高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数课件 理.ppt

第二章函数概念与基本初等函数I 2 6对数与对数函数 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 高频小考点 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 对数的概念一般地 如果a a 0 a 1 的b次幂等于N 即ab N 那么就称b是以a为底N的对数 记作 N叫做真数 2 对数的性质与运算法则 1 对数的运算法则如果a 0且a 1 M 0 N 0 那么 loga MN logaM logaN logaN b logaM logaN 知识梳理 1 答案 nlogaM N N logad 答案 3 对数函数的图象与性质 0 R 1 0 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函数 减函数 4 反函数指数函数y ax与对数函数 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 y logax y x 答案 答案 思考辨析 1 2015 湖南改编 设函数f x ln 1 x ln 1 x 则有关f x 的性质判断正确的是 填序号 奇函数 且在 0 1 上是增函数 奇函数 且在 0 1 上是减函数 偶函数 且在 0 1 上是增函数 偶函数 且在 0 1 上是减函数 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 由复合函数单调性判断方法知 f x 在 0 1 上是增函数 答案 解析易知函数定义域为 1 1 f x ln 1 x ln 1 x f x 故函数f x 为奇函数 解析答案 1 2 3 4 5 解析 故a b c a b c 解析答案 1 2 3 4 5 3 函数f x lg x 1 的大致图象是 填图象序号 解析由函数f x lg x 1 的定义域为 1 1 值域为R 又当x 1时 函数单调递增 所以只有 正确 解析答案 1 2 3 4 5 4 2015 浙江 若a log43 则2a 2 a 解析 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 题型一对数式的运算 解析 2a 5b m a log2m b log5m 1 解析答案 思维升华 思维升华 在对数运算中 要熟练掌握对数的定义 灵活使用对数的运算性质 换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形 多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算 1 跟踪训练1 解析答案 2 已知loga2 m loga3 n 则a2m n 解析 loga2 m loga3 n am 2 an 3 a2m n am 2 an 22 3 12 12 解析答案 题型二对数函数的图象及应用 例2 1 函数y 2log4 1 x 的图象大致是 填序号 解析函数y 2log4 1 x 的定义域为 1 排除 又函数y 2log4 1 x 在定义域内单调递减 排除 故 正确 解析答案 解析构造函数f x 4x和g x logax 当a 1时不满足条件 当0 a 1时 解析答案 思维升华 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合思想 2 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图象问题 利用数形结合法求解 1 已知lga lgb 0 则函数f x ax与函数g x logbx的图象可能是 解析 lga lgb 0 ab 1 g x logbx的定义域是 0 故排除 若a 1 则01 g x logbx是减函数 排除 故填 跟踪训练2 解析答案 2 设方程10 x lg x 的两个根分别为x1 x2 则 x1x21 0 x1x2 1 解析答案 因此 因为 所以lg x1x2 0 即0 x1x2 1 正确 答案 解析构造函数y 10 x与y lg x 并作出它们的图象 如图所示 因为x1 x2是10 x lg x 的两个根 则两个函数图象交点的横坐标分别为x1 x2 不妨设x2 1 1 x1 0 则 题型三对数函数的性质及应用 命题点1比较对数值的大小 例3设a log36 b log510 c log714 则a b c的大小关系为 解析由对数运算法则得a log36 1 log32 b 1 log52 c 1 log72 由对数函数图象得log32 log52 log72 所以a b c a b c 解析答案 命题点2解对数不等式 例4若loga a2 1 0 故必有a2 1 2a 又loga a2 1 loga2a 0 所以0 a 1 解析答案 命题点3和对数函数有关的复合函数 例5已知函数f x loga 3 ax 1 当x 0 2 时 函数f x 恒有意义 求实数a的取值范围 解 a 0且a 1 设t x 3 ax 则t x 3 ax为减函数 x 0 2 时 t x 的最小值为3 2a 当x 0 2 时 f x 恒有意义 即x 0 2 时 3 ax 0恒成立 解析答案 2 是否存在这样的实数a 使得函数f x 在区间 1 2 上为减函数 并且最大值为1 如果存在 试求出a的值 如果不存在 请说明理由 解t x 3 ax a 0 函数t x 为减函数 f x 在区间 1 2 上为减函数 y logat为增函数 a 1 x 1 2 时 t x 最小值为3 2a f x 最大值为f 1 loga 3 a 故不存在这样的实数a 使得函数f x 在区间 1 2 上为减函数 并且最大值为1 解析答案 思维升华 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时 要优先考虑利用对数函数的单调性来求解 在利用单调性时 一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响 