高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件(理).ppt

第四节数列求和 知识梳理 1 等差数列的前n项和公式2 等比数列的前n项和公式 3 一些常见数列的前n项和公式 1 1 2 3 4 n 2 1 3 5 7 2n 1 3 2 4 6 8 2n 4 12 22 n2 5 13 23 n3 1 2 n 2 n2 n2 n 4 数列求和方法 1 公式法求和 使用已知求和公式求和的方法 即等差 等比数列或可化为等差 等比数列的求和方法 2 裂项相消法求和 把数列的通项拆分为两项之差 使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法 3 错位相减法求和 i 适用的数列 anbn 其中数列 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比为q 1的等比数列 ii 方法 设Sn a1b1 a2b2 anbn 则qSn a1b2 a2b3 an 1bn anbn 1 得 1 q Sn a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 就转化为根据公式可求的和 例如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的 4 倒序相加法求和 如果一个数列 an 与 的两项的和等于首末两项之和 可把正着写与倒着写的两个式子相加 就得到一个常数列的和 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 例如 等差数列的前n项和公式就是用此法推导的 首末两端等 距离 5 分组转化法求和 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 则求和时可用分组转化法求和 分别求和而后相加减 例如 已知an 2n 2n 1 求其前n项和Sn 6 并项转化法求和 把数列中的若干项结合到一起 形成一个新的可求和的数列 此时 数列中的项可能 出现或呈现 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 Sn 1002 992 982 972 22 12 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 正 负相间 周期性 特别提醒 两种常用求和法的关注点 1 使用裂项相消法求和时 要注意正负项相消时 消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 2 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 小题快练 链接教材练一练1 必修5P47习题2 3B组T4改编 数列 an 的前n项和为Sn 若an 则S5等于 解析 选B 所以S5 a1 a2 a3 a4 a5 2 必修5P61习题2 5A组T4 3 改编 1 2x 3x2 nxn 1 x 0且x 1 解析 设Sn 1 2x 3x2 nxn 1 则xSn x 2x2 3x3 nxn 得 1 x Sn 1 x x2 xn 1 nxn所以答案 感悟考题试一试3 2014 全国卷 等差数列 an 的公差为2 若a2 a4 a8成等比数列 则 an 的前n项和Sn 解析 选A 因为d 2 a2 a4 a8成等比数列 所以a42 a2a8 即 a2 2d 2 a2 a2 6d 解得a2 4 所以a1 2 所以利用等差数列的求和公式可求得Sn n n 1 4 2016 唐山模拟 2 3 5 1 4 3 5 2 2n 3 5 n 解析 2 3 5 1 4 3 5 2 2n 3 5 n 2 4 2n 3 5 1 5 2 5 n 答案 5 2015 江苏高考 数列 an 满足a1 1 且an 1 an n 1 n N 则数列的前10项和为 解析 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 n n 1 n 2 2 1 所以所以的前10项和答案 考向一裂项相消法求和 典例1 2015 全国卷 Sn为数列 an 的前n项和 已知an 0 an2 2an 4Sn 3 1 求 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和 本题源自A版必修5P47习题2 3B组T4 解题导引 1 根据an 1 Sn 1 Sn及an2 2an 4Sn 3转化为an 1与an的关系 确定 an 的通项公式 2 利用裂项法求和 规范解答 1 由an2 2an 4Sn 3 可知an 12 2an 1 4Sn 1 3 可得an 12 an2 2 an 1 an 4an 1 即2 an 1 an an 12 an2 