高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时1 直线与圆锥曲线课件 文.ppt

课时1直线与圆锥曲线 9 8圆锥曲线的综合问题 内容索引 题型一直线与圆锥曲线的位置关系 题型二弦长问题 题型三中点弦问题 练出高分 思想方法感悟提高 题型一直线与圆锥曲线的位置关系 解析答案 题型一直线与圆锥曲线的位置关系 所以直线l与双曲线C有两个交点 由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同 故两个交点分别在左 右支上 答案 解析关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根为0 tan tan 0 则过A B两点的直线方程为y xtan 所以直线y xtan 与双曲线没有公共点 0 解析答案 解析答案 设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2 y2 4x相切 求直线l的方程 解析答案 思维升华 由题意可知此方程有唯一解 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 研究直线和圆锥曲线的位置关系 一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数 对于填空题 常充分利用几何条件 利用数形结合的方法求解 跟踪训练1 解析答案 方程 根的判别式 8m 2 4 9 2m2 4 8m2 144 解将直线l的方程与椭圆C的方程联立 将 代入 整理得9x2 8mx 2m2 4 0 2 有且只有一个公共点 解析答案 3 没有公共点 解析答案 返回 题型二弦长问题 解析答案 题型二弦长问题 解析答案 思维升华 设点M N的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则y1 k x1 1 y2 k x2 1 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中 应熟练的利用根与系数的关系 设而不求法计算弦长 涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系 设而不求法简化运算 涉及过焦点的弦的问题 可考虑用圆锥曲线的定义求解 跟踪训练2 解析答案 联立 得a2 9 b2 8 2 若AC BD 求直线l的斜率 解析答案 返回 解如图 设A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 从而x3 x1 x4 x2 即x1 x2 x3 x4 于是 x1 x2 2 4x1x2 x3 x4 2 4x3x4 设直线l的斜率为k 则l的方程为y kx 1 解析答案 而x1 x2是这个方程的两根 所以x1 x2 4k x1x2 4 而x3 x4是这个方程的两根 解析答案 返回 题型三中点弦问题 解析答案 题型三中点弦问题 解析答案 即a2 2b2 又a2 b2 c2 解析答案 思维升华 解析设M x1 y1 N x2 y2 MN的中点P x0 y0 解析答案 思维升华 M N关于直线y x m对称 kMN 1 y0 3x0 解得m 0或 8 经检验都符合 答案0或 8 思维升华 思维升华 设抛物线过定点A 1 0 且以直线x 1为准线 1 求抛物线顶点的轨迹C的方程 解设抛物线顶点为P x y 则焦点F 2x 1 y 再根据抛物线的定义得AF 2 即 2x 2 y2 4 跟踪训练3 解析答案 解析答案 返回 两式相减 得4 xM xN xM xN yM yN yM yN 0 解析答案 解析答案 返回 思想方法感悟提高 1 有关弦的三个问题涉及弦长的问题 应熟练地利用根与系数的关系 设而不求计算弦长 涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算 涉及过焦点的弦的问题 可考虑利用圆锥曲线的定义求解 2 求解与弦有关问题的两种方法 1 方程组法 联立直线方程和圆锥曲线方程 消元 x或y 成为二次方程之后 结合根与系数的关系 建立等式关系或不等式关系 方法与技巧 2 点差法 在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时 设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标 代入圆锥曲线的方程并作差 从而求出直线的斜率 然后利用中点求出直线方程 点差法 的常见题型有 求中点弦方程 求 过定点 平行弦 弦中点轨迹 垂直平分线问题 必须提醒的是 点差法 具有不等价性 即要考虑判别式 是否为正数 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点 1 直线与双曲线交于一点时 易误认为直线与双曲线相切 事实上不一定相切 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交于一点 2 直线与抛物线交于一点时 除直线与抛物线相切外 易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以它与双曲线只有1个交点 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 直线l的方程为y x t 得5x2 8tx 4 t2 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 过抛物线y2 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点 它们到直线x 2的距离之和等于5 则这样的直线有 条 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 准线方程为x 1 设A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则A B到直线x 1的距离之和为x1 x2 2 设直线方程为x my 1 代入抛物线y2 4x 则y2 4 my 1 即y2 4my 4 0 x1 x2 m y1 y2 2 4m2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x1 x2 2 4m2 4 4 A B到直线x 2的距离之和x1 x2 2 2 6 5 满足题意的直线不存在 答案0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 答案4 解析 使得AB 的直线l恰有3条 根据对称性 其中有一条直线与实轴垂直 双曲线的两个顶点之间的距离是2 小于4 过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4 综上可知 AB 4时 有3条直线满足题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 在抛物线y x2上关于直线y x 3对称的两点M N的坐标分别为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设直线MN的方程为y x b 代入y x2中 整理得x2 x b 0 令 1 4b 0 设M x1 y1 N x2 y2 则x1 x2 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 2 4 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设直线与椭圆交于A x1 y1 B x2 y2 两点 由于A B两点均在椭圆上 解析答案 又 P是A B的中点 x1 x2 6 y1 y2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即3x 4y 13 0 答案3x 4y 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 PF2 解析答案 因为PF2 F2Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数 并证明你的结论 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 b2 c2 x2 2a2cx a4 a2b2 0 而a2 b2 c2 上式可化为a2x2 2a2cx a2c2 0 解得x c 直线PQ与椭圆C只有一个公共点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 2014 湖北 在平面直角坐标系xOy中 点M到点F 1 0 的距离比它到y轴的距离多1 记点M的轨迹为C 1 求轨迹C的方程 解设点M x y 依题意得MF x 1 化简整理得y2 2 x x 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 设斜率为k的直线l过定点P 2 1 求直线l与轨迹C恰好有一个公共点 两个公共点 三个公共点时k的相应取值范围 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解在点M的轨迹C中 记C1 y2 4x x 0 C2 y 0 x 0 依题意 可设直线l的方程为y 1 k x 2 可得ky2 4y 4 2k 1 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当k 0时 此时y 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由抛物线的性质可知PF 6 2 8 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 经过点P的直线y 2x m m 0 与双曲线C有且只有一个交点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则点B在x轴的上方 过点B作该抛物线的准线的垂线 垂足为B1 由此得p 2 抛物线方程是y2 4x 解析答案 焦点F 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知抛物线E y2 2px p 0 经过圆F x2 y2 2x 4y 4 0的圆心 则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析圆的标准方程为 x 1 2 y 2 2 32 圆心为F 1 2 代入抛物线方程可得p 2 所以其准线方程为x 1 圆心到直线x 1的距离d 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若直线l y kx m与椭圆C相交于A B两点 A B不是左 右顶点 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 求证 直线l过定点 并求出该定点的坐标 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设A x1 y1 B x2 y2 得 3 4k2 x2 8mkx 4 m2 3 0 64m2k2 16 3 4k2 m2 3 0 整理得3 4k2 m2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D 2 0 kAD kBD 1 解析答案 y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 整理得7m2 16mk 4k2 0 且满足3 4k2 m2 0 当m 2k时 l y k x 2 直线过定点 2 0 与已知矛盾 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回