高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性课件(理).ppt

第三节函数的奇偶性与周期性 知识梳理 1 函数的奇偶性 f x f x y轴 f x f x 原点 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 f x T f x 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 存在一个最小 特别提醒 1 函数奇偶性常用结论 1 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 2 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 3 在公共定义内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 2 函数周期性常用结论对f x 定义域内任一自变量的值x 1 若f x a f x 则T 2a a 0 2 若f x a 则T 2a a 0 3 若f x a 则T 2a a 0 小题快练 链接教材练一练1 必修1P39A组T6改编 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0时 f x 则f 1 等于 A 2B 0C 1D 2 解析 选A f 1 f 1 1 1 2 2 必修1P39A组T6改编 已知f x 是定义域为R的偶函数 当x 0时 f x x2 4x 那么 不等式f x 2 5的解集是 解析 方法一 当x 0时 x 0 f x x 2 4 x x2 4x 又f x 为偶函数 所以f x f x x2 4x 当x 2 时 x 2 0 f x 2 x 2 2 4 x 2 5 解得 3 x 3 所以 2 x 3 当x 2 时 x 2 0 f x 2 x 2 2 4 x 2 5 解得 7 x 1 所以 7 x 2 综上可得 7 x 3 故f x 2 5的解集是 x 7 x 3 方法二 如图所示 可知f x 5的解集为 x 5 x 5 所以 5 x 2 5 即 7 x 3 故f x 2 5的解集为 x 7 x 3 答案 x 7 x 3 感悟考题试一试3 2015 北京高考 下列函数中为偶函数的是 A y x2sinxB y x2cosxC y lnx D y 2 x 解析 选B 根据偶函数的定义知偶函数满足f x f x 且定义域关于原点对称 A选项为奇函数 B选项为偶函数 C选项定义域为 0 不具有奇偶性 D选项既不是奇函数 也不是偶函数 4 2014 全国卷 设函数f x g x 的定义域都为R 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是 A f x g x 是偶函数B f x g x 是奇函数C f x g x 是奇函数D f x g x 是奇函数 解析 选C 设H x f x g x 则H x f x g x 因为f x 是奇函数 g x 是偶函数 所以H x f x g x H x 故H x 是奇函数 考向一函数奇偶性的判断 典例1 1 2015 福建高考 下列函数为奇函数的是 A y B y sinx C y cosxD y ex e x 2 判断下列函数的奇偶性 f x f x 3x 3 x f x f x 解题导引 1 奇函数满足函数关系式f x f x 当在原点处有定义时 f 0 0 2 先求出定义域 看定义域是否关于原点对称 在定义域内 解析式带绝对值号的先化简 计算f x 再判断f x 与f x 之间的关系 规范解答 1 选D 函数y 是非奇非偶函数 y sinx 和y cosx是偶函数 y ex e x是奇函数 2 因为由得x 1 所以f x 的定义域为 1 1 又f 1 f 1 0 f 1 f 1 0 即f x f x 所以f x 既是奇函数又是偶函数 因为f x 的定义域为R 所以f x 3 x 3x 3x 3 x f x 所以f x 为奇函数 因为由得 2 x 2且x 0 所以f x 的定义域为 2 0 0 2 所以f x 所以f x f x 所以f x 是奇函数 已知f x 的定义域为 1 1 其定义域关于原点对称 因为f x 所以f x f x 即f x f x 所以f x 是偶函数 易错警示 解答本题 2 会出现以下错误 1 忽视函数的定义域 2 对函数奇偶性概念把握不准 3 存在既是奇函数 又是偶函数的情形 对 不知如何判断 规律方法 判断函数奇偶性的两种重要方法 1 定义法 2 图象法 易错提醒 对函数奇偶性的判断 不能用特殊值法 如存在x0使f x0 f x0 不能判断函数f x 是奇函数 变式训练 2015 广东高考 下列函数中 既不是奇函数 也不是偶函数的是 A y x exB C y D 解析 选A 函数y x ex的定义域为R 关于原点对称 因为f 1 1 e f 1 所以函数y x ex既不是奇函数 