an 1 an an 1 an 由于an 0 可得an 1 an 2 又a12 2a1 4a1 3 解得a1 1 舍去 a1 3 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 2 由an 2n 1可知设数列 bn 的前n项和为Tn 则Tn b1 b2 bn 母题变式 若本例题 2 条件变为b1 n 2时 bn 求数列 bn 的前n项和Tn 解析 当n 2时 当n 1时 满足b1 当n为偶数时 所以 当n为奇数时 所以Tn 所以Tn 规律方法 常见的裂项方法 其中n为正整数 变式训练 2016 马鞍山模拟 Sn 解析 通项an 所以答案 加固训练 1 2016 郑州模拟 已知数列 an 的通项公式为an 其前n项和为Sn 则在数列S1 S2 S2016中 有理数项的项数为 A 42B 43C 44D 45 解析 选B 所以 因此S3 S8 S15 为有理项 又下标3 8 15 的通项公式为n2 1 n 2 所以n2 1 2016 且n 2 所以2 n 44 所以有理项的项数为43 2 2016 大同模拟 若已知数列的前四项是则数列的前n项和为 解析 因为通项所以此数列的前n项和答案 3 2016 洛阳模拟 等比数列 an 的各项均为正数 且2a1 3a2 1 a32 9a2a6 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3a1 log3a2 log3an 求数列的前n项和 解析 1 设数列 an 的公比为q 由a32 9a2a6得a32 9a42 所以q2 由条件可知q 0 故q 由2a1 3a2 1得2a1 3a1q 1 所以a1 故数列 an 的通项公式为an 2 bn log3a1 log3a2 log3an故所以数列的前n项和为 考向二错位相减法求和 典例2 2015 山东高考 设数列 an 的前n项和为Sn 已知2Sn 3n 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足anbn log3an 求数列 bn 的前n项和Tn 解题导引 1 an Sn Sn 1要注意n 2并验证n 1是否满足所求出的关系式 2 利用错位相减求解 规范解答 1 Sn 当n 1时 a1 S1 3 当n 2时 an Sn Sn 1 即又a1不满足上式 所以an 2 当n 1时 a1b1 3b1 1 所以b1 当n 2时 anbn 3n 1 bn log33n 1 n 1 所以bn 故bn 当n 1时 T1 b1 当n 2时 Tn b1 b2 b3 b4 bn 则 两式相减得所以因为T1 符合上式 所以 bn 的前n项和 易错警示 解答本例会出现以下错误 1 中忘记验证n 1是否满足所求出的关系式 2 中求Tn作差后没有同除以 规律方法 利用错位相减法的一般类型及思路 1 求数列的前n项和一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是在和式的两边同乘以等比数列 bn 的公比 然后作差求解 若 bn 的公比为参数 字母 则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和 2 比较大小或证明不等式要善于识别题目类型 抓住通项公式的特征 正确变形 分清项数求和 再利用比较法或放缩法解决问题 3 数列求和与函数 导数等知识的交汇问题此类问题通常以数列为载体 以函数为工具 利用函数的相关知识求出数列 然后借用错位相减法求和 进一步解决问题 变式训练 2016 桐乡模拟 已知公比q不为1的等比数列 an 的首项a1 前n项和为Sn 且a4 S4 a5 S5 a6 S6成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 对n N 在an与an 1之间插入n个数 使这n 2个数成等差数列 记插入的这n个数的和为bn 求数列 bn 的前n项和Tn 解析 1 因为a4 S4 a5 S5 a6 S6成等差数列 所以2 a5 S5 a4 S4 a6 S6 即2a6 3a5 a4 0 即2q2 3q 1 0 解得q 故an n 2 若记插入的n个数为xn n 1 2 n 由 1 及等差数列的性质及前n项和公式可知x1 xn an an 1 加固训练 1 2016 西安模拟 化简Sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1的结果是 A 2n 1 n 2B 2n 1 n 2C 2n n 2D 2n 1 n 2 解析 选D 因为Sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1 2Sn n 2 n 1 22 n 2 23 2 2n 1 2n 所以 得 Sn n 2 22 23 2n n 2 2n 1 所以Sn 