高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程课件 文.ppt

第九章平面解析几何 9 1直线的方程 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 直线的倾斜角 1 定义 在平面直角坐标系中 对于一条与x轴相交的直线 把x轴所在的直线绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转过的称为这条直线的倾斜角 当直线l与x轴时 规定它的倾斜角为0 2 范围 直线l倾斜角的范围是 逆时针 最小正角 平行或重合 0 180 知识梳理 1 答案 2 斜率公式 1 若直线l的倾斜角 90 则斜率k 2 P1 x1 y1 P2 x2 y2 在直线l上 且x1 x2 则l的斜率k tan 答案 3 直线方程的五种形式 y y1 k x x1 y kx b Ax By C 0 A B不全为0 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 2 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 3 直线的倾斜角越大 其斜率就越大 4 直线的斜率为tan 则其倾斜角为 5 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 6 经过定点A 0 b 的直线都可以用方程y kx b表示 答案 思考辨析 7 不经过原点的直线都可以用表示 8 经过任意两个不同的点P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示 答案 1 直线x y a 0的倾斜角为 0 180 60 60 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 如果A C 0 且B C 0 那么直线Ax By C 0不通过第象限 故直线经过一 二 四象限 不经过第三象限 三 解析答案 1 2 3 4 5 3 过点P 2 3 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 解析当截距为0时 直线方程为3x 2y 0 所以直线方程为x y 5 0 综上 直线方程为3x 2y 0或x y 5 0 3x 2y 0或x y 5 0 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改编 若过点A m 4 与点B 1 m 的直线与直线x 2y 4 0平行 则m的值为 m 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 5 直线l经过A 2 1 B 1 m2 m R 两点 则直线l的倾斜角的取值范围为 若l的倾斜角为 则tan 1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 题型一直线的倾斜角与斜率 解析答案 解析直线2xcos y 3 0的斜率k 2cos 解析答案 设直线的倾斜角为 解析答案 1 若将题 2 中P 1 0 改为P 1 0 其他条件不变 求直线l斜率的取值范围 引申探究 解析答案 2 将题 2 中的B点坐标改为B 2 1 其他条件不变 求直线l倾斜角的范围 解如图 直线PA的倾斜角为45 直线PB的倾斜角为135 由图象知l的倾斜角的范围为 0 45 135 180 解析答案 思维升华 思维升华 1 cos 1 跟踪训练1 解析答案 解析答案 解析本题可先作出函数y 8 2x 2 x 3 的图象 解析答案 例2根据所给条件求直线的方程 解由题设知 该直线的斜率存在 故可采用点斜式 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 题型二求直线的方程 解析答案 2 直线过点 3 4 且在两坐标轴上的截距之和为12 又直线过点 3 4 故所求直线方程为4x y 16 0或x 3y 9 0 解析答案 3 直线过点 5 10 且到原点的距离为5 解当斜率不存在时 所求直线方程为x 5 0 当斜率存在时 设其为k 则所求直线方程为y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 故所求直线方程为3x 4y 25 0 综上知 所求直线方程为x 5 0或3x 4y 25 0 解析答案 思维升华 思维升华 在求直线方程时 应先选择适当的直线方程的形式 并注意各种形式的适用条件 用斜截式及点斜式时 直线的斜率必须存在 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线 故在解题时 若采用截距式 应注意分类讨论 判断截距是否为零 若采用点斜式 应先考虑斜率不存在的情况 求适合下列条件的直线方程 1 经过点P 4 1 且在两坐标轴上的截距相等 跟踪训练2 解析答案 解设直线l在x y轴上的截距均为a 若a 0 即l过点 0 0 及 4 1 l过点 4 1 解析答案 a 5 l的方程为x y 5 0 综上可知 直线l的方程为x 4y 0或x y 5 0 2 经过点A 1 3 倾斜角等于直线y 3x的倾斜角的2倍 解由已知 设直线y 3x的倾斜角为 则所求直线的倾斜角为2 tan 3 又直线经过点A 1 3 即3x 4y 15 0 解析答案 命题点1与基本不等式相结合求最值问题 例3已知直线l过点P 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于A B两点 如图所示 求 ABO的面积的最小值及此时直线l的方程 题型三直线方程的综合应用 解析答案 从而所求直线方程为2x 3y 12 0 所以 ABO的面积的最小值为12 此时直线l的方程为2x 3y 12 0 解析答案 方法二依题意知 直线l的斜率k存在且k 0 则直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 解析答案 即 ABO的面积的最小值为12 故所求直线的方程为2x 3y 12 0 命题点2由直线方程解决参数问题 例4已知直线l1 ax 2y 2a 4 l2 2x a2y 2a2 4 当0 a 2时 直线l1 l2与两坐标轴围成一个四边形 当四边形的面积最小时 求实数a的值 解由题意知直线l1 l2恒过定点P 2 2 直线l1的纵截距为2 a 直线l2的横截距为a2 2 解析答案 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 1 求解与直线方程有关的最值问题 先设出直线方程 建立目标函数 再利用基本不等式求解最值 2 求直线方程 弄清确定直线的两个条件 由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 3 求参数值或范围 注意点在直线上 则点的坐标适合直线的方程 再结合函数的单调性或基本不等式求解 思维升华 1 2014 四川 设m R 过定点A的动直线x my 0和过定点B的动直线mx y m 3 0交于点P x y 则PA PB的最大值是 跟踪训练3 解析答案 解析 直线x my 0与mx y m 3 0分别过定点A B A 0 0 B 1 3 当点P与点A 或B 重合时 PA PB为零 当点P与点A B均不重合时 P为直线x my 0与mx y m 3 0的交点 且易知此两直线垂直 APB为直角三角形 解析答案 AP2 BP2 AB2 10 当且仅当PA PB时 上式等号成立 答案5 解析答案 返回 易错警示系列 典例 14分 设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0 a R 1 若l在两坐标轴上截距相等 求l的方程 