也不是偶函数 函数的定义域为 x x 0 关于原点对称 因为所以函数是奇函数 函数f x 的定义域为R 关于原点对称 因为f x f x 所以函数f x 是偶函数 函数y 的定义域为R 关于原点对称 因为所以函数是偶函数 加固训练 1 设Q为有理数集 函数f x g x 则函数h x f x g x A 是奇函数但不是偶函数B 是偶函数但不是奇函数C 既是奇函数也是偶函数D 既不是偶函数也不是奇函数 解析 选A 因为当x Q时 x Q 所以f x f x 1 当x 时 所以f x f x 1 综上 对任意x R 都有f x f x 故函数f x 为偶函数 因为g x 所以函数g x 为奇函数 所以h x f x g x f x g x f x g x h x 所以函数h x f x g x 是奇函数 所以h 1 f 1 g 1 h 1 f 1 g 1 h 1 h 1 所以函数h x 不是偶函数 2 函数f x 的定义域为R 若f x 1 与f x 1 都是奇函数 则 A f x 是偶函数B f x 是奇函数C f x f x 2 D f x 3 是奇函数 解析 选D f x 1 是奇函数 则有f x 1 f x 1 f x 1 是奇函数 则有f x 1 f x 1 在 式中用x 1代替x 则有f x 1 1 f x 1 1 即f x f x 2 在 式中用x 1代替x 则有f x 1 1 f x 1 1 即f x f x 2 则f x 2 f x 2 可知周期为4 则f x 1 f x 3 f x 1 f x 3 由 式 f x 1 f x 1 可得f x 3 f x 3 所以f x 3 是奇函数 3 下列函数 f x x2 x 1 x 1 4 f x f x a 0 且a 1 f x 其中是奇函数的为 只填序号 解析 由于f x x2 x 1 x 1 4 的定义域不是关于原点对称的区间 因此 f x 是非奇非偶函数 f x 的定义域为 2 2 所以函数f x 为奇函数 因为f x 的定义域为 x x R 且x 0 其定义域关于原点对称 并且有f x 即f x f x 所以f x 为奇函数 f x 的定义域为R 关于原点对称 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 也满足f x f x 故该函数为奇函数 答案 考向二函数的周期性及其应用 典例2 1 2016 唐山模拟 设f x 是定义在R上的周期为2的函数 当x 1 1 时 f x 则 2 设f x 是定义在R上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 4 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 则f 2017 解题导引 1 利用周期为2得再求值即可 2 先求出函数的周期 然后利用周期的性质代入求解 规范解答 1 答案 1 2 因为f x 4 f x 所以周期T 4 又f 1 1 所以f 2017 f 1 4 504 f 1 1 答案 1 母题变式 1 若本例题 2 的条件 f x 4 f x 变为 f x 2 f x 求f 0 f 1 f 2 f 2015 的值 解析 因为f x 2 f x 所以f x 4 f x 2 f x 所以f x 的最小正周期为4 f 0 0 f 1 1 f 2 0 f 3 f 1 f 1 1 又因为f x 是周期为4的周期函数 所以f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2012 f 2013 f 2014 f 2015 0 所以f 0 f 1 f 2 f 2015 0 2 若本例题 2 的条件不变 求f x x 2 4 的解析式 解析 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 所以f x f x 2x x2 所以f x x2 2x 又当x 2 4 时 x 4 2 0 所以f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 所以f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 故x 2 4 时 f x x2 6x 8 规律方法 函数周期性的判定与应用 1 判定 判断函数的周期性只需证明f x T f x T 0 便可证明函数是周期函数 且周期为T 2 应用 根据函数的周期性 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 在解决具体问题时 要注意结论 若T是函数的周期 则kT k Z且k 0 也是函数的周期 变式训练 设f x 是周期为2的奇函数 当0 x 1时 f x 2x 1 x 则等于 解析 选A 因为f x 是周期为2的奇函数 所以 加固训练 1 函数f x 是周期为4的偶函数 当x 0 2 时 f x x 1 则不等式xf x 