高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 理.ppt

第三节函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性 2 函数的周期性 1 周期函数 若f x 对于定义域中任意x均有f x T f x T为不等于0的常数 则f x 为周期函数 T是这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫做f x 的最小正周期 3 函数的奇偶性与周期性的常用结论表 4 函数的对称性与周期性的关系 1 若函数f x 关于直线x a x b a b 对称 则函数f x 为周期函数 且周期T 2 b a 2 若函数f x 关于点 a 0 b 0 a b 对称 则函数f x 为周期函数 且周期T 2 b a 3 若函数f x 关于点 a 0 与直线x b a b 对称 则函数f x 为周期函数 且周期T 4 b a 5 常用的数学方法与思想函数奇偶性的判断方法 数形结合思想 分类讨论思想 1 判断下列说法是否正确 打 或 1 函数f x 是偶函数 若在 0 上单调递增 则在 0 上必递减 1 2 若函数f x 0 则x 1 1 函数f x 既是奇函数又是偶函数 2 3 若函数y f x 1 是偶函数 则函数y f x 的图象关于直线x 1对称 3 4 若函数f x 在定义域上满足f x 2 f x 则f x 是周期为4的周期函数 4 C y cosxD y ex e x2 D 解析 由函数的奇偶性知选项A中的函数是非奇非偶函数 选项B中的函数是偶函数 选项C中的函数是偶函数 选项D中的函数f x e x ex f x x R 故其是奇函数 命题角度1 函数奇偶性的判断典例1判断下列函数的奇偶性 并证明 1 f x x4 x2 1 2 f x x2 x 1 x 1 4 3 f x x 1 x 1 解题思路 1 2 3 的突破口是函数定义域的对称性 再找出f x f x 之间的关系 参考答案 1 f x 的定义域为R 且f x f x 则f x 为偶函数 2 由于f x x2 x 1 x 1 4 的定义域不是关于原点对称的区间 因此f x 是非奇非偶函数 3 函数的定义域x 关于原点对称 因为f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x 所以f x x 1 x 1 是奇函数 命题角度2 函数奇偶性的应用典例2 2015 天一大联考 已知f x g x 分别是定义在R上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 2 x 则f 2 g 2 A 4B 4C 2D 2 解题思路 在f x g x x3 2 x中用 x代替x 并利用奇 偶函数的定义求解 f x g x 分别是定义在R上的偶函数和奇函数 故有f x f x g x g x 由f x g x x3 2 x得f x g x x3 2x 即f x g x x3 2x 因此f 2 g 2 23 22 4 参考答案 B 已知函数f x 为奇函数且定义域为R x 0时 f x x 1 则f x 的解析式为 解题思路 设x0 从而f x x 1 f x 为奇函数 f x f x f x f x x 1 x 1 当x 0 变式训练 1 解析 解法1 f x 的定义域为R 当x 0时 x0 f x x 2 2 x x2 2x f x 对于x R总有f x f x f x 为偶函数 解法2 当x 0时 f x x2 2x x2 2 x 当x 0时 f x x2 2x x2 2 x f x x2 2 x f x x 2 2 x x2 2 x f x f x 为偶函数 2015 北京丰台区测试 已知函数f x 是定义在R上的偶函数 当x 0时 f x x2 2x 如果函数g x f x m m R 恰有4个零点 则m的取值范围是 1 0 解析 函数f x 是定义在R上的偶函数 当x 0时 f x x2 2x 可知x 0 f x x2 2x 所以 典例3 2015 蚌埠质检 函数y f x 是R上的奇函数 满足f 3 x f 3 x 当x 0 3 时 f x 2x 则当x 6 3 时 f x 等于 A 2x 6B 2x 6C 2x 6D 2x 6 解题思路 由f 3 x f 3 x 可知f x f 6 x 又y f x 是R上的奇函数 所以f x f x 故 f x f 6 x 即f x f x 6 从而f 6 x f x 6 f x 6 则f x f x 12 即f x 是周期为12的周期函数 当x 3 0 时 x 0 3 f x 2 x 即f x 2 x 当x 6 3 时 x 6 0 3 f x 6 2x 6 f x f x 所以f x 2x 6 参考答案 D 函数的奇偶性 周期性与对称性的应用 命题角度1 奇偶性与对称性相互转化应用于求值典例1已知函数f x 是R上的奇函数 且f x 的图象关于直线x 1对称 当x 0 1 时 f x 2x 1 则f 2017 f 2018 A 3B 2C 1D 0 解题思路 利用奇函数得到f x f x 及f 0 0 利用f x 的图象关于直线x 1对称 得到f x 2 f x 然后将二者结合求解 因为函数f x 是R上的奇函数 所以f x f x 又f x 的图象关于直线x 1对称 所以有f x 2 f x f x 因此f x 4 f x 故函数的周期为4 又函数f x 是R上的奇函数 所以f 0 0 由图象关于直线x 1对称得f 2 f 0 0 而f 2017 f 2018 f 1 f 2 f 1 f 0 所以f 2017 f 2018 21 1 20 1 1 参考答案 C 若函数f x 1 为偶函数 则f x 的图象的对称轴方程为 解题思路 解法一 因为函数f x 1 为偶函数 所以函数f x 1 的图象的对称轴方程为x 0 而f x 的图象可由函数f x 1 的图象向右平移一个单位得到 故f x 的图象的对称轴方程为x 1 解法二 构造函数法 由题可设f x 1 x2 则令x 1 t 得x t 1 所以f t t 1 2 因此f x x 1 2 其图象的对称轴方程为x 1 参考答案 x 1 命题角度2 周期性与对称性互化应用于求值典例2设函数f x 的定义域为R 其图象既关于直线x 2对称 又关于直线x 7对称 且在闭区间 0 7 上 只有f 1 f 3 0 则方程f x 0在闭区间 2016 2016 上的根的个数为 A 806B 804C 802D 800 解题思路 函数f x 的图象关于直线x 2和直线x 7对称等价于关系式f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 因为函数f x 的图象既关于直线x 2对称 又关于直线x 7对称 所以有f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 即有f x f 4 x 且f x f 14 x 从而得到f 4 x f 14 x 则f x 10 f x 故函数的周期为T 10 因为f 3 f 1 0 f 11 f 13 f 7 f 9 0 故f x 在 0 10 和 10 0 上均有两个解 从而可知函数y f x 在 0 2016 上有404个解 在 2016 0 上有402个解 所以函数y f x 在 2016 2016 上有806个解 参考答案 A 针对训练 2 若函数f x 2 为奇函数 则f x 的图象的对称中心为 答案 2 0 解析 解法一 因为函数f x 2 为奇函数 所以函数f x 2 的图象的对称中心为 0 0 而f x 的图象可由函数f x 2 的图象向左平移2个单位得到 故f x 的图象的对称中心为 2 0 解法二 构造函数法 由题可设f x 2 x 则令x 2 t x t 2 所以f t t 2 因此f x x 2 其图象的对称中心为 2 0