高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算课件 文 北师大版.ppt

第五章平面向量 5 1平面向量的概念及线性运算 考纲要求 1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的概念和两个向量相等的含义 3 理解向量的几何表示 4 掌握向量加法 减法的运算 理解其几何意义 5 掌握向量数乘的运算及其几何意义 理解两个向量共线的含义 6 了解向量线性运算的性质及其几何意义 1 向量的有关概念 1 向量 在数学中 我们把既有大小 又有方向的量统称为向量 2 向量的几何表示 以A为起点 B为终点的向量记作 3 零向量 长度为零的向量称为零向量 记作0 4 单位向量 长度为单位1的向量叫作单位向量 5 相等向量 我们规定 长度相等且方向相同的向量 叫作相等向量 6 向量平行 或共线 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合 则称这两个向量平行或共线 a与b平行或共线 记作a b 规定 零向量与任一向量平行 7 相反向量 把与a长度相等 方向相反的向量 叫作a的相反向量 记作 a 规定 零向量的相反向量仍是零向量 2 向量的线性运算 3 向量共线的判定定理和性质定理 1 a是一个非零向量 若存在一个实数 使得b a 则向量b与非零向量a共线 2 向量b与非零向量a共线 则存在一个实数 使得b a 即b a a 0 R a b 1 2 3 4 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 向量与有向线段是一样的 因此可以用有向线段表示向量 3 若两个向量共线 则其方向必定相同或相反 4 在平行四边形ABCD中 一定有 若 则A B C D四点构成平行四边形 5 若a b b c 则a c 1 2 3 4 5 2 2015东北四市联考 在四边形ABCD中 若 则四边形ABCD一定是 A 矩形B 菱形C 正方形D 平行四边形 答案 解析 1 2 3 4 5 3 已知 且四边形ABCD为平行四边形 则 A a b c d 0B a b c d 0C a b c d 0D a b c d 0 答案 解析 1 2 3 4 5 4 在 ABC中 D是BC的中点 则表示为 答案 解析 1 2 3 4 5 5 设向量a b不平行 向量 a b与a 2b平行 则实数 答案 解析 1 2 3 4 5 自测点评1 向量常用有向线段表示 但向量与有向线段是两个不同的概念 有向线段由起点 终点唯一确定 而向量是由大小和方向来确定的 向量不能比较大小 但它们的模可以比较大小 2 零向量的方向是任意的 它与任何向量都平行 共线 3 向量共线与线段共线不同 前者可以不在同一直线上 而后者必须在同一直线上 同样 两个平行向量与两条平行直线也是不同的 因为两个平行向量可以移到同一直线上 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1辨析平面向量的有关概念例1 1 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 给出下列命题 若 a b 则a b或a b 若A B C D是不共线的四点 则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件 若两个向量相等 则它们的起点相同 终点相同 a b的充要条件是 a b 且a b 其中真命题的序号是 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 学习了向量的概念后 你对向量有怎样的认识 解题心得 对于向量的概念应注意以下几条 1 向量的两个特征 大小和方向 向量既可以用有向线段和字母表示 也可以用坐标表示 2 相等向量不仅模相等 而且方向要相同 所以相等向量一定是平行向量 而平行向量则未必是相等向量 3 向量与数量不同 数量可以比较大小 向量则不能 所以向量只有相等与不相等 不可以比较大小 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练1 1 设a0为单位向量 若a为平面内的某个向量 则a a a0 若a与a0平行 则a a a0 若a与a0平行 且 a 1 则a a0 上述命题中 假命题的个数为 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 给出下列命题 两个具有公共终点的向量 一定是共线向量 两个向量不能比较大小 但它们的模能比较大小 若 a 0 为实数 则 必为零 已知 为实数 若 a b 则a与b共线 其中错误命题的个数为 A 1B 2C 3D 4 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点2平面向量的线性运算例2 1 设D为 ABC所在平面内一点 则 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 设D E F分别为 ABC的三边BC CA AB的中点 则 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 在几何图形中 用已知向量表示未知向量的一般思路是什么 向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系 解题心得 1 进行向量运算时 要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中 充分利用相等向量 相反向量 三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质 把未知向量用已知向量表示出来 2 向量的线性运算类似于代数多项式的运算 实数运算中的去括号 移项 合并同类项 提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练2 1 设M为平行四边形ABCD对角线的交点 O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点 则等于 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点3向量共线定理及其应用例3设两个非零向量a与b不共线 1 若求证 A B D三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 答案 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 如何用向量的方法证明三点共线 解题心得 1 证明三点共线问题 可用向量共线解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 2 向量a b共线是指存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b 0成立 若 1a 2b 0 当且仅当 1 2 0时成立 则向量a b不共线 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练3 1 已知向量a b不共线 且c a b d a 2 1 b 若c与d同向 则实数 的值为 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 设a b是两个不共线向量 若A B D三点共线 则实数p 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 3 已知a b是不共线的向量 当A B C三点共线时 满足的条件为 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 平面向量的重要结论 1 若存在非零实数 使得 则A B C三点共线 2 相等向量具有传递性 非零向量的平行具有传递性 3 向量可以平移 平移后的向量与原向量是相等向量 平行向量与起点无关 2 用已知向量表示另外一些向量是用向量解题的基本功 要在所表达的图形上多思考 多联系相关的几何图形 比如平行四边形 菱形 三角形等 可多记忆一些有关的结论 3 向量共线的充要条件常用来证明平面几何中的三点共线和两条直线平行等问题 但向量平行与直线平行是有区别的 直线平行不包括重合的情形 证明三点共线或两直线平行时 可先探索有关向量满足b a a 0 再看两个向量有无公共点 有则共线 无则平行 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 两向量起点相同 终点相同 则两向量相等 但两相等向量 不一定有相同的起点和终点 2 零向量和单位向量是两个特殊的向量 它们的模确定 但方向不确定 3 注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系 向量是共线向量 但A B C D四点不一定在一条直线上 4 向量共线的充要条件中要注意 a 0 否则 可能不存在 也可能有无数个 易错警示 都是零向量 惹的祸 典例 1 下列命题正确的是 向量a b共线的充要条件是有且仅有一个实数 使b a 在 ABC中 不等式 a b a b a b 中两个等号不可能同时成立 只有方向相同或相反的向量是平行向量 若向量a b不共线 则向量a b与向量a b必不共线 2 下列叙述错误的是 若非零向量a与b方向相同或相反 则a b与a b之一的方向相同 a b a b a与b方向相同 若 a b 则a b 答案 1 2 解析 1 向量a与b不共线 向量a b a b与a b均不为零向量 若a b与a b平行 则存在实数 使a b a b 即 1 a 1 b 无解 故假设不成立 即a b与a b不共线 2 对于 当a b 0时 其方向任意 它与a b的方向都不相同 对于 当a b之一为零向量时结论不成立 对于 由于两个向量之和仍是一个向量 所以 对于 当 0时 不管a b的大小与方向如何 都有 a b 此时不一定有a b