0在 1 3 上的解集为 A 1 3 B 1 1 C 1 0 1 3 D 1 0 0 1 解析 选C f x 的图象如图 当x 1 0 时 由xf x 0得x 1 0 当x 0 1 时 由xf x 0得x 1 3 故x 1 0 1 3 2 2016 郑州模拟 已知f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点个数为 A 6B 7C 8D 9 解析 选B 因为当0 x 2时 f x x3 x 又f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且f 0 0 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 又f 1 0 所以f 3 f 5 0 故函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点个数为7 3 设f x 是定义在R上且周期为2的函数 在区间 1 1 上 f x 其中a b R 若则a 3b的值为 解析 因为f x 是定义在R上且周期为2的函数 所以f 1 f 1 即 a 1 又因为所以 联立 解得a 2 b 4 所以a 3b 10 答案 10 4 已知定义在R上的函数f x 满足f x 且f 1 3 则f 2017 解析 因为f x 所以f x 3 所以f x 是以3为周期的周期函数 则f 2017 f 672 3 1 f 1 3 答案 3 考向三函数奇偶性的应用 考情快递 考题例析 命题方向1 单调性与奇偶性结合 典例3 2014 全国卷 已知偶函数f x 在 0 上单调递减 f 2 0 若f x 1 0 则x的取值范围是 本题源自A版必修1P39B组T3 解题导引 利用偶函数的性质f x f x 解题 规范解答 因为f x 为偶函数 所以f x f x f x 故不等式f x 1 0可化为f x 1 0 因为f x 在 0 上单调递减 且f 2 0 所以 x 1 2 即 2 x 1 2 解得 1 x 3 所以x的取值范围是 1 3 答案 1 3 一题多解 解答本题 你知道有几种解法 解答本题还有以下解法 因为f x 为偶函数 且f 2 0 所以f 2 0 作出f x 的大致图象 由图象可知 当 20 所以x的取值范围是 1 3 答案 1 3 命题方向2 周期性与奇偶性结合 典例4 2016 石家庄模拟 已知f x 是定义在R上的以3为周期的偶函数 若f 1 1 f 5 则实数a的取值范围为 A 1 4 B 2 0 C 1 0 D 1 2 解题导引 利用函数的周期性和奇偶性将问题转化为f 5 f 1 1 进而确定实数a的取值范围 规范解答 选A 因为f x 是定义在R上的周期为3的偶函数 所以f 5 f 5 6 f 1 f 1 因为f 1 1 f 5 所以即解得 1 a 4 命题方向3 已知函数的奇偶性求参数 典例5 2015 全国卷 若函数f x 为偶函数 则a 本题源自A版必修1P83B组T3 解题导引 f x 为偶函数 即y 是奇函数 利用 0确定a的值 规范解答 由题意知y 是奇函数 所以解得a 1 答案 1 一题多解 解答本题还有以下解法 因为y x是奇函数 要使f x 为偶函数 只需g x 为奇函数 则有g 0 0 解得a 1 答案 a 1 技法感悟 函数奇偶性的问题类型及解题思路 1 函数单调性与奇偶性结合 注意函数单调性及奇偶性的定义 以及奇 偶函数图象的对称性 2 周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行交换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 3 已知函数的奇偶性 求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法 利用f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值或方程求解 题组通关 1 2016 西安模拟 若定义在R上的偶函数f x 和奇函数g x 满足f x g x ex 则g x A ex e xB ex e x C e x ex D ex e x 解析 选D 因为f x g x ex 则f x g x e x 即f x g x e x 故由 可得g x 2 2016 黄山模拟 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 对任意的x y R 2x 3y 0 都有若2x 3y 0 则 A f 2x f 3y 0B f 2x f 3y 0C f 2x f 3y 0 解析 选C 由得令x1 x x2 则故函数f x 在R上是减函数 由2x 3y 0 得2x 3y 所以f 2x f 3y f 3y 即f 2x f 3y 0 3 2014 安徽高考 若函数f x x R 是周期为4的奇函数 且在 0 2 上的解析式为f x 则 解析 答案