2n 1 n 2 2 2014 新课标全国卷 已知 an 是递增的等差数列 a2 a4是方程x2 5x 6 0的根 1 求 an 的通项公式 2 求数列的前n项和 解题提示 根据方程x2 5x 6 0求出a2 a4的值 从而求出 an 的通项公式 再利用错位相减法求出数列的前n项和 解析 1 方程x2 5x 6 0的两根为2 3 由题意得a2 2 a4 3 设数列 an 的公差为d 则a4 a2 2d 故d 从而a1 所以 an 的通项公式为 an n 1 2 设数列的前n项和为Sn 由 1 知则 两式相减得 考向三可转化为等差 比 数列的求和问题 考情快递 考题例析 命题方向1 分组转化求和 典例3 2016 太原模拟 解题导引 将化为n 再分组求和 规范解答 因为所以答案 命题方向2 并项转化求和 典例4 2016 昆明模拟 在等差数列 an 中 已知d 2 a2是a1与a4的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 记Tn b1 b2 b3 1 nbn 求Tn 解题导引 1 根据已知条件可列方程求得数列 an 的通项公式 2 分奇数项和偶数项来讨论求数列的和 规范解答 1 由题意知 an 为等差数列 因为a2为a1与a4的等比中项 所以a22 a1 a4且a1 0 即 a1 d 2 a1 a1 3d 因为d 2 解得a1 2 所以an 2 n 1 2 2n 2 由 1 知 an 2n bn n n 1 当n为偶数时 Tn 1 2 2 3 3 4 n n 1 2 1 3 4 3 5 n n 1 n 1 2 2 4 2 6 2 n 2 2 2 4 6 n 当n为奇数时 Tn 1 2 2 3 3 4 n n 1 2 1 3 4 3 5 n 1 n 2 n n n 1 2 2 4 2 6 2 n 1 2 n n 1 2 2 4 6 n 1 n n 1 综上 一题多解 解答本例 2 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 因为当n为偶数时 Tn 所以当n为奇数时 因此 技法感悟 1 分组转化求和的常见类型 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 2 通项公式为an 的数列 其中数列 bn cn 是等比数列或等差数列 可采用分组求和法求和 2 并项转化求和的解题思路并项求和常见的有首末并项 隔项并项 分段并项 类周期并项 求解时要注意观察其结构特点 根据其特点采用相应方法求解 题组通关 1 2016 郑州模拟 数列 an 的通项公式an ncos 其前n项和为Sn 则S2016等于 A 1008B 2016C 504D 0 解析 选A a1 cos 0 a2 2cos 2 a3 0 a4 4 所以数列 an 的所有奇数项为0 前2016项的所有偶数项 共1008项 依次为 2 4 6 8 2014 2016 故S2016 0 2 4 6 8 2014 2016 1008 2 2016 南昌模拟 若数列 an 的通项公式是an 1 n 3n 2 则a1 a2 a12 A 18B 15C 18D 15 解析 选A 记bn 3n 2 则数列 bn 是以1为首项 3为公差的等差数列 所以a1 a2 a11 a12 b1 b2 b11 b12 b2 b1 b4 b3 b12 b11 6 3 18 3 2016 保定模拟 有穷数列1 1 2 1 2 4 1 2 4 2n 1所有项的和为 解析 由题意知所求数列的通项为 2n 1 故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为答案 2n 1 2 n 4 2015 西安模拟 已知数列 an 的前n项和Sn与通项an满足Sn 1 求数列 an 的通项公式 2 设f x log3x bn f a1 f a2 f an Tn 求T2016 3 若cn an f an 求 cn 的前n项和Un 解析 1 当n 1时 a1 当n 2时 an Sn Sn 1 又Sn an 所以an an 1 即数列 an 是首项为 公比为的等比数列 故an 2 由已知可得f an 则bn 1 2 3 n 故又所以T2016 3 由题意得故Un c1 c2 cn则 两式相减可得 加固训练 已知数列 an 满足anan 1an 2an 3 24 且a1 1 a2 2 a3 3 则a1 a2 a3 a2016 解题提示 先探求数列的周期性 再分组求和 解析 由anan 1an 2an 3 24可知 an 1an 2an 3an 4 24 得an 4 an 所以数列 an 是周期为4的数列 再令n 1 求得a4 4 每四个一组可得 a1 a2 a3 a4 a2009 a2010 a2011 a2012 a2013 a2014 a2015 a2016 10 504 5040 答案 5040