高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数与函数的单调性课件 理 新人教A版.ppt

第2讲导数与函数的单调性 考试要求1 函数单调性与导数的关系 A级要求 2 利用导数研究函数的单调性 求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 B级要求 知识梳理 1 函数的单调性与导数的关系 已知函数f x 在某个区间内可导 1 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 2 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 单调递增 单调递减 2 利用导数求函数单调区间的基本步骤是 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 由f x 0 或 0 解出相应的x的取值范围 当f x 0时 f x 在相应的区间内是单调递增函数 当f x 0时 f x 在相应的区间内是单调递减函数 一般需要通过列表 写出函数的单调区间 3 已知单调性求解参数范围的步骤为 1 对含参数的函数f x 求导 得到f x 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f x 0恒成立 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f x 0恒成立 得到关于参数的不等式 解出参数范围 3 验证参数范围中取等号时 是否恒有f x 0 若f x 0恒成立 则函数f x 在 a b 上为常数函数 舍去此参数值 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0 2 如果函数f x 在某个区间内恒有f x 0 则f x 在此区间内没有单调性 3 f x 0是f x 为增函数的充要条件 2 函数f x x2 2lnx的单调递减区间是 答案 0 1 3 已知f x x3 ax在 1 是增函数 则a的取值范围是 解析f x 3x2 a 由题意知3x2 a 0 即a 3x2在x 1 恒成立 又当x 1 时 3x2 3 a 3 a的取值范围是 3 答案 3 4 2015 南京 盐城模拟 函数f x 的定义域为R f 1 2 对任意x R f x 2 则f x 2x 4的解集为 解析设F x f x 2x 4 则F 1 f 1 2 4 2 2 0 F x f x 2 对任意x R F x 0 即函数F x 在R上是单调增函数 则F x 0的解集为 1 故f x 2x 4的解集为 1 答案 1 答案f a f b 考点一利用导数研究函数的单调性 微题型1 不含参数函数的单调性 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 规律方法利用导数确定函数单调区间的步骤 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 微题型2 含参数函数的单调性 规律方法讨论含参函数的单调性 大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论 注意根据对应方程解的大小进行分类讨论 训练1 讨论函数y x3 ax的单调性 考点二已知函数的单调性求参数的范围 例2 已知函数f x x3 ax 1 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 在R上为增函数 求实数a的取值范围 规律方法若可导函数f x 在指定的区间D上单调递增 减 求参数范围问题 一是可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 二是利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 训练2 若例2中的函数不变 求下列条件下a的取值范围 1 若f x 在区间 1 上为增函数 求a的取值范围 2 若f x 在区间 1 1 上为减函数 试求a的取值范围 3 若f x 的单调递减区间为 1 1 求a的值 解 1 因为f x 3x3 a 且f x 在区间 1 上为增函数 所以f x 0在 1 上恒成立 即3x2 a 0在 1 上恒成立 所以a 3x2在 1 上恒成立 所以a 3 即a的取值范围为 3 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2在 1 1 上恒成立 因为 1 x 1 所以3x2 3 所以a 3 即当a的取值范围为 3 时 f x 在 1 1 上为减函数 思想方法 1 掌握判断函数在某区间上单调性的步骤 掌握单调区间的求法 注意在定义域上研究单调区间 2 当已知含参函数f x 在某区间上的单调性时 求参数范围 注意分离参数法求范围 并且注意当函数f x 在区间上是增函数时有f x 0 是减函数时有f x 0 易错防范 1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间必须在函数的定义域内进行 2 解题时要注意区分求单调性和已知单调性求参数范围等问题 处理好f x 0时的情况