及真数必须为正的限制条件 1 设a log32 b log52 c log23 则a b c的大小关系为 c a b c a b 跟踪训练3 解析答案 2 若f x lg x2 2ax 1 a 在区间 1 上递减 则a的取值范围为 解析令函数g x x2 2ax 1 a x a 2 1 a a2 对称轴为x a 要使函数在 1 上递减 解得1 a 2 即a 1 2 1 2 解析答案 解得a 1或 1 a 0 1 0 1 解析答案 返回 高频小考点 典例 1 设a 0 50 5 b 0 30 5 c log0 30 2 则a b c的大小关系是 思维点拨可根据幂函数y x0 5的单调性或比商法确定a b的大小关系 然后利用中间值比较a c大小 解析根据幂函数y x0 5的单调性 可得0 30 5log0 30 3 1 即c 1 所以b a c b a c 高频小考点 2 比较指数式 对数式的大小 思维点拨 解析答案 思维点拨a b均为对数式 可化为同底 再利用中间变量和c比较 b c a 2 设a log2 c 2 则a b c的大小关系为 a c b 思维点拨 解析答案 3 已知则a b c大小关系为 返回 解析答案 思维点拨化为同底的指数式 思维点拨 温馨提醒 解析 方法一在同一坐标系中分别作出函数y log2x y log3x y log4x的图象 如图所示 由图象知 解析答案 温馨提醒 由于y 5x为增函数 即 故a c b 答案a c b 温馨提醒 温馨提醒 返回 1 比较指数式和对数式的大小 可以利用函数的单调性 引入中间量 有时也可用数形结合的方法 2 解题时要根据实际情况来构造相应的函数 利用函数单调性进行比较 如果指数相同 而底数不同则构造幂函数 若底数相同而指数不同则构造指数函数 若引入中间量 一般选0或1 思想方法感悟提高 1 对数值取正 负值的规律当a 1且b 1或00 当a 1且01时 logab1进行分类讨论 方法与技巧 3 比较幂 对数大小有两种常用方法 1 数形结合 2 找中间量结合函数单调性 4 多个对数函数图象比较底数大小的问题 可通过比较图象与直线y 1交点的横坐标进行判定 方法与技巧 1 在运算性质logaM logaM中 要特别注意条件 在无M 0的条件下应为logaM loga M N 且 为偶数 2 解决与对数函数有关的问题时需注意两点 1 务必先研究函数的定义域 2 注意对数底数的取值范围 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若函数y logax a 0 且a 1 的图象如图所示 则下列函数图象正确的是 填序号 解析答案 中 y x3符合 中 y x 3 x3在R上为减函数 错误 中 y log3 x 在 0 上为减函数 错误 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题图可知y logax的图象过点 3 1 loga3 1 即a 3 解析 x ln lne x 1 2 已知x ln y log52 则x y z的大小关系为 综上可得 y z x y z x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 1 log23 log24 2 3 log23 4 5 f log23 f log23 1 f log23 2 f log23 3 f log224 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由f x 是奇函数可得a 1 1 x 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由f x 2 f x 2 得f x f x 4 因为4 log220 5 所以f log220 f log220 4 f 4 log220 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由题意f x 的图象如右图 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解函数是由函数和t x2 ax a复合而成 因为函数在区间 0 上单调递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 设f x loga 1 x loga 3 x a 0 a 1 且f 1 2 1 求a的值及f x 的定义域 解 f 1 2 loga4 2 a 0 a 1 a 2 函数f x 的定义域为 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解f x log2 1 x log2 3 x log2 1 x 3 x log2 x 1 2 4 当x 1 1 时 f x 是增函数 当x 1 3 时 f x 是减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故p r q 答案p r q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 0 a b 又 f x lnx在 0 上为增函数 又当x 1时 f x lnx 所以离对称轴x 1距离大的x的函数值大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 13 函数f x log3x 在区间 a b 上的值域为 0 1 则b a的最小值为 解析由题意可知求b a的最小值即求区间 a b 的长度的最小值 当f x 0时x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 又0 a b 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 又 x 2 8 a 0 1 f x 是关于logax的二次函数 函数f x 的最大值必在x 2或x 8时取得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 此时f x 取得最小值时