为等差或等比数列问题进行解决 2 借助归纳思想 通过不完全归纳形成猜想后用数学归纳法解决问题 3 依托函数思想 设法求出所给数列的通项公式后一般性解决问题 3 由递推公式求通项公式的常用方法累加法 累乘法 叠代法 归纳法 换元法 待定系数法 特征方程法 不动点法等 由于数列与函数的关系 数列与自然数n的对应 数列求和与不等式放缩的联系以及 能力立意 命题的需求 使得具有一定难度和一定综合性要求的数列试题常常光顾解答题中的后三题的位置 很多情况下甚至就是高考压轴题 这一类综合性问题 往往会与数列的递推公式相关 用于全面考查数列的概念与性质 考查逻辑运算能力以及数学知识的综合运用能力 学会处理这类问题往往成为高考中夺取数学高分的关键 求解时除了可以直接由递推公式求数列的通项公式和前n项和公式来研究数列的性质外 一般不需要求通项公式 也能直接利用递推关系来研究数列的性质 阅后报告 本题属高难度试题 以解析几何问题为载体主要考查了数列的函数属性 要求综合运用导数和不等式的相关知识 对考生的思维能力 运算能力 分析问题与解决问题的能力和创新意识能力提出了较高的要求 证明 1 对每个n N 当x 0时 f n x 1 0 故fn x 在 0 内单调递增 由于f1 1 0 当n 2时 fn 1 0 故fn 1 0 又fn 1 所以存在唯一的xn 1 满足fn xn 0 2 当x 0时 fn 1 x fn x fn x 故fn 1 xn fn xn fn 1 xn 1 0 由fn 1 x 在 0 内单调递增 xn 1 xn 故 xn 为单调递减数列 从而对任意n p N xn p xn 对任意p N 由于fn xn 1 xn 0 fn p xn p 1 xn p 0 式减去 式并移项 利用0 xn p xn 1 得xn xn p 因此 对任意p N 都有0 xn xn p