易错分析本题易错点求直线方程时 漏掉直线过原点的情况 10 求直线方程忽视零截距致误 易错警示系列 解析答案 易错分析 a 0 方程即为x y 2 0 6分 综上 l的方程为3x y 0或x y 2 0 7分 规范解答解当直线过原点时 该直线在x轴和y轴上的截距为零 a 2 方程即为3x y 0 3分 当直线不经过原点时 截距存在且均不为0 2 若l不经过第二象限 求实数a的取值范围 解将l的方程化为y a 1 x a 2 a 1 13分 综上可知a的取值范围是a 1 14分 解析答案 温馨提醒 返回 返回 温馨提醒 1 在求与截距有关的直线方程时 注意对直线的截距是否为零进行分类讨论 防止忽视截距为零的情形 导致产生漏解 2 常见的与截距问题有关的易误点有 截距互为相反数 一截距是另一截距的几倍 等 解决此类问题时 要先考虑零截距情形 注意分类讨论思想的运用 思想方法感悟提高 直线的倾斜角和斜率的关系 1 任何直线都存在倾斜角 但并不是任意直线都存在斜率 2 直线的倾斜角 和斜率k之间的对应法则 方法与技巧 与直线方程的适用条件 截距 斜率有关问题的注意点 1 明确直线方程各种形式的适用条件点斜式 斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线 两点式方程不能表示垂直于x y轴的直线 截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线 2 截距不是距离 距离是非负值 而截距可正可负 可为零 在与截距有关的问题中 要注意讨论截距是否为零 3 求直线方程时 若不能断定直线是否具有斜率时 应注意分类讨论 即应对斜率是否存在加以讨论 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若A m m 3 B 2 m 1 C 1 4 直线AC的斜率等于直线BC的斜率的三倍 则实数m的值为 解得m 1或m 2 经验证均符合题意 1或2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 直线x a2 1 y 1 0的倾斜角的取值范围是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 如图中的直线l1 l2 l3的斜率分别为k1 k2 k3 则k1 k2 k3的大小关系为 解析直线l1的倾斜角 1是钝角 故k1 0 直线l2与l3的倾斜角 2与 3均为锐角 且 2 3 所以0 k3 k2 因此k1 k3 k2 k1 k3 k2 解析答案 4 斜率为2的直线经过 3 5 a 7 1 b 三点 则a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故a b 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 一条直线经过点A 2 2 并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1 则此直线的方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 2 2 在此直线上 又 直线与坐标轴围成的三角形面积为1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即x 2y 2 0或2x y 2 0为所求直线的方程 答案x 2y 2 0或2x y 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 若ab 0 且A a 0 B 0 b C 2 2 三点共线 则ab的最小值为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又C 2 2 在该直线上 所以 2 a b ab 又ab 0 故a 0 b 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即ab的最小值为16 答案16 9 设直线l m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 2m 6 0 m 1 根据下列条件分别确定m的值 1 直线l在x轴上的截距为 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解 l在x轴上的截距为 3 2m 6 0 即m 3 又m 1 m2 2m 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 直线l的斜率为1 解由题意知2m2 m 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知点P 2 1 1 求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解过点P的直线l与原点的距离为2 而点P的坐标为 2 1 显然 过点P 2 1 且垂直于x轴的直线满足条件 此时l的斜率不存在 其方程为x 2 若斜率存在 设l的方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 此时直线l的方程为3x 4y 10 0 综上 可得直线l的方程为x 2或3x 4y 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程 最大距离是多少 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线 如图所示 由l OP 得klkOP 1 由直线方程的点斜式 得y 1 2 x 2 即2x y 5 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 若直线ax by ab a 0 b 0 过点 1 1 则该直线在x轴 y轴上的截距之和的最小值为 解析 直线ax by ab a 0 b 0 过点 1 1 当且仅当a b 2时上式等号成立 直线在x轴 y轴上的截距之和的最小值为4 4 解析答案 12 已知A 3 0 B 0 4 直线AB上一动点P x y 则xy的最大值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 设点A 1 0 B 1 0 直线2x y b 0与线段AB相交 则b的取值范围是 解析b为直线y 2x b在y轴上的截距 如图 当直线y 2x b过点A 1 0 和点B 1 0 时 b分别取得最小值和最大值 b的取值范围是 2 2 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由题意可得kOA tan45 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知直线l kx y 1 2k 0 k R 1 证明 直线l过定点 证明直线l的方程是k x 2 1 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 无论k取何值 直线总经过定点 2 1 解析答案 2 若直线不经过第四象限 求k的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当k 0时 直线为y 1 符合题意 故k 0 解析答案 3 若直线l交x轴负半轴于A 交y轴正半轴于B AOB的面积为S O为坐标原点 求S的最小值并求此时直线l的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得k 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Smin 4 此时直线l的方程为x 2y 4 0 返回